隨機性的統一理論
Kevin Hartnett
1翻譯 : 姜義浩
原文刊登於 Quanta Magazine August 2, 20162.
研究者發現不同型態的隨機物件之間的深層連繫, 闡明隱藏的幾何結構。
標準的幾何物件可用簡單的規則來描述; 舉例來說, 每一條直線正好都是 y = ax + b, 而 且彼此之間存在著良好的關係 : 連接兩點構成直線, 連接四個線段構成正方形, 連接六個正方 形構成立方體。
這些都不是麻省理工學院的數學教授 Scott Sheffield 關心的那類物體。 他研究的是隨機 過程建構出的幾何形狀; 這類物體各不相同。 隨機漫步是最為人熟知的隨機圖形, 它們無處不 在, 既見諸財務資產價格上的變化, 也呈現為量子物理中的粒子路徑。 這些漫步被描述為隨機, 因為我們無法預知它下一步何去何從, 即使已知它在某個時間點之前的所有軌跡。
除了一維的隨機漫步, 還存在許多其它種類的隨機幾何圖形, 諸如各種隨機路徑、 二維隨 機曲面, 以及隨機成長模型, 其中的一些模擬青苔在岩石上的散佈方式。 所有這些幾何圖形都自 然而然地出現在物理世界, 但直到最近, 仍存在於嚴謹數學的範圍之外。 著眼於大量隨機路徑或 隨機二維幾何圖形時, 數學家很可能無法講出這些隨機物件共有的特性。
然而在過去幾年的工作中, 經常合作的 Sheffield 及劍橋大學 Jason Miller 教授證明了:
這些隨機物件可分成若干類型, 各類型分別有其獨特的性質, 而且某些類型和其他類型有著出 人意表的明確關連。 他們的工作開創了幾何隨機性 (geometric randomness) 的統一理論。
「考慮一些最自然的物件, 譬如樹、 路徑、 曲面等等, 而後證明它們互有關連。」 Sheffield 說, 「一旦有了這些連結, 就可以證明以前不能證明的各種新定理。」
數月之內, Sheffield 與 Miller 將發表一系列三篇論文的完結篇, 提出隨機二維曲面的第 一個全面性觀點, 其成就將不亞於歐幾里德的平面映射。
瑞士 ETH 的 Wendelin Werner 教授曾因機率論和統計物理上的工作獲 2006 年菲爾 茲獎; 他說 : 「Scott 和 Jason 已能落實自然的概念, 不受制於技術細節」, 「基本上, 他們能夠 推導出其它方法看來遙不可及的結果」。
1Quanta Magazine 的資深數學作家。
2https://www.quantamagazine.org/a-unified-theory-of-randomness-20160802
量子弦上的隨機漫步
在歐氏幾何中, 有趣的幾何物件包括直線、 射線, 以及圓或拋物線之類的平滑曲線。 這些形 體的坐標都具清楚有序的模式, 可用函數表示。 舉例來說, 若知直線上的兩點坐標, 就可得知直 線上其它各點的坐標。 圖 1 中, 在一點輻射出的射線上, 其點坐標亦是如此。
想要著手描繪隨機二維幾何時, 可想像一架飛機。 在飛行長途航線時, 譬如從東京到紐約, 飛行員會循直線從一個城市飛至另一個城市。 但把航線畫在地圖上時, 看到的是不平直的曲線;
這是球體 (地球) 上的直線映射到平坦紙面的結果。
如果地球不是球狀, 而是更複雜的形體, 甚或以放肆且隨機的方式彎曲, 那麼飛機的軌跡 (展現在平坦二維地圖上) 就會顯得更不規則, 如同圖 2 的射線。
圖 1 : Scott Sheffield 繪製 圖 2 : Scott Sheffield 繪製
每條射線呈現飛機從原點出發後的軌跡, 途中它盡可能沿著直線飛越某隨機起伏的幾何曲 面。 曲面的隨機程度在圖 3 及圖 4 中鮮明呈現 : 隨著隨機程度增加, 射線搖晃且扭曲, 形如更 加銳利的鋸齒狀閃電, 幾乎無條理可循。
圖 3 : Scott Sheffield 繪製 圖 4 : Scott Sheffield 繪製
然而無條理可循並不意味無從理解。 在隨機幾何中, 一旦得知某些點的位置, 就可 (在最好
的情況下) 將機率分配給後續點的位置。 而就如同做了手腳的骰子仍具隨機性, 但其隨機性不同 於正常骰子, 我們仍可用不同的機率測度來產生隨機曲面的點座標。
數學家發現, 並且希望可以繼續發現, 隨機幾何中的某些機率測度極為特殊, 往往會出現 於許多不同的場景。 大自然似乎傾向於用一類非常特別的骰子 (有不可數無窮多面的骰子), 去 生成它的隨機曲面。 Sheffield 及 Miller 等數學家力圖精確理解這些骰子的性質 (以及它們產 生的形體的典型性質), 希望能如數學家理解普通球面一般。
循此方式理解的第一類隨機幾何圖形, 就是隨機漫步。 就概念上來說, 一維隨機漫步, 正 是你反覆丟銅板所得的路徑, 過程中出現正面時往某方向走、 出現反面時往反方向走。 在現實 世界, 這類運動在 1827 年首獲關注, 因當時英國植物學家 Robert Brown 觀察懸浮在水中 的花粉隨機移動。 這看來隨機的運動, 肇因於個別的水分子撞擊各個花粉。 1920 年, MIT 的 Norbert Wiener 教授對這個過程做出準確的數學描述, 名之為布朗運動。
布朗運動是隨機漫步的 「尺度極限 (scaling limit)」; 若隨機漫步的步距很短, 兩步間隔的 時間也極短, 則隨機路徑會越來越像布朗運動。 隨著時間推移, 布朗運動是幾乎所有隨機漫步趨 近的幾何形狀。
對照於此, 最早關注於二維隨機空間的, 是物理學家, 源自他們了解宇宙結構的企圖。
在弦論中, 我們考慮隨時間擺動且演化的細小的弦。 如同點的時間軌跡可描繪為一維曲線, 弦的時間軌跡也可理解為二維曲線; 這個二維曲線通稱為世界片 (worldsheet), 蘊藏了一維的 弦隨時間擺動所形成的歷史。
「為理解弦的量子物理」 Sheffield 說, 「你希望曲面有類似於布朗運動的東西。」
多年來, 物理學家有類似的東西, 至少在某種程度上是如此。 1980 年時, 物理學家 Alexan- der Polyakov (目前在普林斯頓大學) 想到了描述這些曲面的方式, 日後被稱為 Louiville 量 子重力 (LQG)。 對隨機二維曲面, 他提供了一個不完整但仍非常有用的看法。 特別來說, 它提 供物理學家一個定義曲面角度的方法, 讓他們可以計算曲面面積。
同時, 另一種被稱為布朗映射 (Brownian map) 的模型, 提供了研究隨機二維曲面的不 同方法。 LQG 讓計算面積變得容易, 而布朗映射的結構允許研究者計算點之間的距離。 布朗映 射與 LQG 提供了物理學家及數學家兩個互補的觀點, 他們希望這兩個觀點基本上是相同的。
但他們無法證明 LQG 和布朗映射彼此相容。
Sheffield 說:「這是個很奇怪的狀況; 對你所謂的最標準的隨機曲面, 有兩個相抗衡的隨機 曲面模型, 傳達出關於曲面的不同訊息。」
始自 2013 年, Sheffield 跟 Miller 著手證明 : 這兩個模型本質上描述的是同一件事。
隨機增長的問題
本世紀初, Sheffield 是史丹佛大學的研究生, 跟著理論機率學家 Amir Dembo 做研究。
Sheffield 在博士論文中提出一個問題, 想在一群複雜的曲面中找出秩序。 他把這個問題當成平 日的思考練習題。
Sheffield 說 : 「我以為這會是非常困難的問題, 要兩百頁才能解決, 並且可能永遠沒人會 去研究它。」
但 Miller 出現了。 在 Sheffield 畢業多年後, 2006 年時 Miller 去了史丹佛, 也開始 跟 Dembo 做研究。 Dembo 要他探究 Sheffield 的問題, 藉以理解隨機過程。 Sheffield 說 :
「Jason 設法解決這個問題, 這讓我很驚訝, 於是我們開始合作研究, 後來有幸請他到 MIT 當 博士後。」
為證明 LQG 和布朗映射是二維隨機曲面的等價模型, Sheffield 和 Miller 採取的作法在 觀念上十足簡單。 他們決定去看看, 可否發明某種方法, 來測量 LQG 曲面上的點距離, 而後證 明 : 這個新的距離測度正是布朗映射的距離測度。
因此 Sheffield 和 Miller 考慮設計一個數學尺, 來測量 LQG 曲面上的距離。 然而他們 立即發現到, 一般量尺無法用在這些隨機曲面; 這個空間如此脫序, 隨意移動筆直的物件, 必然 會把它折斷。
於是他倆揚棄了尺, 轉而嘗試將距離問題重新詮釋為成長的問題。 要理解這個方法如何運 作, 可想像某曲面上成長的菌落; 初始之時它只佔據一個點, 但隨著時間推移, 它向各個方向擴 展。 要測量兩點的距離, 一個 (看似迂迴的) 方法是讓菌落從某一點開始擴展, 測量該菌落花費 多少時間才包含另一點。 Sheffield 說, 訣竅是要用某種方法 「描述球逐漸增長的過程。」
在普通平面上描述球如何增長是很容易的, 因為所有的點都已知且固定, 增長的方式也為 確定。 隨機增長描述起來困難許多, 長期困擾數學家。 但 Sheffield 和 Miller 很快得知 : 「相較 平滑曲面, 隨機增長在隨機曲面容易理解些。」 在某種意義下, 增長模型的隨機性, 與執行該模型 的曲面之隨機性完全一致。 Sheffield 說:「你在一個瘋狂的曲面上添加一個瘋狂的增長模型, 但 不知何故, 這在某些方面實際上讓事情變得更好。」
圖 5 : γ = 0.25 的 Eden 模型 Jason Miller 繪製 下三圖展現特定的隨機增長模型, 即所謂的 Eden
模型。該模型描述菌落的隨機增長, 而菌落的增長仰賴 隨機放置在邊界的細菌簇。 在任何給定的時間點, 都無 法確知下個細菌簇將出現在邊界的何處。 在這些圖像 中, Miller 和 Sheffield 展示了 Eden 增長如何在隨 機二維曲面上進行。
圖 5 展現頗為平坦的 (亦即不特別隨機的) LQG 曲面上的 Eden 增長。 成長以有序的方式進行, 幾乎形 成同心圓。 這些同心圓以色彩編碼, 標示曲面上的不同 點發生增長的時間。
在圖 6 及圖 7, Sheffield 與 Miller 展示了隨機性較大的曲面上的成長情況。 曲面的隨機 性是由常數 γ 所控制; 隨著 γ 增加, 曲面變得更為崎嶇, 有更高的峰及更低的谷, 而曲面上的 隨機增長也更為脫序。 圖 5 的 γ = 0.25, 圖 6 的 γ 定為 1.25, 引入五倍大的隨機性來建構曲 面, 其上的 Eden 增長也相形曲折蜿蜒。
圖 6 : γ = 1.25 的 Eden 模型, 圖 7 : γ = 1.63 的 Eden 模型, Jason Miller 繪製 Jason Miller 繪製
當 γ = (8/3)1/2 (大約 1.63) 時, LQG 曲面起伏更形劇烈, 其崎嶇程度與布朗映射可相 比擬, 因而可對隨機幾何曲面的兩個模型做更直接的比較。
在如此崎嶇的曲面上, 隨機增長以極不規則的方式進行。 要以數學來描述它, 就好比試圖 預測颶風中細微的壓力起伏。 但 Sheffield 和 Miller 體認到 : 他們需要明確模擬極為隨機的 LQG 曲面上的 Eden 增長, 方能建立一個與極為隨機的布朗映射等價的距離結構。
Sheffield 說 : 「弄清楚如何在數學上讓隨機增長具嚴謹性, 是研究工作的巨大絆腳石。 你 總是需要某種神奇的巧妙技巧來達成。」 我們注意到 : Warwick 大學的 Martin Hairer 獲 2014 年菲爾茲獎的工作, 克服的正是此種障礙。
隨機探索
Sheffield 和 Miller 的妙技植基於某特殊類型的隨機一維曲線, 它們和隨機漫步類似, 但 不能自相交。 物理學家已長年遭逢這類型的曲線, 譬如正旋粒子簇與負旋粒子簇的交界 (粒子 簇的邊界是無自相交且隨機成形的一維路徑)。 他們知道這種隨機且不自相交的路徑發生在大 自然, 一如 Robert Brown 在大自然觀察到隨機且自相交的路徑, 但他們不知道如何以某種精 確的方式思考它們。 1999 年時, 任職於華盛頓州 Redmond 微軟研究院的 Oded Schramm 引進 SLE (Schramm-Loewner evolution) 曲線, 作為不自相交隨機曲線的典範。
圖 8 : SLE 曲線, Jason Miller 繪製
Schramm 關於 SLE 曲線的工作, 是隨機物件研究的里程碑。 Schramm 在 2008 年因登 山意外喪生; 一般的共識是, 如果他早幾個禮拜發表成果, 就會獲菲爾茲獎 (菲爾茲獎只頒發給 四十歲以下的數學家)。 事實上, 他的兩位合作者承襲他的工作而獲此獎項 : Wendelin Werner 於 2006 年, Stanislav Smirnov 於 2010 年。 更重要的是, SLE 曲線的發現, 使得隨機物件 的諸多事項能被證明。
Sheffield 是 Schramm 的朋友及合作者; 他說 : 「由於 Schramm 的工作, 很多物理方 面的東西, 原本用物理的方式看來是對的, 現在突然進入到可用數學來證明的範圍內。」
對 Miller 和 Sheffield 來說, SLE 曲線以出人意表的方式變得非常有價值。 為了要在 LQG 曲面上測量距離, 從而證明 LQG 曲面和布朗映射是同一回事, 他們需要找到方法來為 隨機曲面上的隨機增長建立模型。 SLE 正是這種方法。 Miller 說:「令人振奮的一刻是當我們體 認到 : 可以用 SLE 建構隨機增長, 並且 SLE 和 LQG 之間存有關連。」
圖 9 : κ = 0.5 的 SLE 模型, 圖 10 : κ = 3 的 SLE 模型, Scott Sheffield 繪製 Scott Sheffield 繪製
SLE曲線有個常數 κ , 扮演的角色類似於 LQG 曲線上的 γ。 γ 描述 LQG 曲面的崎嶇 程度, 而 κ 描述了 SLE 的起伏變動。 當 κ 極小時, 曲線看起來像直線。 隨著 κ 變大, 建構曲 線的函數有了更大的隨機性, 曲線也變得更無規範, 儘管仍恪遵可反彈但不可自相交的規則。 圖 9 是 κ = 0.5 的 SLE 曲線, 圖 10 是 κ = 3 的 SLE 曲線。
Sheffield 和 Miller 注意到 : 當他們把 κ 調整為 6 而 γ = (8/3)1/2 時, 隨機曲面上的 SLE 曲線遵循某種探索過程。 藉由 Schramm 和 Smirnov 的工作, Sheffield 和 Miller 知道 : 當 κ = 6 時, SLE 曲線遵循 「盲人探索家」 的軌跡; 探索家行走時營造步道以標誌路徑 : 她 盡可能隨機地移動, 除非觸及某段曾走過的路徑, 此時她轉身離開此段路徑, 以避免穿越自己的 路徑或陷入死胡同。
Sheffield 說 : 「探索家發現, 每當她的路徑觸及自身, 就會割捨那塊被路徑完全包圍的土 地, 她也就不能再造訪該地。」
Sheffield 和 Miller 接著考慮細菌成長的 Eden 模型。 該模型在隨機曲面上推進時也有 類似效果 : 它以擠掉地域的方式成長, 而後不再造訪舊地。 被不斷增長的菌落擠掉的地域, 看起 來與盲人探險家切割掉的土地完全相同。 尤有甚者, 在任何時間點, 盲人探索家對隨機曲面上未 探索區域所擁有的資訊, 和菌落擁有的資訊完全相同。 兩者之間的唯一區別是, 菌落從其外側邊 界的所有點同時增長, 而盲人探險家的 SLE 路徑只能從其尖端增長。
在一篇 2013 年發表於網路的論文中, Sheffield 及 Miller 想像 : 在盲人探索家造訪過 的領土之邊界上, 如果每隔幾分鐘, 她就神奇地被送到隨機新地點, 將會發生何事? 藉著環繞邊 界移動, 她將從各邊界點有效地同時增長路徑, 就如菌落一般。 於是他們可以用一些已理解的事 情, 亦即 SLE 曲線如何在隨機曲面上推進, 再藉由某些特別配置, 證明曲線的演變恰好描述了 一個他們還未能理解的過程, 亦即隨機成長。 Sheffield 說 : 「SLE 和增長之間的關係有些特別 之處, 這就是讓一切成為可能的奇蹟。」
藉由精確的理解這些曲面上隨機增長行為, LQG 曲面的距離結構證實等價於布朗映射上 的距離結構。 因此, Sheffield 跟 Miller 把兩個不同的隨機二維形狀模型合併, 形成一個連貫且 數學上已被理解的基礎項目。
把隨機變成一種工具
Sheffield 及 Miller 已發表兩篇文章證明 LQG 和布朗映射等價, 登載於科學預印本網站 arxiv.org; 他們並打算在今年夏天公布最後的第三篇。 這些工作讓我們開始有能力探討不同的 隨機形體及過程, 諸如: 了解隨機不自相交曲線、 隨機增長, 以及隨機二維曲面之間如何相互關 連。 在隨機幾何的研究中, 可能會出現越來越繁複的結果, 這是一例。
Sheffield 說 : 「這就像你在山上有三個不同的洞穴, 一個有鐵, 一個有金, 一個有銅。 突然 間你找到連接三個洞穴的方法。 有了這些元素, 你既可用它們建構一些東西, 也可以結合它們,
來製造之前不能建構的各種東西。」
很多問題尚待解決, 包括 : 在 LQG 曲面較平滑的情況, 判斷 SLE 曲線、 隨機增長模型, 及距離量度之間的關係是否成立。 實際上, Sheffield 和 Miller 的結果可用來描述實際現象, 譬 如雪花、 礦藏, 及洞穴中樹突的隨機增長, 但惟當這些隨機增長發生在想像世界中的隨機曲面才 可如此。 至於他們的方法可否應用到一般歐氏空間, 譬如我們所居住的空間, 就有待觀察了。
