4.3 关系的性质

(1)

1

4.3 关系的性质



自反性



反自反性



对称性



反对称性



传递性

(2)

自反性与反自反性

定义设 R 为 A 上的关系 ,

(1)

若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是自反的

.

(2)

若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是反自反 的 .

实例：

反关系： A 上的全域关系 E_A

,

恒等关系 I_A

小于等于关系 L_A

,

整除关系 D_A 反自反关系：实数集上的小于关系

(3)

3

实例

例 1 A={1,2,3}, R1

, R

₂

, R

₃ 是 A 上的关系 , 其中

 R₁ ＝ {<1,1>,<2,2>}

R₂ ＝ {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}

R₃ ＝ {<1,3>}

R

₂ 自反 ,

R

₃ 反自反 ,

R

₁ 既不是自反也不是反自反的

(4)

对称性与反对称性

定义设 R 为 A 上的关系 ,

(1)

若 xy(x,y∈A <∧ x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称

R

为 A 上对称的关系 .

(2)

若 xy(x,y∈A <∧ x,y>∈R <∧ y,x>∈R→x=y), 则称 R 为 A 上的反对称关系 .

实例： 对称关系： A 上的全域关系 E_A

,

恒等关系 I_A 和空关系

反对称关系：恒等关系 I_A

，

空关系是 A 上的

(5)

5

实例

例 2 设 A ＝ {1,2,3}, R1

, R

₂

, R

₃和 R4 都是 A 上的关系 , 其中

R1＝ {<1,1>,<2,2>} ， R2＝ {<1,1>,<1,2>,<2,1>}

R

₃＝ {<1,2>,<1,3>} ， R4＝ {<1,2>,<2,1>,<1,3>}

R

₁

对称、反对称 .

R

₂

对称，不反对称 .

R

₃

反对称，不对称 .

R

₄

不对称、也不反对称 .

(6)

传递性

定义设 R 为 A 上的关系 , 若  xyz(x,y,z∈A∧

<x,y>

∈R <∧ y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称 R 是 A 上的传递关系 .

实例：

A

上的全域关系 E_A

,

恒等关系 I_A 和空关系

小于等于关系 , 小于关系，整除关系，包含关系

，

真包含关系

(7)

7

实例

例 3 设 A ＝ {1,2,3}, R¹, R2, R3是 A 上的关系 , 其中

 R1＝ {<1,1>,<2,2>}

 R2＝ {<1,2>,<2,3>}

 R₃＝ {<1,3>}

R

₁ 和 R₃ 是 A 上的传递关系

R

₂ 不是 A 上的传递关系

(8)

关系性质的充要条件

设 R 为 A 上的关系 , 则

(1) R 在 A 上自反当且仅当

I

_AR

(2) R

在 A 上反自反当且仅当

R∩I

_A

=

(3) R

在 A 上对称当且仅当

R=R

^1

(4) R

在 A 上反对称当且仅当

R∩R

^1I_A

(5) R

在 A 上传递当且仅当

RRR

(9)

9

关系性质判别

 自反反自反对称反对称传递

表达式 I_AR

R∩I

_A

=



R=R

^1

R∩R

^1 I_A

RRR

关系

矩阵

主对角线元素 全是 1

主对角线元素 全是 0

矩阵是对称矩阵

若 r_ij＝ 1, 且

i≠j,

则 r_ji

＝ 0

对 M²中 1 所在位置 ,

M

中相应位置都是

1

关系图每个顶点都有环

每个顶点都没有环

如果两个顶点之间有边

,

是一对方向相反的边

(

无单边 )

如果两点 之间有边 , 是一条有 向边 ( 无双 向边 )

如果顶点

x

_i连通到

x

_k

,

则从

x

_i到 x_k有边

(10)

实例

例 8 判断下图中关系的性质 , 并说明理由 .

(2)

反自反，不是自反的；反对称，不是对称的；

是传递的 .

(1)

不自反也不反自反；对称 , 不反对称；不传递 .

(3)

自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递 .

(11)

11

自反性证明

证明模式证明 R 在 A 上自反 任取 x,

xA  ………..….…….  <x,x>R

前提推理过程结论

例 4 证明若 I_AR

，

则

R

在 A 上自反 . 证任取 x,

xA  <x,x> I_A <x,x>R 因此 R 在 A 上是自反的 .

(12)

对称性证明

证明模式证明 R 在 A 上对称 任取 <x, y>

<x,y>R ………..….…….  <y,x>R

前提推理过程结论例 5 证明若 R=R^1

,

则 R 在 A 上对称 .

证任取 <x,y>

 x,y>R  <y,x>R

<

^1

 <x,y>R

因此 R 在 A 上是对称的 .

(13)

13

反对称性证明

证明模式证明 R 在 A 上反对称 任取 <x, y>

<x,y>R<y,x>R  ………..……….  x=y

前提推理过程 例 6 证明若 R∩R 结论 ^1I_A

,

则 R 在 A 上反对称 . 证任取 <x,y>

 x,y>R <y, x>R  <x,y>R <x,y>R

<

^1

 <x,y>R∩R

^1

 <x,y>I

_A

 x=y

因此 R 在 A 上是反对称的 .

(14)

传递性证明

证明模式证明 R 在 A 上传递 任取 <x, y> ， <y, z>

<x,y>R<y, z>R …..……….  <x,z>R

前提推理过程结论例 7 证明若 RRR , 则 R 在 A 上传递 .

证任取 <x,y> ， <y, z>

<x,y>R <y,z>R  <x,z>RR  <x,z>R

(15)

15

运算与性质的关系

自反性反自反性对称性反对称性传递性

R

₁^1

√ √ √ √ √

R

₁

∩R

₂

√ √ √ √ √

R

₁

∪R

₂

√ √ √ × ×

R

₁R₂

× √ √ √ ×

R

₁

∘R

₂

√ × × × ×

(16)

4.4 关系的闭包



闭包定义



闭包的构造方法

 集合表示

 矩阵表示

 图表示



闭包的性质

(17)

17

闭包定义

定义设 R 是非空集合 A 上的关系 , R 的自反

（对称或传递）闭包是 A 上的关系 R

 ,

使得 R

满足以下条件：

（ 1 ） R 是自反的（对称的或传递的）

（ 2 ） RR

（ 3 ）对 A 上任何包含 R 的自反（对称或传 递）关系 R 有 RR.

一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记 作 s(R), 传递闭包记作 t(R).

(18)

18

闭包的构造方法

定理 1 设 R 为 A 上的关系 , 则有

 (1) r(R) = R∪R⁰

(2)



s(R) = R

∪R^1

(3)



t(R) = R

∪R²∪R³∪

…

说明：

• 对于有穷集合 A (|A|=n) 上的关系 , (3) 中的并最 多

不超过 Rⁿ

.

• 若 R 是自反的，则 r(R)=R; 若 R 是对称的，

则

(19)

19

设关系 R, r(R), s(R), t(R) 的关系矩阵分别为 M,

M

_r

, M

_s 和 M_t

,

则



M

_r

= M + E M

_s

= M + M’

M

_t

= M + M

²

+ M

³

+ …

E

是和 M 同阶的单位矩阵 , M’ 是 M 的转置矩 阵 .

注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加 .

闭包的构造方法（续）

(20)

20

闭包的构造方法（续）

设关系 R, r(R), s(R), t(R) 的关系图分别记为 G, G_r

, G

_s

, G

_t

,

则 G_r

, G

_s

, G

_t 的顶点集与 G 的顶点集相等 . 除了

G

的边以外 , 以下述方法添加新边：

考察 G 的每个顶点 , 如果没有环就加上一个环，

最终得到 G_r

.

考察 G 的每条边 , 如果有一条 x_i 到 x_j 的单向边 , i≠j, 则在 G 中加一条 x_j 到 x_i 的反方向边

，最终得到 G_s

.

考察 G 的每个顶点 x_i

,

找从 x_i 出发 的每一条路径，如果从 x_i 到路径中任何结点 x_j 没 有边，就加上这条边 . 当检查完所有的顶点后就得到

(21)

21

实例

例 1 设 A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,

<d,b>}, R

和 r(R), s(R), t(R) 的关系图如下图所示 .

R r(R)

s(R) t(R)