微積分之意義與價值

微積分之意義與價值

單維彰‧中央大學數學系

民國百年4月25日@逢甲大學首演

一個哲學（自然哲學）

• 一個量不但可以和另一個量成正比

– 等速運動的位移與時間關係

• 一個量可以跟它自己的變化率成正比

– 高溫物體的降溫速率正比於它和環境的溫差

（牛頓冷卻定律）

–

T    k T (  T

)

第二個哲學

• 「力」的作用現象，是速度的改變

• 「力」正比於速度的變化率，或位移的二次變 化率

–

• 重寫虎克定律（彈簧的恢復力正比於 變形的長度）

–

F  ma   mx

x k x

 

m



第三個哲學

• 兩物不必相觸也可以有「力」的作用

• 萬有引力 r

• 自由落體

3

GM 1

  r



0,

x

y

g

 

極坐標系出名門

• 圓錐曲線的極坐標方程式（焦點之一為原點）

• 當離心率

e

1 cos r c

e 

 

微積分—哲學的實踐方法

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Mathematical Principles of Natural Philosophy

自然哲學的數學原理

1687年7月5日

微分：從特例發現通則

 令 是多項式函數，餘式定理

 所以 必被 「整除」

其商為

 的平均速度是從a到b的割線斜率

( ) ( )( ) ( ) f x  q x x  a  f a

( ) f x

( ) ( )

f x  f a

x a  ( )

q x

a   x b

( ) ( ) f b f a ( )

b a q b

 



微分：從特例發現通則

• 在這「一瞬」的速度定義為

• 其他函數也都用這個辦法：

先定義

再「設法」計算

（試試看 或者 ）

( ) '( ) q a  f a

( ) ( ) ( ) f x f a

q x x a

 



'( ) ( ) f a  q a

( )

f x  x _{f x( )} ¹_n

 x

積分：「一個合理的假設」

• 令 是在 的位置

（給定參考坐標）

• 如果速度是

c

• 則總位移 是「曲線下面積」

c(b‐a)

( )

x

x t

積分：「一個合理的假設」

• 如果在每「一滴滴」時間dt內以等速度 運動，

則一小段位移是：

• 對每一個從

a 至 b 的 t，把全部的小位移

• 也應該是「曲線下面積」。（轉而定義了「面 積」。）

b

a

x dt



x dt  x

x dt

微積分基本定理

• 「位移」當然等於「結束時的位置」和

「開始時的位置」之差

• 永遠將參考坐標的原點設定在開始時的位 置，則「每個」結束時的位置就是

x

( ) ( )

b

a x dt  x b  x a



t ( )

a

x d 

x t



微積分基本定理

• 所以，積分（反微分）就可以用來求解「與自己的 變化率成正比」的等式（微分方程）

• 成比例下降的指數函數

• 簡諧運動的三角函數

• 自由落體和自由拋射物的所有問題

• r 「算出」地球繞日的橢圓軌

( 0) T  k T  T x k x

  m



0,

x  y   g

 

3

r GM 1

  r



微積分—諸神遠去，人性覺醒

微積分—計算方法

• 經由對『無窮』的理解與掌握發展而成的 一套超級計算方法

1 2 2

( )

1 2

n n

n

n

x y x

x

y

x

y y

        

   

(1 ) 1 2

1 2

n n n n

x   x   x x

      

   

(1 ) 1

, | | 1

1 2

r

r r r

x x x x x

n

     

            

     

微積分—計算方法

3 5

1 1

sin x   x 3! x  5! x 

2 4

1 1

cos 1

2! 4!

x   x  x 

2 3 4 5

1 1 1 1

1 2! 3! 4! 5!

ex   x x  x  x  x 

2 3 4 5

1 1

1 2! 3! 4! 5!

ix i i

e   ix x  x  x  x 

歐拉公式：

e

 cos   i sin 

平面的秘密

平面 點P

直角坐標 點 複數平面 點 平面向量

( , ) P x y

x  yi  re

OP x

y

   

 



平面的秘密

 令 和 為單位圓上的複數，則

揭開了向量的原型，坐標不再只是被動地記錄點的位 置，釋放了坐標本身的威力

（ 的面積是 ）

就像物理學家解開了原子的秘密一樣 威力巨大而影響深遠

e

  a bi

( )

( ) ( ) ⁱ cos( ) sin( )

a bi ac bd ad bc i e i

c di

 ^    

         



ABC ^{1 | |}

2  AB AC

微積分200年 (A)

• 1643年

牛頓誕生，鄭成功驅逐荷蘭人統治台灣，

明崇禎景山自縊

• 從「台海戰史」化約而看國力：

• 西班牙人 < 荷蘭人 < 鄭成功

< 明朝官兵 < 清朝官兵

微積分200年 (B)

• 1843年

漢彌爾頓在金雀橋上刻下i²=j²=k²=ijk=‐1  英國國會通過對中國宣戰，發動「鴉片戰 爭」，割據香港

• 200年間，何致如此？

（歐拉公式就發生在這200年的半途。）

微積分—腦力的釋放

• 將可以從事智力勞動的人口比例，

從 10% 躍進提升到 40%

• 讓國民教育開始有意義

電子計算機—腦力的再次釋放

– 將可以從事智力勞動的人口比例，

從 40% 躍進提升到 60%

– 讓終身學習開始有意義

What’s (

…

… very likely) Next?

矩陣計算  線性代數  向量