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✐ 數學傳播 44 卷 3 期, pp. 3-4
規範理論的緣起
演講者 : 丘 成桐院士
時 間 : 民國 108 年 7 月 9 日 地 點 : 中研院數學所 6 樓演講廳
1915 年, 愛因斯坦方程的重大成功在科學界廣為流傳。 在寫下最終的方程前, 愛因斯坦曾 與多位數學家進行交流, 因此數學界對他的成就倍感興奮。 幾位重要的數學家隨即著手結合重 力與電磁力。 迄今, 他們的工作盡皆影響了理論物理學, 卻都未獲物理學家認同!
平行性、 Weyl 規範理論
除了 Grossmann、 Hilbert 及 Noether 之外, 愛因斯坦還曾與 Levi-Civita 和 Cartan 進行了廣泛交流。 1917 年, Levi-Civita 意識到 : 度量創建了切向量的平行性 (parallelism) 概念, 且單是平行性的概念就涵蓋了我們感興趣的大多數性質, 諸如曲率。 由於 Christoffel 符 號完全決定了平行性, 因此可將它們用作獨立變量。
這個看法深具啟發性。 隔年, Hermann Weyl 藉由非緊緻的乘法實數群, 開創了他的 (阿 貝爾 (abelian)) 規範理論。 愛因斯坦非常重視 Weyl 的理論, 但他認為這並非物理理論, 因為 其中的平移未能讓長度保持恆定。
在量子力學漸次發展之後, Weyl 改寫 Fritz London 等人的工作, 以 「圓群 (circle group)」 取代 「實數的乘法群」, 從而使他的理論符合物理性質, 讓長度保持不變。 Maxwell 方 程被完美地納入其中, 成為 Weyl 規範理論的一部分。
1926 年出現了另一項發展。 ´Elie Cartan 推廣 Levi-Civita 的觀點, 主張平移理論的發 展對象, 不應僅限於切向量, 而該擴及纖維束 (fiber bundle) 中的向量。 據此, Weyl 的理論迅 即推廣為非阿貝爾規範理論; (1954 年該理論被重新發現, 亦即 Yang-Mills 理論, 用以解釋高 能物理中的同位旋 (isospin)。)
陳氏類、 Calabi-Yau 空間
1926 年至 1945 年間, 由於 Hassler Whitney、 Eduard Stiefel、 Lev Pontryagin、 陳 省身及 Charles Ehresmann 的工作, 非阿貝爾規範理論有了廣泛的發展。 他們率先開發了特
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✐ 4 數學傳播 44 卷 3 期 民 109 年 9 月
徵類的概念, 賦予每個規範體 (gauge field) 一些整數上同調類 (integer cohomology class)。
這些整數類最終成為規範理論物理中最基本的大域不變量。 它們出現在高能物理、 凝態物質和 許多相關領域。
早在 1947 年, Weil 就認為 : 這些整數類應該是量子化量子場理論的基本工具。 之後證實 Weil 的建議是準確且饒富成果的。
大約在 Weyl 對規範理論感興趣的同時, 另一位名為 Kaluza 的數學家提出了極富原創性 的想法, 意圖將重力與電磁力相結合。
他主張對具圓對稱的五維純重力做研究。 令人驚嘆地, 他發現 : 有效的四維理論其實是重 力外加電磁學。 因此, 藉由五維空間的重力, 我們創造了四維的物質。 愛因斯坦對此理論深感驚 訝和讚賞。 但很快地, 學者發現它產生一個額外的純量場。 但該純量場不存在於大自然, 因此該 理論被擱置了一段時日。 但它是如此美好, 因此總不時重現復出。
該理論的現代版本, 就是所謂的 Calabi-Yau 緊緻化理論; 原理論中的 「圓」 被 「六維緊 緻流形」 取代, 而該流形允許超對稱性。 這類空間的存在性並不明顯, 是我在 1976 年證明的。
這類空間的幾何性質, 可以決定宇宙中粒子的相互作用。 1984 年以來, 許多數學和物理都被納 入這一理論。 它可能是數學和理論物理學的一個最活躍的領域。
1950 年哈佛大學舉辦國際數學家大會。 陳省身給了題為 「纖維束幾何」 的演講, 詳細闡述 他與 Cartan 合作開發的非阿貝爾規範理論。 較之物理學家晚近提出的理論, 這個理論完整許 多。 陳氏類 (Chern class) 的想法成為量子場論的量子化基石。 第一陳氏類的曲率表現促發了 Calabi 猜想, 進而促發了 Calabi-Yau 空間的構建, 成為弦論的根基。
瞬子 (instanton)、 物理與數學
規範理論在 1970 年代更受青睞, 主因是 ’t Hooft 在規範理論的工作, 成功將其量子化。
在研究過程中, 他需對名為瞬子 (instanton) 的規範體進行了解。 它們是幾何學的美好研究對 象; 物理學家首先創建了其中一部分, Atiyah-Drinfield-Hitchin-Mannin 將它們完全分類。
幾何學家就此開始廣泛地與物理學家合作。 Donaldson 及 Uhlenbeck-Yau 揭示大量的方程 解, 它們成為數學中的重要工具。
幾何中許多美好的特性, 其實是可以觀察到的; 洞悉此事真是饒富趣味。 著名的
Aharonov-Bohm 實驗, 證明了規範理論的可積分 (holonomic) 現象。 可積分行為的概念是 說 : 如果我們攜帶一把尺, 沿著彎曲空間中的圓行進, 則其角度隨空間的曲率而改變。
—演講者丘成桐為哈佛大學講座教授—
