第八章數列與級數

(1)

第八章數列與級數

8-1 等差數列與等差級數

數列與級數

1.數列

(1)一串數字依序列出，稱為「數列」，如a 、₁ a 、₂ a 、…、₃ a 、…，其中_n a 稱為數列 _n 第_n項或一般項，一般以{ }a 表示一數列。 _n

(2)數列的項數有限時，稱為「有限數列」；項數無限時，稱為「無窮數列」。

2.級數

將一數列之各項用加號連結起來，稱為「級數」，如a₁ a₂a₃_a_n_₁a_n。設S_n a₁a₂a₃_a_n_₁a_n，S 即為數列前_n n項之和，記為

1 n

n k

k

S a





^。

又S_n_₁a₁a₂a₃_a_n_₁。故S_nS_n_₁a_n，_n_₂。即 ¹ ¹

1 2

n n n

a S

a S S _ n

 

   

 ，。

★ 一般項求數列 ★

一數列{ }a ，一般項為_n a_n  n3n，求a₁a₄ a₉。

1 1 3 4 a   

4 4 12 2 12 14 a     

9 9 27 3 27 30 a     

1 4 9 4 14 30 48 a a a    

一數列{ }a ，一般項為_k a_k k²5，求a₂  。 a₄

2 4 5 1

a    

4 16 5 11 a   

2 4 1 11 10 a a    

★★ 級數和求數列 ★★

一數列{ }a 之前_n n 項和為S_n n² ，求下列1 各值：(1)a₁a₂ a₂₀ (2)a (3)_n a 。₃₀

(1)a₁a₂ _ a₂₀ S₂₀ 400 1 401  (2)a₁S₁ 2

當n2

2 2

1 1 ( 1) 1

n n n

a S S _ n   n   n² 1 (n²2n  1 1)

2n1

∴ 2, 1

2 1, 2

n

a n

n n

 

    (3)a₃₀ 60 1 59 

一數列{ }a 之前_n n 項和為S_n 2n²5n ， 5 求(1)a₁a₂ a₁₅ (2)a 。 ₁₀

(1)a₁a₂ _ a₁₅ S₁₅ 2 225 75 5

    450 70 380

  

(2)a₁₀ S₁₀ S₉

(200 50 5) (162 45 5)     155 122 33 

(2)

等差數列與等差級數

1.一數列a 、₁ a 、₂ a 、…、₃ a_n_₁、a ，若_n a₂ a₁ a₃a₂ _a_na_n_₁ d，即數列前後兩項之差相等，我們稱此數列為「等差數列」，_d稱為「公差」，此時S_n  a₁ a₂  a₃ _ a_n稱為「等差級數」。

2.等差數列公式

(1)一等差數列之首項為a ，公差為₁ d，則a_n   a₁ (n 1)d。一等差數列之第k項為a_k^，公差為d，則a_n a_k  (n k d) 。

(2) ¹

1

n n k

a a a a

d n n k

 

 

  。

(3)a、b、c三數成等差數列，則等差中項

2 ba c 。

★★ 等差中間項 ★★

在 與 39 之間插入 5 個數，使 7 個數成等3 差數列，求插入的第4 數。

1 3

a   ，a₇ 39 39 ( 3) 42

7 1 6 7

d  

  



插入第4 項a₅     a₁ (5 1) d 3 4 7 25

    

在9 與 27 之間插入 11 個數，使成等差數列，

求插入的第6 數。

1 9

a  ，a₁₃ 27 27 9 18 3 13 1 12 2

d 

  



插入第6 數a₇     a₁ (7 1) d 9 6 3 18

   2

★★ 等差數列 ★★

一等差數列第5 項為 75，第 10 項為 35，

則此等差數列第幾項開始出現負數？

10 5 35 75 40 10 5 5 5 8

a a

d      



10 ( 10) ( 8) 0 an a  n    35 8 n80 0   8n 115

115 3 8 148 n 

∴ 第15 項開始出現負數

一等差數列第3 項為137，公差為3，

則此等差數列第幾項開始出現正數？

3 ( 3)

an a    n d 137 (n 3) 3

     137 3n 9

    3n 146

  3n146 146 2

3 483 n 

∴ 第49 項開始出現正數

(3)

★★★ 等差數列應用 ★★

a^、b^、c^{三數成等差數列，且}a b c  ，若三數之和為15，三數之平方和為 203，

求公差及此三數。

設三數為x d 、_x、_{x d}_

∴ x d x x d    15  x5

2 2 2

(5d)   5 (5 d) 203

2d275 203  d² 64  d  8

∵ a b c   d  8

∴ 三數為13，5，3

五個數成等差數列，且五數之和為35，

最大數與最小數之差為32，求此五數。

35 7 5 

設五數為_{7 2d}_ 、_{7 d}_ 、7、7 d 、 7 2d

∴ (7 2 ) (7 2 ) 32 d   d  4d 32  d 8

∴ 五數為9、 、7、15、23 1

等差級數公式

1. 等差級數前n項和 ( ¹ ) [2 ¹ ( 1) ]

2 2

n n

a a n a n d n

S     

  。

2. n項等差級數（_n為奇數），其中間項為a ，則_k S_n a_kn。

★★ 等差級數 ★★

大於100 且小於 400 之間的整數中，為 4 的倍數的所有數之和為何？

1 104

a  ，a_n 396 396 104 (    n 1) 4 296 4n  n 74

(104 396) 74

18500

S  2  

求200 到 500 之間，所有被 6 除之餘 1 的數之總和。

1 205

a  ，a_n 499 499 205 (    n 1) 6 294 6 n6  n50

(205 499) 50

17600

S   2  

★★ 等差級數 ★★

一等差數列共有 20 項，若a₂₀ 91，且

20 1060

S ，求此數列之公差。

1 20

20

( ) 20 2 a a

S  



( 1 91) 20

1060 2

a  



1 91 106

a    a₁ 15 91 15 76

20 1 19 4

d   



一等差數列之首項為_₅₀，前 50 項之和為 2400，求此數列之公差。

1 50

50

( ) 50 2 a a

S  



( 50 50) 50

2400 2

 a 



4800 ( 50  a50) 50 50 a50 96

    a₅₀ 146 146 50 196

50 1 49 4

d    

 重點三

(4)

★★ 等差中項求級數和 ★★

一等差級數共有 71 項，已知此數列的第 35 項為27 且公差為 3，求此等差級數之和。

71 1 36 2

 

 中項a₃₆a₃₅ 3 30

∴ S₇₁30 71 2130 

一等差級數共有101 項，已知此數列的第 51 項為11 且公差為3，求此等差級數之和。

101 1 2 51

 

 中項a₅₁  11

∴ S₁₀₁ 11 101 1111

8-2 等比數列與等比級數

等比數列與等比級數

1.一數列a 、₁ a 、₂ a 、…、₃ a_n_₁、a ，若_n ² ³

1 2 1

n n

a a

a r

a  a  a _  ，即數列後項與前項之比值相等，我們稱此數列為「等比數列」，此比值r 稱為「公比」。

2.等比數列公式

(1)一等比數列之首項為a₁^，公比為r^，則a_n  a r₁ ⁿ^¹。一等比數列之第_k項為a_k^，公比為r^，則a_n a r_k ^{n k}^ 。 (2)

1 n n

r a a _

 ，_n_₂。

(3)a、b^、c三數成等比數列，則等比中項_b_{ } _ac（其中 ac 稱為a和_c的幾何平均數）。

★ 等比數列 ★★

一等比數列首項為324，第6 項為 3 4，

求公比及a 。 ₁₀

6 1

a  a r ^  4 ⁵ ( 324) 3    r

 ⁵ 1 r  243

  1

r 3

4 10 6

10 6

4 1 4

3 3 243

a  a r ^     

一等比數列第4 項為 12，第 7 項為 96，

求公比及a 。 ₁₀

7 4

a a r ^  96 12 r  ³

 r³   8 r 2

10 7

a a r ^ 96 8 768 

(5)

★★ 等比數列 ★ 一等比數列a₁₀1000，公比為

5

 ， 1

25

 8

n 

a ，求n 。

10 10

n

an a r ^ 

8 1 10

25 1000 5

 n

 

   

 



10

5

1 1

5 5

 n

   

 n10 5  n15

一等比數列首項為5，公比為 2，a_n 1280，求_n。

1 1

n

an  a r ^  1280 5 2  ^n¹

 256 2 ^n¹

 n 1 8

 n9

★★ 等比中間項 ★★

在112 與 7 之間插入 3 個等比中間項a、b 、 c ，且三數均為正數，求abc之值。

1 112

a  ，a₅  7 7 112 r   4 ⁴ 1

r 16  1 r 2

∴ a b c  56 28 14 42  

在 與 160 之間插入 4 個數，使此數列成等5 比數列，求此數列的第4 項a₄。

1 5

a   ，a₆ 160

160    5 r5 r⁵    32 r   2

∴ a₄    5 ( 2)³ 40

★★★ 等比數列應用 ★★★

設四正數a 、b 、 c 、 d 成等比數列，

若_a_{ b}_₁₄，_c_{ d} _₅₀₄，公比為r ， 求a 之值。 r

設四正數為a、_ar、ar 、² ar ³ 14

a b a ar     (1a    r) 14 (1)

2 3 504

c d ar  ar 

 ar²(1 r) 504 (2)_ (1)

(2)  r² 36  r 6代入(1)

 a2

∴ a r   2 6 8

設四數a 、b 、 c 、 d 成等比數列，

若a c85，b d 340，求公比。

設四數為a、_ar、ar 、² ar³

2 85

a c a ar   

 a(1r²) 85 ………(1)

3 340

b d ar ar 

 ar(1r²) 340 ………(2) (2)

(1)  ⁽¹ ₂²⁾ ³⁴⁰ (1 ) 85 ar r

a r

 

  r  4

(6)

等比級數公式

一等比級數之首項為a ，公比為₁ r ，則前_n項和 ¹⁽ ¹⁾ ¹⁽¹ ⁾ ( 1) (1 )

n n

n

a r a r

S r r

 

 

  。

★★ 等比級數 ★★

一等比級數之首項為48，第 6 項為 2

 ， 3

求此級數前10 項之和。

6 1

a  a r ^ 3 5

2 48 r

    1 ⁵ 32 r

   1 r   2

10

48 1 1 2 1 1

2 S

   

     

   

 

48 1023 31024 2

 

1023

 32

求等比級數_{162 54 18}_ _ _{ }_ 至前7 項之和。

公比 54 1 162 3

 

7

162 1 1 3 1 1

3 S

   

     



 162 2186

22187 3

 

2186

 9

★★ 等比級數 ★★

一等比級數之公比為 ，前 5 項之和為 3 3

122，求第7 項。

5 1

5

(1 ( 3) ) 122 1 ( 3) 3 S  a    

 

1 (244) 122

4 3

a    ₁ 2

a  3

7 1 6

7 1

2 ( 3) 486 a  a r ^   3 

一等比級數之首項為5，公比為 3，

和為1820，求此級數之項數。

5 (3 1) 3 1 1820

n

Sn    

 5 (3 ⁿ 1) 3640 3ⁿ 1 728

3ⁿ 729  n6

重點二

(7)

無窮等比級數之和

1.一等比級數S_  a₁ a r a r₁  ₁ ²  a r₁ ⁿ，項數無限多時，我們稱為「無窮等比級數」，

其和S_，記為S。 2. _lim ¹⁽¹ ⁾

(1 )

n

a r

S ^ r

 

 ：

(1)當 r 1，無窮等比級數之和S 不存在，為「發散級數」。

(2)當 r 1，無窮等比級數之和 ¹ 1 S a

 r

 ，為「收斂級數」。

★ 無窮等比級數 ★

求 4 8 16

2  3 9 27之值。

1 2

a  ， 2

r 3

2 2

2 1 6 1 3 3

S  



求cos120 cos 120²  cos 120³  之值。

1

cos120 1

a     ，2 1

cos120

r    2

1 1

2 2 1

1 3 3

1 2 2

S

 

  

 

   

★ 無窮等比級數 ★

無窮等比級數k2k²4k³8k⁴ 之和為 3

1，求k 之值。

a1  ，k r 2k 1 1 2 3 S k

 k 



 3k  1 2k  1 k 5

無窮等比級數22r2r²_2rⁿ _ 之和為5

6，求r 之值。

1 2

a  ， 2 6

1 5

S r 



 10 6 6r 

 2

r  3

★★★ 多組無窮等比級數 ★★★

求 1 1 1 1 1

1   2 4 8 16 32 之值。

1 1 1 1 1

1 8 64 2 16 128

   

          1 1 1

4 32 256

 

    

1 1

1 2 4

1 1 1

8 8 8

  

  

8 4 2 10 7 7 7 7

   

求 1 1 1 1 1 1

1   2 5 4 25 8 125  之值。

1 1 1 1 1 1

1 2 4 8 5 25 125

   

          

1 1

1 5 1 5

1 3 4 1 1

1 2 5 2 5

   

  

   

2 1 8 3 11 3 4 12 12

     重點三

(8)

★★★ 無窮等比級數應用 ★★★

一皮球從90 公尺的高空掉下，碰到地面反彈回到60 公尺的高度後，再度往下掉，反彈回到40 公尺的高度，再往下掉。如此反覆直到皮球停止，請問此皮球共移動多少公尺？

90 60 60 40 40    

(90 60 40 ) (60 40 )

       90 60

2 2

1 1

3 3

 

 

90 60

270 180 450 1 1

3 3

    

有一個三角形 其周長為 60 公分，面積為₁ 40 平方公分，取 之三邊中點，形成第二個₁ 三角形 ，再取₂  之三邊中點，形成第三個₂ 三角形 。一直重複此步驟，求所有三角形₃ 之周長總和及面積總和。

周長總和60 30 15  

60 60 1 1 120 1 2 2

  



公分

面積總和 10

40 10

   4 

40 40 160

1 3 3

1 4 4

  



平方公分

Σ之運算

1.Σ之性質 (1) ₁ ₂

1 n

k n

k

a a a a



   



^ ^{。 (2)}

1 1 1

( )

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

^。

(3)

1 n

k

c n c





  ^{。 (4)}

1 1

n n

k k

c a c a

 

 

 

^。

2.整式運算 (1)

1

( 1)

1 2 2

n

k

k n n n



     



^ ^。⁽²⁾ ² ² ² ²

1

( 1)(2 1) 1 2

6

n

k

n n n

k n



 

    



^ ^。

(3) ³ ³ ³ ³ ²

1

( 1)

1 2 [ ]

2

n

k

k n n n



     



^ ^。

3.分式之運算

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

( ) ( )

( )

n n n

k_ k k c  k_ c k k c  c k_ k k c

  

  

^，^（^{c Z}^ ^）^。

4.根式之運算

1 1 1

( ) ( )

n n n

k k k

k c k k c k

c c

k c k

  

     



 

 

^，^（^{c Z}^ ^）^。

重點四

(9)

★ Σ運算性質 ★ 試求下列各值：

(1)

_  

 5 

1

2 2

i

i (2) ⁹⁹

 

1

1 ^k

k



 ⁽³⁾



 12 5

3

n

。

(1) ⁵ ²

1

( 2) 3 6 11 18 27 65

i



      



(2) ⁹⁹

1

( 1)^k

k





( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1)

           

  1 (3) ¹²

5

3 3 3 3 3 3 3 3 24

n

        



試求下列各值：

(1)

  

 7 

3

3 15

k

k (2)



 15 

1

6

k

k (3)



 100

11

5

k

。

(1) ⁷

3

(15 3 )

k







        6 3 0 ( 3) ( 6) 0 (2) ¹⁵

1

| 6 |

k







         5 4 3 2 1 0 1 2  9 60

(3)¹⁰⁰

11

5

k



^{90 5 450}^{ }

★★ Σ運算性質 ★★

19 4

1





 k

ak ， ¹⁹ 9

1





 k

bk ，a₂₀ 10，b₂₀ 6，求 ²⁰ (2 3 4)

1







 k

k

k b

a ^。

20 19

20

1 1

4 10 14

k k

a a a

 

    

 

20 19

20

1 1

9 6 15

k k

b b b

 

    

 

20

1

(2 _k 3 _k 4)

k

a b



 



²⁰ ²⁰

1 1

2 _k 3 _k 4 20

k k

a b

 









  28 45 80

   63

10 7

2





 k

ak ， ¹¹ 20

1





 k

bk ，a₁ 3，b₁₁15，求 ¹⁰ (5 3 2)

1







 k

k

k b

a ^。

10 10

1

1 2

3 7 10

k k

a a a

 

    

 

10 11

11

1 1

20 15 5

k k

b b b

 

    

 

10

1

(5 _k 3 _k 2)

k

a b



 



10 10

1 1

5 _k 3 _k 20

k k

a b

 









 50 15 20 45  

★★★ Σ（多組無窮等比級數） ★★

求



^





 



1

1 1

4 3 ) 2 (

k k

之值。

原式

1 1

( 2) 3

4 4

k k

 

 

 





 



1 2 4 9 27 81

4 16 64 4 16 64

    

         

1 9

4 4

2 1 3

1 4 4

 

  

   

1 9

 6 55

 6

求



^





1 8

4 2

k k

之值。

原式

1 1

2 4

8 8

k k

 

 









1 1

4 2

k k

 

 

   

     

   

 

1 1

4 2

1 1

4 2

 

 

1 1 4 2 3 1 4 2

  1 2

3 1 3

   

(10)

★★★ Σ（分式之運算） ★★★

求



^

1 22 1

k k k之值。

1 1

1 1 1 1

( 2) 2 2

k k k k k k

 

 

 





 



   

1 1

2 1 3

  1 1

2 4

  1

 3 1

 5 1

 4 1

 6

 

  

 

1 1

2 1 2

 

    3

 4

已知 5 6

) 1 ( ₂



 

x x x

f ，求



 21 1

) (

n

f 之值。

1 1 1

( ) ( 2)( 3) 2 3 f x  x x  x x

   

21

1

1 1 1 1 1 1

( ) 3 4 4 5 23 24

n

f n



      



^

1 1 7 3 24 24

  

★★★ Σ（根式之運算） ★★★

已知 f x x x



 

2 ) 1

( ，

求 f(1) f(3) f(5)  f(47)之值。

( ) 1 2

f x  2 x  x (1) (3) (47) f  f   f

1[( 3

 2  1) ( 5  3) ( 49 47

   1

)] (7 1) 3

 2  

求



  

80

4 1

1

n n n 之值。

原式 ⁸⁰

4

( 1 )

n

n n





 

( 5  4) ( 6  5)   ( 81 80)  81 4   9 2 7

循環小數化成分數

13 .

0 0.13131313 0.13 0.0013 0.000013   

13 13 13 100 10000 1000000

   

99 13 100 10099 13

100 1 1

100 13





 。

0.123 0.12 0.003 0.0003 0.00003    

12 3 3 3 100 1000 10000 100000

 

     

  

3 3

12 1000 12 1000 12 3

1 9

100 1 100 100 900

10 10

     



108 3 111 37 900 900 300

    。

從上面兩個例子，我們知道循環小數可利用無窮等比級數來化成分數，但是一般在處理循環小數化成分數的題目時，多是使用速解法來求解。

重點五

這是一個無窮等比級數，

首項 100

 13 ，公比 100

 1 。

括弧內為無窮等比級數，

首項 1000

 3 ，公比 10

 1 。

(11)

解題方法：在循環小數中，小數點後的數字可分成兩類，有循環的，如c 、d 、 e ；及沒有 循環的，如a 、b 。

0. a b c d e 可化為

99900 99900

ab abcde

 沒有循環的  全部

0 0 9 9 9  （倒回去寫，置於分母）

： 13

0.1399

：x0.13……

100x13.13……

_  99x13， 13 x99

： 123 12 111 37 0.123

900 900 300

   

：x0.123，100x12.3……

1000x123.3……

_  900x111， 111 37 900 300 x 

★ 循環小數化分數 ★

將0.345化成分數。

345 3 342 19 0.345

990 990 55

   

7382 73 7309 0.7382

9900 9900

  

★ 循環小數化分數 ★

385 3 5.385 5

990

  382 191

5 5

990 495

 

45 5 1.45 1 1

99 11

 

( Ｄ ) 1. 若





 ⁿ

i i

n a

S

1

，已知S_n n² 3n，則a₂₀  (A)23 (B)46 (C)64 (D)42。

( Ａ ) 2. 一等差數列前三項之和為 30，且前三項平方和為 308，則其公差d (A)  2 (B) (C) 43  (D) 5 。

( Ｃ ) 3. 若



 10 

1

52

i ai ，



 10 

1

2 374

i ai ，則



 

 10 1

)2

1 (

i ai (A)373 (B)271 (C)280 (D)2601。

( Ｃ ) 4. 無窮級數



^



  1

1

5 3 2

k k

之和為 (A) 6 13 (B)

6 19 (C)

6

31 (D) 6 33。

( Ｂ ) 5. 無窮等比級數      81 16 27

8 9 4 3

1 2 之和為 (A)

3 2 (B)

5 3 (C)

5 1 (D)

3 1。

( Ｂ ) 6. 一個等差級數前十項之和為 10，而第 10 項為 5，則公差是 (A)1 (B) 9 8 (C)

8 9

(D) 8

 。 9

(12)

( Ｃ ) 7. 設100與 100 之間插入 50 個數，使成一等差數列，則此數列之和為 (A)1000 (B)2000 (C)0 (D)100。

( Ａ ) 8. 求無窮級數          256

1 128

1 64

1 32

1 16

1 8 1 4 1 2

1 1 (A)

7 2 (B)

7 4 (C)

7 6

(D)7 8。

( Ｃ ) 9. 有一等比數列第 4 項為 2，第 7 項為 4

1，則第 10 項為 (A) 8 1 (B)

16 1 (C)

32 1

(D)64 1 。

( Ａ )10. 級數(1² 2²)(3² 4²)(5² 6²)(49² 50²)之和為 (A)1275 (B)2499 (C)2401 (D)1325。

( Ａ )11. 設一等差數列之第 5 項為 19，第 9 項為 35，則前 10 項之和為 (A)210 (B)310 (C)410 (D)510。

( Ａ )12.



^

 

 



2 1

2

8 3 4

n n

(A) 5

19 (B) 5 12 (C)

7 8 (D)

8 1。

( Ｄ )13. 設{ }a 為一等差數列，且_n a_n 2n5，則前10 項之和為 (A)30 (B)30 (C)60 (D)60。

( Ｄ )14. 設

2 3 ) 1

( ₂



 

x x x

f ，則 f(1) f(2) f(50)之值為何？ (A) 50 49 (B)

156 49

(C)50 24 (D)

52 25。

( Ｂ )15. 將0.451化成最簡分數 b

a，則_b_{ a}_ (A)90 (B)181 (C)543 (D)539。

( Ａ )16. 1

( ) 1

f x  x x

  ，則 ²⁵

1

( )

x

f x



 ^之值為 (A)5 (B)6 (C) 24 (D)1 24。 ( Ｃ )17. 等差級數前n項和S_n  ，前5 3n項和S₃_n 36，則前_4n項和S 之值為何？ _4n (A)54

(B)58 (C)62 (D)64。

( Ｂ )18. ¹¹

1 k 5

k

a





 ^， ⁹

1 k 6

k

b





 ^，^a¹¹^{ ，}² ^b¹⁰ ^{ ，則}³ ¹⁰

1

(2 _k _k)

k

a b





 ^{之值為何？} (A)16 (B)15 (C)20 (D)23。

( Ａ )19. 四正數a、b、c、d成等比數列，其中a b 6，c d 24，則公比r 為何？ (A)2 (B) 2 (C)4 (D) 4 。

( Ｄ )20. 一等差級數共 93 項，已知第 48 項為 34，且公差為 4，求此等差級數之和為 (A)2794 (B)2800 (C)2786 (D)2790。

(13)

( Ｄ ) 1. 設a 、₁ a 、₂ a 、…、₃ a 是一_n n項等差數列，若第9 項a₉ 58且第15 項a₁₅ 100，則674 是這個等差數列的第幾項？ (A)94 (B)95 (C)96 (D)97。

【97 年統測 B】

( Ｃ ) 2. 試求無窮級數



^



 

0 3

5 2

n n

n

？ (A) 3

2 (B)8 (C) 2

21 (D) 。【97 年統測 B】

( Ａ ) 3. 若無窮等比級數

3 8 2

4

2 ² ³ ⁴ 

 x x x 

x ，則_x_？ (A)

7 2 (B)

2 1 (C)

3 1

(D)5

3。【98 年統測 B】

( Ｄ ) 4. 若數列a 、₁ a 、₂ a 、…、₃ a 的第_n n項

3

a_n  2n，則a₁a₂ a₃ _a₂₀之值為何？

(A)106 (B) 3

320 (C) 3

520 (D)140。【98 年統測 B】

( Ａ ) 5. 設p、為二相異正整數，且q a 為一等差數列的第_n n項。若a_p  ，q a_q  ，則p

q 

ap ？ (A)0 (B) p (C) q (D)pq。【98 年統測 C】

( Ｄ ) 6. 求





30 

1

) 2 3 (

k

k ？ (A)1320 (B)1325 (C)1330 (D)1335。【99 年統測 B】

( Ｄ ) 7. 求無窮等比級數 

 

 3 3 3

1 3

3 1 1 3

1 …_？ (A)

4

3 (B) 3

3 (C) 12

3 5

(D) 2

3。【99 年統測 B】

( Ａ ) 8. 無窮級數   ₂  ₃  ₄  ₅  3

1 2

1 3

1 2

1 3

1 1  ₂  ₂ _₁  3

1 2

1

k

k ？ (A)

24 41 (B)

24 59

(C)2 5 (D)

2

7。【99 年統測 C】

( Ｄ ) 9. 設一等差數列為 5、12、19、…，則第 101 項為何？ (A)695 (B)698 (C)700

(D)705。【100 年統測 B】

( Ｄ ) 10. 設某人跑 10 公里路程，第一公里以 5 分鐘完成，第二公里以 5 分 15 秒完成，第三公里以5 分 30 秒完成，依此類推，即全程的每一公里以此等差數列的時間完成，

則總共需花多少時間？ (A)58 分 45 秒 (B)59 分 15 秒 (C)60 分 45 秒 (D)61 分

15 秒。【100 年統測 B】

( Ｃ ) 11. 若無窮等比級數(0.4) (0.4) ²(0.4)³ _ (0.4)ⁿ _的和為_a，無窮等比級數

2 3

(0.2) (0.2) (0.2)  _ (0.2)ⁿ_的和為_b，則a

b  ？ (A)4

3 (B)2 (C)8 3

(D)4。【100 年統測 C】

(14)

( Ｂ ) 12. 若兩數列 2，2a，18 及a4，2，a7都是等比數列，則下列何者正確？

(A)   6 a 4 (B)   4 a 2 (C)2 a 4 (D)4 a 6。【101 年統測 C】

( Ｂ ) 13. 設一等比級數的第三項為 4，公比為 1

 ，前3 n項和為6560

243 ，則_n之值為何？

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10。【103 年統測 C】

( Ａ ) 14. 設a、_b、_c三個數均為正實數，且已知_{a c}_{ }₃₆，若_a、_b、12 三數成等差數列，

且2、b、_c三數成等比數列，則下列敘述何者有誤？ (A)b c 32 (B)a b 12 (C)b² 2c (D)2b a 12。【103 年統測 C】

( Ｄ )15. 已知四個正數a、_b、_c、_d為一等比數列，若_{a b}_{ }₂₀，_{a b c d}_{   }₆₅，則_a_？ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8。【104 統測】

( Ｃ )16. 設 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 六數成等比數列，且已知ace168，bd f 84，則d 之值為何？ (A)6 (B)9 (C)16 (D)32。 【105 統測】

( Ａ ) 17. 設a、_b、_c三數成等比數列，且滿足_{a b c}_{  }₉及a²b² c² 189，則等比中項 b？ (A) 6 (B) 2 (C) 1

2 (D) 6。【106 統測】

( Ｄ ) 18. ¹⁰

1

(2ⁿ 3 2)

n



  

第八章 數列與級數