1 國立交通大學應用數學系 莊重教授
§15.2 Iterated Integrals
＊Double Integral：二維計算屋子體積的方法。
＊Iterated Integral：一維計算屋子體積的方法。(要算兩次)
(i).
. 2
) , ( ,
) (
) ( )
, (
次 一維算法算
相加 將所有縱截面面積連續
，房子的縱截面面積 固定
b a
d c b
a d c b
a d c
dx dy y x f dx
dy y x f dx
x A
x x A dy y x f
. ) ,
cd(
b
a f x y dxdy y
而得
的縱截面面積算法 同理可得，先固定
Problem：
此三種屋子的體積算法 相等？
什麼樣的屋頂
f(
x,
y)
z Theorem：(Fubini’s Theorem). ) , ( )
, ( )
, (
then ) (
on continuous is
If
D
d c
b a b
a d
c f x y dydx f x ydxdy
dA y x f
D
f
屋頂沒破 ，
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Remark：
(i). In fact, f 只有些許小裂縫，三種體積算法也是一樣。
(ii). Clairaut’s Theorem：
When the order of partial differentiation does not matter?
Fubini’s Theorem：
When the order of iterated integrals does not matter?
Example 1：
].
, 0 [ ] 2 , 1 [ , ) sin(
Find y xy dA R
R
Solution：
) . (
0
sin 2
2 sin 1
cos 2
cos cos
) sin(
) sin(
0 0
0 0
2 1 0
2 1
有地下室，體積相消
y y
dy y y
dy xy
dy dx xy y dA
xy y
R
Example 2：
3
2 , [ 0 , 2 ] [ 1 , 2 ].
x y dA RR
Solution：
3 12 .
12 6
2 2 3
3 1
2 0
2 1 2 3
0 2 1
2
2 1
2 2
0 2
1
2 2 2
1 2 0
2
dx y xy dx
dy y x
dy y x
y x dy
dx y x
Example 3：
. planes coordinate The
2 2
16 by
enclose volume
the Find
2 2
y x
z y x
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Solution：
.
3 16 160
] 2 , 0 [ ] 2 , 0 [
16
2 0
2 0
2 2
2 2
x y dxdyV
y x z
地基：
屋頂：
Example 4：
Find the volume of the solid in the first octant bounded by the cylinder
z = 9 – y2and the plane x = 2.
Solution：
] 3 , 0 [ ] 2 , 0 [
9
2
地基：
屋頂：
z yExample 5：
).
, ( that
Prove . ,
for )
, ( )
, ( and ] , [ ] , [ on continuous is
If
y x f g g d
y c b x a
ds dt t s f y
x g d
c b a f
yx xy
x a
y c
Proof.
).
, ( )
, (
) , ( )
, (
).
, ( )
, (
Fubini
y x f g ds y s f g
dt ds t s f y
x g
y x f g dt t x f g
FTC yx x
a FTC y
y c
x a
FTC xy y
c FTC x
