1.3 1.3 逆 矩 阵 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念与性质
一、逆矩阵的概念与性质
二、用行初等变换求逆矩阵
二、用行初等变换求逆矩阵
引例 . 某工厂检验室有甲乙两种不同的化学原料，甲 种原料分别含锌与镁 10% 与 20% ，乙种原料分别 含锌与镁 10% 与 30% ，现在要用这两种原料分别 配制 A 、 B 两种试剂， A 试剂需含锌镁各 2 克、 5
克， B 试剂需含锌镁各 1 克、 2 克 . 问配制 A 、 B
两种试剂分别需要甲乙两种化学原料各多少克？
解：设配制 A 试剂需甲乙两种化学原料分别为
x 、 y 克；配制 B 试剂需甲乙两种化学原料分别为
s 、 t 克；根据题意，得如下矩阵方程
0.1 0.1 2 1
0.2 0.3 5 2
x s y t
————————————1.3 逆矩阵
————————————
0.1 0.1 2 1 0.2 0.3 5 2 (1)
x s y t
0.1 0.1 2 1
, ,
0.2 0.3 5 2
A X x s C
y t
设
则 (1) 式可写为：
AX C
想一想：怎样求出未知矩阵 X
？
想一想：怎样求出未知矩阵 X
答：？ 若能找到一个矩阵 B
，满足 BA=I ，则
AX C X BC
联想：对于数的方 程
ax=c ，有
ax c
即
x a c
1a
1a
1B B
————————————1.3 逆矩阵
————————————
一、逆矩阵的概念与性质
定义 设 A 为 n 阶矩阵 , 若存在 n 阶矩阵 B ， 使得 AB = BA = I,
则称 A 为可逆矩阵， B 为 A 的逆矩阵，
记为 A
-1 = B.定义 设 A 为 n 阶矩阵 , 若存在 n 阶矩阵 B ， 使得 AB = BA = I,
则称 A 为可逆矩阵， B 为 A 的逆矩阵，
记为 A
-1 = B.若 A 可逆，则 A-1 存在，且 A AA A-1-1 = A = A-1-1 A = I. A = I
1.
定义
————————————1.3 逆矩阵
————————————
(1)
单位阵 I :
(2)
对角阵 :
1
, 1, ..., n 0
n
d
D d d
d
O （ ）,
1
1 1
1
.
n
d
d
D
O
1
, ( 0)
kI
k
（ ）
I -1 = I 2.
特殊矩阵的逆矩阵
(3)
数量矩阵 :
————————————1.3 逆矩阵
————————————
1 I
k
(4)
初等矩阵的逆
1
E
ij
1
( ) E
ic
1
( ) E
ijc
————————————1.3 逆矩阵
————————————
E
ij； E
ij( ) c ( ),
10;
i c
E c
分析 ： 设有 B 和 C 满足
AB = BA = I, AC = CA = I. I
B B
则
3.
相关定理
想一想：一个可逆矩阵的逆是否唯一？
想一想：一个可逆矩阵的逆是否唯一？
( )
B AC
(BA)C IC C
注意： 若 A, B 均为方阵，且 AB = I ( 或 BA =
I),则 A 可逆且 B=A
-1.注意：
若 A, B 均为方阵，且 AB = I ( 或 BA =
I),则 A 可逆且 B=A
-1.————————————1.3 逆矩阵
————————————
定理 1 设 A 可逆，则它的逆是唯一 的 .
定理 1
设 A 可逆，则它的逆是唯一 的 .
1. A
-1可逆 , 且
(A-1)-1 = ;2. λA 可逆 , 且 (
λA)-1 =3. AB 可逆 , 且 (AB)
-1 =4. A
T可逆 , 且 (A
T)-1 =定理 2 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵 , 数
,则
定理 2
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵 , 数
,
则 0
A
1/λ A-1 B-1 A-1 (A-1)T.
逆运算与转置运 算可以交换次序 逆运算与转置运 算可以交换次序
例 1 设方阵 A 满足 A2 - A - 2I =O, 证明：
(1) A 和 I - A 都可逆，并求其逆矩阵；
(2) A+I 和 A-2I 不同时可逆 .
证：
(1) A A I( ) 2 ,
I A(12 ( A ))I I1 1
2 ( ).
A A A I 所以 可逆，且
I A
I
A
)( )( 12
A A
I A
I 可逆，且( )1 21 所以
(2) ( A I )( A 2I )
A2
A 2
I O所以， A+I 和 A-2I 不同时可 逆 .
又
————————————1.3 逆矩阵
————————————
例 2
2 B , A I B
B
设
3
.2
1 1 I A
A
A可逆且
： 证明
————————————1.3 逆矩阵
————————————
例
3
2
.1
, 0 :
1
A I
A I
A
A k
： 求
； 可逆
： 证明
满足 矩阵
1 3
A 2 I A
1 2 3
A A
2
2
1 3( ) ( 2 )
2
I B I B B
I证明：
所以 1
1 3
A
2 I A
分析：需构造关系式：
( I A ) ? I A
kA
可逆，则
:AX b 0 : AX
想一想：若 A 可逆，则以 A 为系数 矩阵的方程组的解如何？
想一想：若 A 可逆，则以 A 为系数
矩阵的方程组的解如何？
————————————1.3 逆矩阵
————————————
X A b
1有唯一解
0 X 只有零解
二、可逆与方程组解的关系
定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各命题等价
：
定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各命题等价
： 1. A 是可逆的；
2. AX = 0 只有零解；
) (行阶梯形矩阵
行初等变换 B
A
BX = 0 只有零解 . B
的对角元均非零。
B I
B 行初等变换
则， 的行简化阶梯形
分析：
————————————1.3 逆矩阵
————————————
3. A 与 I 行等价；
4. A 可表为有限个初等矩阵的乘积 .
由 3 可得 A 可经行初等变换得 I.
1,..., k
,
k 1 ,E E E L E A I
存在初等矩阵 使得
1 1 1 1
1 k I 1 Ek .
A E
想一想：若 A 可逆 ,A 的简化行阶梯
L E E L 形长什么模样？
想一想：若 A 可逆 ,A 的简化行阶梯
形长什么模样？
√ ?
推论 设 A 为 n 阶矩阵，则 AX = b 有唯一解的充要条件 是 A 可逆 .
推论 设 A 为 n 阶矩阵，则 AX = b 有唯一解的充要条件 是 A 可逆 .
证 充分性：
A可逆 AX b有唯一解X A b1
必要性 ( 反证法 ) ：
设 AX = b 有唯一解 X, 但 A 不可逆 . A 不可逆 AX = 0 有非零解 Z.
令 Y=X+Z, 则 Y 为 AX = b 的解，矛盾 .
————————————1.3 逆矩阵
————————————
二、 用行初等变换求逆矩阵
设 A 可逆，所以存在初等矩阵 E1, …, Ek, 使得
1 1
,
k k
E E
L E A I
1 1
1
k k
E E
A L E Ek Ek1L E1I,
1 1
( , ) A I
行初等变换( , I A
I ) ( , I A
)
逆矩阵的计算方法 : 逆矩阵的计算方法 :
（求逆矩阵的简便方 法 . ）
( , A B )
行初等变换( , I A
1B ) 一般地：
————————————1.3 逆矩阵
————————————
例 5 求 A 的逆矩阵：
.3 3
1
2 1
2
3 2
1
A
解
1 0 0 0 1 0 1 2 3
( , ) = 2 1 2
1 3 3 0 0 1 I
A
1 2 3 0 -3 -4 0
1 0 0 -2 1 0 -1
1 0 0 1
→
1 2 3 0 1 0 0 0 -
1 0 0 -1 0 1
1
4 -5 3
54 14 43 1 2 3
0 1 0
1 0 0
-
- 0
1 0 1
0 1 -
————————————1.3 逆矩阵
————————————
3 3 1
4 4 4
5 1 3
4 4 4
1 0 0 0 1 0 0 0 1
-
-1 0 1
- -
，
3 1
5
4 0
4
1 3
3 4
1 1 所以，A
3 9
11
4 4 4
5 1 3
4 4 4
1 2 0 0 1 0
0 0 1 - - -
-1 0 1
————————————1.3 逆矩阵
————————————
例 6 求 A 的逆矩阵
： 解
1 0
0 1
4 0
0 1
0 1
0 2
0 0
1 1
2 1
) , ( A I
1 0
0 1
4 0
0 1
2 1
4 0
0 0
1 1
2 1
1 1
2 0
0 0
0 1
2 1
4 0
0 0
1 1
2 1
A 不可逆 为什么？
————————————1.3 逆矩阵
————————————
1 -2 1
= 2 0 1 . 0 4 -1 A
例 7 设矩阵
,
.,
I A
I A
I A
I A
A
2 2
2 4
2 1
1 1
1
0 1
1
0 0
1
2 1
1
：
计算
A 2I
1
A2 4I
A 2I
1 A 2I
A 2I
2 2
2
1 1
1
0 1
1
0 0
1 2I
A
. 3 1
1
0 3
1
0 0
3
解
————————————1.3 逆矩阵
————————————
2 A 2I
1 A 2I
?
1 0 0 1 0 0
2 1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
A I I
M
M M
M
1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
M M M
1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1
M M M
3 1
1
0 3
1
0 0
3
1 1
0
0 1
1
0 0
1 2
2I 1 A I A
. 3 4
0
0 3
4
0 0
3
————————————1.3 逆矩阵
————————————
例 8 解矩阵方程 ：
. 1 0
0
1 1
0
1 1
1 ,
1 2
1
0 1
1
3 2
2
B
A
1 AX B , 2
XA B .
1 A1AX X A1B .
1 0
0 1
2 1
0 1
0 0
1 1
0 0
1 3
2 2
I A 解
1 0
0 1
2 1
0 0
1 3
2 2
0 1
0 0
1 1
————————————1.3 逆矩阵
————————————
1
1 -4 -3 1 1 1 1 -5 -3 0 1 1 -1 6 4 0 0 1 X A B
.
1 -3 -6 1 -4 -7 -1 5 9
2 XA B
, XAA1
BA1 ,1
1 1 1 1 -4 -3 0 1 1 1 -5 -3 0 0 1 -1 6 4 X BA
1 -3 -2
2 1 1 . -1 6 4
1 0 0 1 -4 -3 0 1 0 1 -5 -3 0 0 1 -1 6 4
————————————1.3 逆矩阵
————————————
1 1 1 1 1 1
1 , ,
, .
A B
A B A B X A B
AXB C
AXB C C
且 与 可逆 则
解矩阵方程的其他情况 ：
1
2 ,
, .
X
AX B C A
A C B X A C B
且 可逆 ，则
3 ,
? AX B
A
怎样求解
如果 不可逆 矩阵方程 ：
.
3 ,
33 32
31
23 22
21
13 12
11
线性方程组求解
个 建立
由
设 AX B
x x
x
x x
x
x x
x
X
————————————1.3 逆矩阵
————————————
例 9 求 A的逆矩阵 A1 .
1
2
1 1
0 0 0
0 0 0
, 0 .
0 0 0
0 0 0
n
i i
n n
a
a
A a
a a
L L
M M M O M
L L
解
1
2
1
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
n n
a
a
a a
L L
L L
M M M M M
L L
L L
————————————1.3 逆矩阵
————————————
1
2
1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 ,
0 0 0 0 0 1 0
n
n
a
a
a
a
L L
L L
L L
L L L L L L
L L
————————————1.3 逆矩阵
————————————
A
1 L
1
2
1
1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0
n
n
a a
a
a
L L
L L
L L
M M M M
L L
————————————1.3 逆矩阵
————————————
7 1 4
1 2
1 ,
1BA 6A BA A
A
且
o
o
.
求
BA BA
BA
A1
6
A1 I
BA 6A
A1 I
B 6I
1
1.6
B A I 解
: , 满足关系 设三阶矩阵 BA
例 10
————————————1.3 逆矩阵
————————————
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1 7
0 0
0 4
0
0 0
2 6
1
6 0
0
0 3
0
0 0
1 6
6 1 0
0
0 3
1 0
0 0
1
6 .
1 0
0
0 2
0
0 0
6
1
16
A I B
————————————1.3 逆矩阵
————————————
