電路直接替代法用於改善步階低通濾波器之頻率響應斜度

(1)

電路直接替代法用於改善步階低通濾波器之頻率響應斜度

劉韋廷曾振東

國立勤益技術學院電子工程系／電能科技研究所

摘要

本文提出電路直接替代法以指叉低通結構取代奇數階步階式阻抗低通濾波器之中間開路殘段，利用指叉低通結構使步階式阻抗低通濾波器於接近3dB 截止頻率響應近乎陡直，有效改善頻率響應之斜度。指叉低通結構之電路特性除了以集總元件求取其等效電路外並使用電磁模擬軟體IE3D 進行分析。文中並以本法介紹兩種步階式阻抗低通濾波器之設計使其 3dB 截止頻率附近達到極陡直的斜度，濾波器3dB 截止頻率均設計在 2.45 GHz。由實際測量與模擬結果顯示本法的可行性與適用性。

關鍵詞：電路直接替代、步階式阻抗、低通、指叉電容。

DIRECT CIRCUIT REPLACEMENT METHOD ENHANCED SKIRT RE- SPONSE OF STEPPED-IMPEDANCE LOW-PASS FILTER

Wei-Ting Liu Jan-Dong Tseng

Department of Electronic Engineering /Institute of Information and Electronic Energy National Chin Yi Institute of Technology

Taichung, Taiwan 411, R.O.C.

Key Words: direct circuit replacement, stepped-impedance, low-pass inter- digital capacitor.

ABSTRACT

An interdigital low-pass structure directly replacing the center open stub of an odd-order stepped-impedance low-pass filter to achieve sharp skirt response is proposed. The characteristics of this structure were first analyzed by lumped element equivalent circuits and investigated by means of a full-wave microwave circuit simulator, IE3D. These simulated results then were applied as a guideline for the replacement. Two stepped-imped- ance low-pass filters were designed to enhance the skirt response near the 3dB cutoff frequency. The measured results show very good improvement on skirt response and in the rejection level of the stop band.

技術學刊第二十二卷第一期民國九十六年

49 Journal of Technology, Vol. 22, No. 1, pp. 49-56 (2007)

(2)

一、前言

隨著通訊科技日新月異，通訊設備已成為生活不可或缺的一部份。而在通訊設備中，濾波器扮演著重要的角色，

其中低通濾波器主要用於抑制諧波及不必要的信號。目前實現低通濾波器的方法非常多，例如：步階阻抗低通濾波器(stepped-impedance low-pass filter)[1-3]、開路殘段低通濾波器(open-stub low-pass filter)[4,5] 、微帶線橢圓函數 (elliptic-function)低通濾波器[6-8]、指叉串聯電容低通濾波器[9-12]、並接分散式電容低通濾波器[13]。近年來，更使用光晶體結構(photonic bandgap structure)[14-18]與鑿空接地結構(defected ground structure)[19-21]技術來減小電路尺寸與增加截止頻率的衰減斜率。

一般常見的步階阻抗(stepped-impedance)與黑田恆等式(Kuroda-identity)低通濾波器多以巴特沃斯(Butterworth) 或柴比雪夫(Chebyshev)特性作為電路設計的依據[1]。然而理想的低通濾波器為截止頻寬且截止頻率之衰減斜率陡直，若以步階式阻抗方式設計得到陡直的衰減斜率必須增加串接的階數，這樣會使得電路尺寸增大，同時造成較大的介入損耗.。近年來 Kai Chang 與 Jen-Tsai Kuo 分別提出串聯指叉電容結構的低通濾波器[8,9]，其中指叉電容[22-24]

由多對耦合線段的組成，藉由指叉電容可使截止頻帶之傳輸零點靠近3dB 截止頻率，形成陡峭的衰減斜率，但是電路串接會使得電路尺寸增大。

本文提出電路直接替代法以指叉低通結構，取代巴特沃斯或柴比雪夫頻率之奇數步階式阻抗低通濾波器的開路殘段部分。基於電路設計之對稱性，只取代中間的開路殘段如圖 1(a)。藉由調整指叉結構的特性使步階式阻抗低通濾波器接近截止頻率之響應近乎陡直。指叉低通結構之等效電路，由π型電容網路[22,23]，及傳輸線等效公式的轉換得到，其頻率響應以電磁模擬軟體IE3D 進行。文中設計兩種奇數(三、五階)步階式阻抗低通濾波器驗証本方法的可行性，其中五階低通濾波器如圖1(b)所示，3 dB 截止頻率均設計在2.45 GHz，實際電路以 Rogers 之 RO-4003C 進行製作。量測結果與模擬具有相當高的一致性。

二、指叉電容低通結構等效電路特性分析

如圖2(a)指叉低通結構可視為高阻抗傳輸線 lS1、lS2與指叉結構之電路組合，其中傳輸線可以等效為電容-電感 (L-C)π型網路模型，如圖 2(b)所示，其關係式如式(1)、(2)

( )

ω β ₁ ₁

1

sin

_S _S

i S

l

L = Z

(1)

( )

i S S

S

Z

C l

= ⋅

ω

β

/ 2 tan

₁ ₁

1 (2)

其中

β

_S1為傳輸線

L

S1的相位常數，lS1為傳輸線長度，Zi

為特性阻抗，

ω

=2

π f，f 為頻率。在電氣長度小於λ/8 與

高阻抗條件下可忽略電容

C

S1的影響。

指叉結構等效成π型電容網路如圖 2(c)所示。其等效電路表示式(3)、(4)如下：[22-23]

( 1 ) ( [ N 3 ) A

1

A

2

]

C = l ⋅ ε

_r

+ ⋅ − +

(pF/unit length) (3a)











 −

⋅

= ^^

 



− w h

e

A

₁ 0.112 1 0.59 ⁰^.¹⁷ (3b)











 −

⋅

= ^^

 



− w h

e

A

₂ 0.252 1 0.594 ⁰^.¹⁹² (3c)

其中

l

為指叉結構的耦合線長度，N 為指叉電容結構的手指數，h 為板材的高度，

ε

r 為板材的介電常數。

O w

e eff

v Z C N

⋅

= ⋅ ε

1 (pF) (4a)

12

10 2 1

1 2

1

⁻

 

 

  + + −

= +

w

r

h

e r eff

ε

ε ε

^(4b)

 

 



 +

= h

w w Z h

e eff

w

4 ln 8 60

ε

^(4c)

其中

w

為指叉電容結構的手指寬度，vo為光速 (vo=3x10⁸

m/s)。

由製作上的考量，指叉結構的寬度與耦合線間距設為相等(w = g)，同時在 Zi越大越好與雕刻機的刻刀限制條件取捨下，得到適當的傳輸線的寬度。傳輸線與指叉結構的實際尺寸可由公式(1)、(2)、(3)及(4)取得。

接下來探討指叉低通結構之特性，指叉低通結構由指叉結構與傳輸線段

l

_S1、l_S2所組成，傳輸線段

l

_S1、l_S2在低頻時呈現電感的效應，其等效的電感值可由式(1)算出，指叉結構在低頻時呈現電容的效應，其等效的電容值可由式(3) 及(4)算出。在進行電路直接替代法之前必須了解指叉低通結構各項結構參數(手指數、指叉電路寬度 w 和指叉手指耦 合線長度

l

^{、傳輸線段}

^l

^S1^、l^S2)對頻率響應之影響。

首先觀察指叉結構手指數

N 與傳輸零點的關係，圖 3(a)

顯示手指數為8、12、16 與傳輸零點的關係，頻率在 0 至 7.5 GHz 間三種情形皆產生兩個傳輸零點，以電磁模擬軟體 IE3D 的模擬結果觀察，手指數為 8，傳輸零點為 3.72 GHz 與6.56 GHz，手指數為 12，傳輸零點為 2.84 GHz 與 4.85 GHz，

手指數為16，傳輸零點為 2.33 GHz 與 3.82 GHz。由此結果可得知：手指數增加，傳輸零點往低頻偏移，反之，手指

(3)

劉韋廷、曾振東：電路直接替代法用於改善步階低通濾波器之頻率響應斜度

51 (a)

(b)

圖 1 (a)五階步階式阻抗低通濾波器；(b)使用替代元件後之步階式阻抗低通濾波器。

數減少，傳輸零點往高頻偏移。

圖3(b)為指叉結構寬度 w 與傳輸零點的關係，寬度為 0.4 mm 時，傳輸零點為 3.36 與 6.96 GHz，寬度為 0.6 mm 時，傳輸零點為2.84 與 4.85 GHz，寬度為 0.8 mm 時，傳輸零點為2.48 與 3.68 GHz。因此指叉結構寬度 w 越寬，傳輸零點往低頻偏移，寬度越窄則傳輸零點往高頻偏移。

圖3(c)為指叉結構手指耦合長度

l

與傳輸零點的關係，耦合長度為0.8 mm 時，傳輸零點為 3.08 與 5 GHz，耦合長度為 1.2 mm 時，傳輸零點為 2.84 與 4.85 GHz，長度為 1.6 mm 時，傳輸零點為2.66 與 4.61 GHz。所以耦合長度

l

^越長，

傳輸零點往低頻偏移，耦合長度越短，傳輸零點往高頻偏移。

接著觀察傳輸線段

l

S1、lS2與對傳輸零點的影響。由圖 3(d)可知傳輸線段 lS1長度為1.6 mm 時，傳輸零點為 3.2 與 4.77 GHz，長度為 3.6 mm 時，傳輸零點為 2.84 與 4.85 GHz，

長度為5.6 mm 時，傳輸零點為 2.76 與 5.36 GHz。傳輸線

(a)

(b)

(c)

圖 2 (a)指叉低通結構；(b)傳輸線等效電感-電容(L-C) π型網路模型；(c)指叉結構等效π型電容網路。

段

l

S1對第一及第二傳輸零點之影響恰好相反，傳輸線段

l

S1

越長，第一傳輸零點往低頻偏移而第二傳輸零點往高頻偏移，反之，傳輸線段

l

S1越短，第一傳輸零點往高頻偏移，

第二傳輸零點往低頻偏移。

圖3(e)為傳輸線段 lS2對傳輸零點的影響，當傳輸線段

l

S2長度為0.46 mm 時，傳輸零點為 3.82 與 7.25 GHz，長度為1.46 mm 時，傳輸零點為 3.24 與 5.82 GHz，長度為 2.46 mm 時，傳輸零點為 2.84 與 4.85 GHz，長度為 3.46 mm 時，

傳輸零點為2.57 與 4.18 GHz。傳輸線段 l2對傳輸零點的影響與傳輸線段

l

1不同，傳輸線段

l

S2長度越長，傳輸零點往低頻偏移，傳輸線段

l

2長度越短則傳輸零點往高頻偏移。

(4)

(a) 指叉結構手指數與傳輸零點之關係。(w = 0.6 mm、

g = 0.6 mm、 l ^{= 1.2 mm、l}

^S1

= 3.6 mm、l

S2

= 2.46 mm)

(b) 指叉結構寬度 w 與傳輸零點之關係。(finger number

= 12、g = 0.6 mm、 l ^{= 1.2 mm、l}

^S1

= 3.6 mm、l

S2

= 2.46 mm)

(c) 指叉結構手指耦合長度 l ^{與傳輸零點之關係。}

(finger number = 12、w = 0.6 mm、g = 0.6 mm、l

S1

= 3.6 mm、l

S2

= 2.46 mm)

(d) 傳輸線段 l

S1

與傳輸零點之關係。 (finger number = 12、

w = 0.6 mm、g = 0.6 mm、

l

^{= 1.2 mm、l}

^S2

= 2.46 mm)

(e) 傳輸線段 l

S2

與傳輸零點之關係。 (finger number = 12、

w = 0.6 mm、g = 0.6 mm、

l

^{= 1.2 mm、l}

^S1

= 3.6 mm)

圖 3 指叉結構的結構參數與傳輸零點之關係

三、電路設計與實作

由上述針對不同指叉結構參數對傳輸零點對觀察與模擬的結果，可以找出所要頻率響應之替換電路以及對應此替換電路的結構尺寸。本節以兩種奇數階步階式阻抗低通濾波器設計用以驗証電路直接替代法的可行性，濾波器分別為三階與五階柴比雪夫頻率響應，漣波為0.5 dB，3 dB 截止頻率皆設為2.45 GHz，輸入與輸出阻抗為 50 歐姆，電路實作板材皆使用 Rogers 之 RO-4003C，厚度為 0.8128 mm，相對介電常數為 3.38，高阻抗設定為 145.14Ω，由使用板材條件計算後寬度約為 0.15 mm，此為雕刻機刻刀製作極限，低阻抗則設定為60Ω。基於電路設計對稱性，本

(5)

53 (a)

(L

1

= 6.05nH、C

2

=0.83pF、L

3

= 6.05nH)

(b)

(W

L1

= 0.15 mm、L

L1

= 8.85 mm、W

C1

= 1.38 mm、L

C1

= 7.9 mm、w

f

= 1.88 mm、l

f

= 5 mm)

(c)

(l

f

= 5 mm、l

S1

= 2.93 mm、l

S2

= 5.29 mm、l

S3

= 2.46 mm、

w

f

= 1.88 mm、w

1

= w

2

= 0.15 mm、w

3

= w

4

= 0.6 mm、g = 0.6 mm、

l

^{= 1.2 mm)}

圖 4 (a)三階柴比雪夫響應之集總元件電路；(b)三階柴比雪夫響應之佈線圖；(c)實際電路佈線圖。

文只取代中間開路殘段作為電路直接替代的部分。

設計一：三階柴比雪夫低通濾波器。

經由查表[25]得知三階柴比雪夫低通濾波器的標準化值為

L

₁ = 1.864、C₂ = 1.28、L₃

= 1.864，計算後 L

₁ = 6.05nH、

C

₂ =0.83pF、L₃= 6.05nH，如圖 4(a)，利用式(1)轉換成傳輸線的阻抗與電氣長度，可得

Z

_L1

= 145.14Ω、

θ = 39.9°、L1

Z

_C1

= 60Ω、 θ

_C₁= 37.5°，如圖 4(b)，再經過結構尺寸轉換後，

(a)

(b)

圖 5 使用電路直接替代法後之三階柴比雪夫響應濾波

器 (a)電路實體；(b)頻率響應圖(0 – 8 GHz)。

得到

W

_L1= 0.15 mm、L_L1 = 8.85 mm、W_C1 = 1.38 mm、L_C1

=

7.9 mm。運用圖 3(a)-(e)的模擬結果取得傳輸零點靠近 2.45 GHz 的指叉電容低通結構尺寸後，將替代元件取代中間開路殘段部分，如圖4(c)，替代後因為通帶內的反射係數 S₁₁ 顯著增加，經由微調後可以降低通帶內的反射係數

S

₁₁，微調後的尺寸為

l

_S1

= 2.93 mm、l

_S2 = 5.29 mm、l_S3 = 2.46 mm、

w

_f = 1.88 mm、w₁ = w₂ = 0.15 mm、w₃ = w₄ = 0.6 mm、g = 0.6 mm、

l

^{= 1.2 mm。}

圖5(a)為實際電路圖，其尺寸為 2.1cm

×

1.6cm。圖 5(b) 為其頻率響應圖，虛線為三階柴比雪夫低通濾波器的頻率響應，實線附三角形符號之曲線為應用直接替代法後的低通濾波器模擬值，粗實線為實際測量值。由圖 5(b)可知使用電路直接替代法後的電路，其截止頻帶附近的衰減響應比三階柴比雪夫低通濾波器有明顯的改善效果，特別是截止頻率附近之傳輸極點與傳輸零點非常靠近，IE3D 模擬的

3-order Chebyshev Simulation(IE3D) Measurement

Frequency(GHz)

C2

(6)

(a)

(C

1

= 1.15pF、L

2

= 4.14nH、C

3

= 1.71pF、L

4

=4.14nH、

C

5

= 1.15pF)

(b)

(W

C1

= 1.38 mm、L

C1

= 9.86 mm、W

L1

= 0.15 mm、L

L1

= 5.78 mm、W

C2

= 1.38 mm、L

C2

= 12.14 mm、w

f

= 1.88 mm、l

f

= 5 mm)

(c)

(l

f

= 4.3 mm、l

C1

= 6.09 mm、l

S1

= 4.56 mm、l

S2

= 3.6 mm、

l

S3

= 2.46 mm、w

f

= 1.88 mm、w

1

=1.27 mm、w

2

= w

3

= 0.15 mm、w

4

= w

5

= 0.6 mm、g = 0.6 mm、 l ^{= 1.2 mm)}

圖 6 (a)五階柴比雪夫響應之集總元件電路；(b)五階柴比雪夫響應之佈線圖； (c)實際電路佈線圖。

(a)

(b)

圖 7 使用電路直接替代法後之五階柴比雪夫響應濾波

器(a)電路實體；(b)頻率響應圖(0 – 8 GHz)。

傳輸零點為2.76 與 5.31 GHz，實際測量為 2.85 與 5.5 GHz，

模擬與實際測量值具有相當高的一致性。

設計二：五階柴比雪夫低通濾波器。

經由查表[25]得知五階柴比雪夫低通濾波器的標準化值為

C

1 = 1.807、L2

= 1.303、C

3

= 2.691、L

4

= 1.303、C

5 = 1.807，經由計算後 C1 = 1.15pF、L2 = 4.14nH、C3 = 1.71pF、

L

4 =4.14nH、C5 = 1.15pF，如圖 6(a)，利用式(1)轉換成傳輸線的阻抗與電氣長度，可得

Z

C1 = 60 Ω、

θ

_C₁= 46.8ْ、ZL1 = 145.14 Ω、

θ

_L₁^{= 26.05°、Z}C2 = 60 Ω、

θ

_C₂= 57.65°，如圖6(b)，再經由結構尺寸計算，得到 WC1

= 1.38 mm、L

C1 = 9.86 mm、WL1 = 0.15 mm、LL1

= 5.78 mm、W

C2

= 1.38 mm、

L

C2 = 12.14 mm。運用圖 3(a)-(e)的模擬結果取得傳輸零點靠近2.45 GHz 的指叉電容低通結構尺寸，將替代元件取代中

(7)

55

間開路殘段部分，如圖6(c)。替代後通帶內的反射係數 S11

增加，電路經微調後降低通帶內的反射係數

S

11，微調後的尺寸為

l

C1

= 6.09 mm、l

S1 = 4.56 mm、lS2 = 3.6 mm、lS3 = 2.46 mm、wf = 1.88 mm、w1

=1.27 mm、w

2

= w

3 = 0.15 mm、w4 =

w

5 = 0.6 mm、g = 0.6 mm、

l

^{= 1.2 mm。}

圖7(a)為實際電路圖，其尺寸為 2.4 cm

×

1.8 cm。圖 7(b) 為其頻率響應圖，虛線為五階柴比雪夫低通濾波器的頻率響應，實線附圓形符號之曲線為直接替代法的低通濾波器模擬值，粗實線為實際測量值。由圖7(b)得知使用電路直接替代法後的電路，其截止頻帶附近的衰減響應比五階柴比雪夫低通濾波器有著更佳的改善效果，特別是截止頻率附近之傳輸極點與傳輸零點更靠近，IE3D 模擬的傳輸零點為 2.85 與 4.72 GHz，實際測量為 2.81 與 4.49 GHz，且模擬與實際測量值具有相當高的一致性。

四、結論

本文提出電路直接替代法以指叉低通結構取代奇數階步階式阻抗低通濾波器的中間開路殘段部分，藉由調整指叉低通結構使步階式阻抗低通濾波器截止頻率附近之響應近乎陡直。並以文中所分析之指叉低通結構的特性作為依據，進行兩種步階式阻抗低通濾波器之設計，以驗証電路直接替代法的可行性。模擬與測量結果顯示使用電路直接替代法後的步階式阻抗低通濾波器在3dB 截止頻率附近具有良好的衰減效果。

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電路直接替代法用於改善步階低通濾波器之頻率響應斜度