第二章 命题逻辑等值演算第二章 命题逻辑等值演算

主要内容

 等值式与基本的等值式

 等值演算与置换规则

 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式

 联结词完备集

 可满足性问题与消解法

第二章 命题逻辑等值演算

2.1 等值式

定义 2.1

若等价式 AB 是重言式，则称 A 与 B

A B ，并称 AB 是等值式

几点说明：

 定义中， A, B,  均为元语言符号

 A 或 B 中可能有哑元出现 .

例如 (pq)  ((pq)(rr)) r 为左边公式的哑元 .

 用真值表可检查两个公式是否等值 请验证：

p(qr)  (pq) r

等值式例题

例 1

判断下列各组公式是否等值 : (1) p (qr) 与 (pq) r

1 1 1 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 0 1 1

1 0 1 1 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

(pq)r p(qr)

qr

p q r pq

0

0

0

0

0

0

1

1

等值式例题

(2) p (qr) 与 (pq) r

0 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0

(pq)r p(qr)

qr

p q r pq

1

1

1

1

0

0

1

基本等值式

双重否定律  AA

幂等律 AAA, AAA

交换律 ABBA, ABBA

结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),

A(BC)(AB)(AC) 德摩根律  (AB)AB

(AB)AB

吸收律 A(AB)A, A(AB)A

基本等值式

零律 A11, A00 同一律 A0A. A1A 排中律 AA1

矛盾律 AA0

蕴涵等值式 ABAB

等价等值式 AB(AB)(BA) 假言易位 ABBA

等价否定等值式 ABAB

归谬论 (AB)(AB) A

等值演算与置换规则

1.

2.

(1)

(2)

(3)

3.

设  (A) 是含公式 A 的命题公式， (B) 是用公式 B 置 换

等值演算的应用举例

证明两个公式等值

例 2

证明 p(qr)  (pq)r 证 p(qr)

 p(qr) （蕴涵等值式，置换规则）

 (pq)r （结合律，置换规则）

 (pq)r （德摩根律，置换规则）

 (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）

证明两个公式不等值

例 3

方法二 观察法 . 观察到 000, 010 是左边的成真赋值，是 右边的成假赋值

方法三 先用等值演算化简公式，然后再观察 p(qr) pqr

(pq)r (pq)r(pq)r

更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真 赋

值和右边的成假赋值

等值演算的应用举例

判断公式类型 : A 为矛盾式当且仅当 A  0

A 为重言式当且仅当 A  1

例 4

(1) q(pq)

(2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r)

等值演算的应用举例

解 (1) q(pq)

判断公式类型

(2) (pq)(qp)

 (pq)(qp) （蕴涵等值式）

 (pq)(pq) （交换律）

 1 重言式

(3) ((pq)(pq))r)

 (p(qq))r （分配律）

 p1r （排中律）

 pr （同一律）

可满足式， 101 和 111 是成真赋值， 000 和 010 等是成假赋

值 .

基本等值式

双重否定律

幂等律

交换律

结合律

分配律

德摩根律

吸收律

基本等值式

零律

同一律

排中律

矛盾律

蕴涵等值式

等价等值式

假言易位

等价否定等值式

归谬论

2.2 析取范式与合取范式

基本概念

(1) 文字——命题变项及其否定的总称

(2) 简单析取式——有限个文字构成的析取式 p, q, pq, pqr, …

(3) 简单合取式——有限个文字构成的合取式 p, q, pq, pqr, …

(4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式 p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr)

(5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式

范式概念

说明：

 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式

 形如 pqr, pqr 的公式既是析取范式，又是合

取范式

范式的性质

定理 2.1

(1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式 .

(2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题 变项和它的否定式 .

定理 2.2

(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合 取式都是矛盾式 .

(2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都

是重言式 .

命题公式的范式

定理 2.3

（范式存在定理）

任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式

公式 A 的析取 ( 合取 ) 范式与 A 等值的析取 ( 合取 ) 范式 求公式 A 的范式的步骤：

(1) 消去 A 中的 ,  （若存在）

ABAB

AB(AB)(AB)

(2) 否定联结词的内移或消去

 A A

(AB)AB

(AB)AB

命题公式的范式

(3) 使用分配律

A (BC)(AB)(AC) 求合取范式 A (BC) (AB)(AC) 求析取范式

公式范式的不足不惟一

求公式的范式

例 5

求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (pq)r

(2) (pq)r

解 (1) (pq)r

 (pq)r （消去）

 pqr （结合律）

最后结果既是析取范式 ( 由 3 个简单合取式组成的析取式 )

，又

是合取范式 ( 由一个简单析取式组成的合取式 )

(2) (pq)r

 (pq)r （消去第一个）

 (pq)r （消去第二个）

 (pq)r （否定号内移——德摩根律 ) 析取范

式

 (pr)(qr) （对分配律） 合取范式

求公式的范式

极小项与极大项

定义 2.4

在含有 n 个命题变项的简单合取式（简单析取式）

中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现

一次，而且第 i 个文字出现在左起第 i 位上（ 1in ），称这 样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项） .

几点说明：

 n 个命题变项有 2

个极小项和 2

个极大项

 2

个极小项（极大项）均互不等值

 用 m

表示第 i 个极小项，其中 i 是该极小项成真赋值的十

进制表示 . 用 M

表示第 i 个极大项，其中 i 是该极大项成

假赋值的十进制表示 . m

（ M

）称为极小项（极大项）的

名称 .

实例

由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项

极小项 极大项

公式 成真赋值 名称 公式 成假赋值 名称

pq

pq pq

pq

0 0 0 1 1 0 1 1

m

m

m

m

pq pq

pq pq

0 0 0 1 1 0 1 1

M

M

M

M

实例

极小项 极大项

公式 成真赋值 名称 公式 成假赋值 名称

p q r

p q  r

p q  r

p q  r p q r

p q  r p q  r

p q  r

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

m

m

m

m

m

m

m

m

p  q  r p  q  r p  q  r p  q r

p  q  r p  q  r p  q  r p  q r

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

M

M

M

M

M

M

M

M

由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项

主析取范式与主合取范式

主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如， n=3, 命题变项为 p, q, r 时，

(pqr)(pqr)  m₁m₃ —— 主析取范式 (pqr)(pqr)  M1M7—— 主合取范式

公式 A 的主析取 ( 合取 ) 范式——与 A 等值的主析取 ( 合取 ) 范 式

定理 2.5 ( 主范式的存在惟一定理 )

求公式主范式的步骤

求公式主析取范式的步骤 :

设公式 A 含命题变项 p1,p2,…,pn

(1) 求 A 的析取范式 A=B1 B₂ …  B_s , 其中 Bj是简单合取 式 j=1,2, … ,s

(2) 若某个 Bj既不含 pi, 又不含 pi, 则将 Bj展开成 B_j  B_j(p_ip_i)  (B_jp_i)(B_jp_i)

重复这个过程 , 直到所有简单合取式都是长度为 n 的极 小项为止

(3) 消去重复出现的极小项 , 即用 mi代替 mim_i (4) 将极小项按下标从小到大排列

求公式主范式的步骤

求公式的主合取范式的步骤 : 设公式 A 含命题变项 p

,p

,…,p

(1) 求 A 的合取范式 A=B

B

 … B

, 其中 B

是简单析取 式 j=1,2, … ,s

(2) 若某个 B

既不含 p

, 又不含 p

, 则将 B

展开成 B

 B

(p

p

)  (B

p

)(B

p

)

重复这个过程 , 直到所有简单析取式都是长度为 n 的极

大项为止

实例

例 6

(1)

解 (pq)r

(pq)

 (pq)(rr)

 (pqr)(pqr)

 m

 (pp)(qq)r

 (pqr)(pqr)(pqr)(pqr)  m

实例

(pq)r

pr

 p(qq)r

 (pqr)(pqr)

 M

qr

 (pp)qr

 (pqr)(pqr)

 M

主范式的应用

1. 求公式的成真成假赋值

设公式 A 含 n 个命题变项 , A 的主析取范式有 s 个极小项 , 则 A

有 s 个成真赋值 , 它们是极小项下标的二进制表示 , 其余 2ⁿ-s 个赋值都是成假赋值

例如

(pq)r  m

成假赋值为 000, 010, 100.

类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值 .

2. 判断公式的类型

设 A 含 n 个命题变项 .

A 为重言式  A 的主析取范式含全部 2

个极小项

 A 的主合取范式不含任何极大项 , 记为 1.

A 为矛盾式  A 的主合析取范式含全部 2

个极大项

 A 的主析取范式不含任何极小项 , 记为 0.

A 为非重言式的可满足式

 A 的主析取范式中至少含一个、但不是全

部极小项

 A 的主合取范式中至少含一个、但不是全

主范式的应用

例 7

用主析取范式判断公式的类型 :

(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r 解

(1) A  ( pq)q  ( pq)q  0 矛盾式 (2) B   p(pq)  1  m

m

m

m

重言式 (3) C  (pq)r  (pq)r

 (pqr)(pqr)(pqr) (pqr)(pqr)(pqr)

 m

m

m

 m

m

非重言式的可满足式

主范式的应用

3. 判断两个公式是否等值

例 8

用主析取范式判以下每一组公式是否等值 ⑴ p(qr) 与 (pq)r

⑵ p(qr) 与 (pq)r

解 p(qr) = m

m

m

m

 m

m

 m

(pq)r = m

m

m

m

 m

m

 m

(pq)r = m

m

 m

m

 m

显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值 .

主范式的应用

4. 解实际问题

例 9 某单位要从 A,B,C 三人中选派若干人出国考察 , 需满足 下

述条件 :

(1) 若 A 去 , 则 C 必须去 ; (2) 若 B 去 , 则 C 不能去 ;

(3) A 和 B 必须去一人且只能去一人 .

问有几种可能的选派方案 ?

解 记 p: 派 A 去 , q: 派 B 去 , r: 派 C 去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值

A=(pr)(qr)((pq)(pq))

主范式的应用

求 A 的主析取范式

A=(pr)(qr)((pq)(pq))  (pr)(qr)((pq)(pq))  ((pq)(pr)(rq)(rr)) ((pq)(pq))

 ((pq)(pq))((pr)(pq)) ((rq)(pq))((pq)(pq)) ((pr)(pq))((rq)(pq))  (pqr)(pqr)

主范式的应用

由主析取范式确定主合取范式

例 10 设 A 有 3 个命题变项 , 且已知 A= m1m₃m₇, 求 A 的主合 取

范式 .

解 A 的成真赋值是 1,3,7 的二进制表示 , 成假赋值是在主析取 范式中没有出现的极小项的下角标 0,2,4,5,6 的二进制表示 , 它 们恰好是 A 的主合取范式的极大项的下角标 , 故

A  M₀M₂M₄M₅M₆

用成真赋值和成假赋值确定主范式

由主合取范式确定主析取范式

用真值表确定主范式

2.3 联结词的完备集

定义 2.6

称 F:{0,1}

 {0,1} 为 n

.

{0,1}

={00…0, 00…1, …, 11…1} ，包含 个长为 n 的 0,1 符号

串 .

共有 个 n 元真值函数 .

2n

2

2n

2

1 元真值函数 p

0 0 0 1 1

) 1 ( 3 )

1 ( 2 )

1 ( 1 )

1 (

0

F F F

F

真值函数

p q 0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 p q

0 0 0 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

) 2 ( 7 )

2 ( 6 )

2 ( 5 )

2 ( 4 )

2 ( 3 )

2 ( 2 )

2 ( 1 )

2 (

0 F F F F F F F

F

) 2 ( 15 )

2 ( 14 )

2 ( 13 )

2 ( 12 )

2 ( 11 )

2 ( 10 )

2 ( 9 )

2 (

8 F F F F F F F

F

2 元真值函数

公式与真值函数

) 2 (

F

任何一个含 n 个命题变项的命题公式 A 都对应惟一的一个 n 元

真值函数 F , F 恰好为 A 的真值表 .

等值的公式对应的真值函数相同 .

例如： pq, pq 都对应

联结词完备集

定义 2.7

若 S 是联结词完备集 , 则任何命题公式都可由 S 中的联结词表 示

定理 2.6

S = {

联结词完备集

推论 以下都是联结词完备集

(1) S

= {, , , } (2) S

= {, , , , }

(3) S

= {, } (4) S

= {, }

(5) S

= {, }

证明

(1),(2) 在联结词完备集中加入新的联结词后仍为完备集

(3) AB  (AB)

(4) AB  (AB)

复合联结词

定义 2.8 设 p, q 为两个命题 , (pq) 称作 p 与 q 的与非式 , 记 作

pq, 即 pq  (pq),  称为与非联结词

(pq) 称作 p 与 q 的或非式 , 记作 pq, 即 pq  (pq),  称为或非联结词

定理 2.7 {} 与 {} 为联结词完备集 . 证明 {, , } 为完备集

p  pp  (pp)  pp pq  (pq)  pq  (pp)(qq) pq  (pq)  (pq)  (pq)(pq) 得证 {} 为联结词完备集 . 对 {} 类似可证

2.4 可满足性问题与消解法

不含任何文字的简单析取式称作空简单析取式 , 记作 . 规定是不可满足的 .

约定 : 简单析取式不同时含某个命题变项和它的否定

S: 合取范式 , C: 简单析取式 , l: 文字 , : 赋值 , 带下角标或  文字 l 的补 l^c: 若 l=p, 则 l^c=p; 若 l=p, 则 l^c=p.

SS:S 是可满足的当且仅当 S _{是可满足的}

定义 2.9 设 C¹=lC₁, C₂=l^cC₂, C₁ 和 C2 不含 l 和 l^c, 称 C¹C₂ 为

C₁和 C2( 以 l 和 l^c为消解文字 ) 的消解式或消解结果 , 记作

消解规则

定理 2.8 C1C₂Res(C₁,C2)

证 记 C= Res(C1,C2)=C1C₂, 其中 l 和 l^c为消解文字 , C1=lC₁, C

2=l^cC₂, 且 C1 和 C2 不含 l 和 l^c.

假设 C1C₂是可满足的 ,  是它的满足赋值 , 不妨设 (l)=1.

C₂必含有文字 l l, l^c且 (l )=1. C 中含有 l, 故_{满足 C.}

反之 , 假设 C 是可满足的 ,  是它的满足赋值 . C 必有 l _使得

(l )=1, 不妨设 C1 含 l, 于是_{满足 C1}. 把扩张到 l( 和 l^c) 上 : 若 l=p, 则令 (p)=0; 若 l^c=p, 则令 (p)=1. 恒有 (l^c)=1, 从而 满足 C2. 得证 C1C₂是可满足的 .

注意 : C1C₂与 Res(C1,C2) 有相同的可满足性 , 但不一定等值 .

消解序列与合取范式的否证

定义 2.10 设 S 是一个合取范式 , C1,C₂,,C_n是一个简单析取式 序列 . 如果对每一个 i(1in), Ci是 S 的一个简单析取式或者是 Res(C_j,C_k)(1j<k<i), 则称此序列是由 S 导出 Cn的消解序列 . 当 C_n= 时 , 称此序列是 S 的一个否证 .

定理 2.9 一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证 .

例 11 用消解规则证明 S=(pq)(pqs)(qs)q 是不可 满足的 .

消解算法

消解算法

输入 : 合式公式 A

输出 : 当 A 是可满足时 , 回答“ Yes”; 否则回答“ No”.

1.

2.

3. For C

4. If C

, C

5.

,C

) 6. If C=  then

7.

8. If CS

then

消解算法

10. For C

S

, C

S

且 C

C

11. If C

, C

可以消解 then 12. 计算 CRes(C

,C

) 13. If C=  then

14. 输出“ No”, 计算结束 15. If CS

且 C S

then

16. S

S

{C}

17. If S

= then

18. 输出“ Yes”, 计算结束

消解算法例题

例 12

用消解算法判断下述公式是否是可满足的 : p(pq)(pq)(qr)(qr)

解 S= p(pq)(pq)(qr)(qr)

循环 1 S

=, S

={p, pq, pq, qr, qr}, S

=

Res(pq, pq)=p

Res(pq, qr)=pr Res(pq, qr)= pr Res(qr, qr)=q S

={pr, pr, q}

循环 2 S

={p, pq, pq, qr, qr}, S

={pr, pr, q}, S

=

Res(pq, q)=p

消解算法例题

Res(qr, pr)=pq Res(qr, pr)=pq Res(pr, pr)=p S

=

输出“ Yes”

第二章 习题课

主要内容

 等值式与等值演算

 基本等值式（ 16 组， 24 个公式）

 主析取范式与主合取范式

 联结词完备集

 消解法

基本要求

 深刻理解等值式的概念

 牢记基本等值式的名称及它们的内容

 熟练地应用基本等值式及置换规则进行等值演算

 理解文字、简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式 的概念

 深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成真、成 假赋值的关系，并理解简单析取式与极小项的关系

 熟练掌握求主范式的方法（等值演算、真值表等）

 会用主范式求公式的成真赋值、成假赋值、判断公式的类型

、判断两个公式是否等值

 会将公式等值地化成指定联结词完备集中的公式

练习 1: 概念

1. 设 A 与 B 为含 n 个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？

(1) AB 当且仅当 A 与 B 有相同的主析取范式

(2) 若 A 为重言式，则 A 的主合取范式为 0 (3) 若 A 为矛盾式，则 A 的主析取范式为 1 (4) 任何公式都能等值地化成 {, } 中的公式

(5) 任何公式都能等值地化成 {, , } 中的公式

说明 :

(2) 重言式的主合取范式不含任何极大项，为 1.

(3) 矛盾式的主合析范式不含任何极小项 , 为 0.

(4) { , } 不是完备集，如矛盾式不能写成 {, } 中的公式 .

真

假

假

假

真

练习 2: 判断公式类型

解 用等值演算法求主范式 (pq)(qp)

 (pq)(qp)  (pq)(qp)

 (pq)(pq)(pq)(pq)  m

 m

 m

 m

 m

 m

 m

 m

主析取范式 2. 判断下列公式的类型 :

(1) (pq)(qp)

练习题 2( 续 )

解 用等值演算法求公式的主范式 (pq)q

 (pq)q  pqq

 0 主析取范式  M

 M

 M

 M

主合取范式

(2) (pq)q

矛盾式

解 用等值演算法求公式的主范式 (pq)p

 (pq)p  p

 (pq)(pq)

 m

 m

主析取范式  M

 M

主合取范式 (3) (pq)p

练习 2( 续 )

练习 3 ：求公式的主范式

3 ．已知命题公式 A 中含 3 个命题变项 p, q, r ，并知道它的成真 赋值为 001, 010, 111, 求 A 的主析取范式和主合取范式，及 A 对 应的真值函数 .

解

A 的主析取范式为 m

 m

 m

A 的主合取范式为 M

 M

 M

 M

 M

p q r F p q r F

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1 0

0 1 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 1 1

练习 4 ：联结词完备集

4 ．将 A = (pq)r 改写成下述各联结词集中的公式 : (1) {, , }

(2) {, }

(3) {, }

(4) {, }

(5) {}

(6) {}

解

(1) (pq)r  (pq)r

练习 4 解答

(4) (pq)r  ((pq)r)  ((pq)r) (5) (pq)r  (pq)r

 (pq)r

  ((pq)r)

 ((pq)r)((pq)r) (6) (pq)r (pq)r

 ((pq)r)  (pq)r

 ((pp)(qq)(rr)

说明：答案不惟一

练习 5 ：应用题

5. 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选 派一些人出国学习 . 选派必须满足以下条件：

(1) 若赵去，钱也去 .

(2) 李、周两人中至少有一人去

(3) 钱、孙两人中去且仅去一人 .

(4) 孙、李两人同去或同不去 .

(5) 若周去，则赵、钱也去 .

用等值演算法分析该公司如何选派他们出国？

练习 5 解答

解此类问题的步骤：

1. 设简单命题并符号化 2. 用复合命题描述各条件

3. 写出由复合命题组成的合取式

4. 将合取式成析取式（最好是主析取范式）

5. 求成真赋值 , 并做出解释和结论

练习 5 解答

解

1. 设简单命题并符号化

设 p: 派赵去， q: 派钱去， r: 派孙去， s: 派李去， u: 派周去

2. 写出复合命题

(1) 若赵去，钱也去 pq (2) 李、周两人中至少有一人去 su

(3) 钱、孙两人中去且仅去一人 (qr)(qr) (4) 孙、李两人同去或同不去 (rs)(rs)

3. 设 (1)—(5) 构成的合取式为 A

A = (pq)(su)((qr)(qr))

((rs)(rs))(u(pq))

4. 化成析取式

A  (pqrsu)(pqrsu)

结论：由上述析取式可知， A 的成真赋值为 00110 与 11001 ， 派孙、李去（赵、钱、周不去）

派赵、钱、周去（孙、李不去）

练习 5 解答

练习 5 解答

A  (pq)((qr)(qr))

(su)(u(pq))

((rs)(rs)) B

=(pq)((qr)(qr))

 ((pqr)(pqr)(qr)) （分配律）

B

=(su)(u(pq))

 ((su)(pqs)(pqu)) （分配律）

B

B

 (pqrsu)(pqrsu)

(qrsu)(pqrs)(pqru)

练习 6: 消解法

6. 构造公式 A=(pq)( qr) (pq)r 的否证 , 从而证 明

它是矛盾式 . 解 消解序列 :

① pq A 的简单析取式

② pq A 的简单析取式

③ q , ① ② 消解

④ qr A 的简单析取式

⑤ r A 的简单析取式

⑥ q , ④ ⑤ 消解

⑦  ③, ⑥ 消解

这是 A 的一个否证 , 从而证明 A 是矛盾式 .

练习 7: 消解法

7. 用消解法判断下述公式是否是可满足的 : (pq)(qr)(qr)

解 S=(pq)(qr)(qr)

第 1 次循环 S

=,S

={pq, qr, qr}, S

=

p q, qr 消解得到 pr q r, qr 消解得到 r S

={pr,r}

第 2 次循环 S

={pq, qr, qr},S

={pr,r}, S

=

S

=