第三章·随机向量
概率论与数理统计
.
.
随机向量
很多随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需
要用几个随机变量同时来描述．如：
平面上一点的位置需要用两个坐标来表示；
天气通常由最高、最低气温，相对湿度，风力，降
水量等因素决定；
钢材的质量有含碳量、含硫量和硬度等基本指标．
.
.
随机向量
定义
设 Ω 是某随机试验的样本空间，X
1,
X
2,
· · ·
,
Xn
是该空间上的随机变量，称
⃗
X
= (X
1
,
X
2
,
· · ·
,
Xn
)
为 Ω 上的
n 维随机向量
或
n 元随机变量
．
.
.
.
.
随机向量的分布函数
.
第一节
.
.
二维离散型随机向量
.
第二节
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
随机向量函数的分布
.
第四节
.
.
高维随机向量
.
∗
第五节
.
.
二维随机向量的分布函数
定义 1
设
(X
,
Y
) 为二维随机向量，称二元函数
F
(
,
y
) = P{X ≤
,
Y
≤ y}
为
(X
,
Y
) 的
联合分布函数．
注记
联合分布函数 F
(
,
y
) 表示事件 {X
¶
} 和事
件 {Y
¶
y} 同时发生的概率．
.
.
二维随机向量的分布函数
定义 1
设
(X
,
Y
) 为二维随机向量，称二元函数
F
(
,
y
) = P{X ≤
,
Y
≤ y}
为
(X
,
Y
) 的
联合分布函数．
注记
联合分布函数 F
(
,
y
) 表示事件 {X
¶
} 和事
件 {Y
¶
y} 同时发生的概率．
.
.
二维随机向量的分布函数
分布函数的性质：
1
F
(
,
y
) 对每个自变量都是广义单增的；
2
0
¶
F
(
,
y
)
¶
1；
3
F
(
,
−∞) = F(−∞
,
y
) = 0，F(+∞
,
+∞) = 1；
4
随机向量
(X
,
Y
) 落在矩形区域 (
1
,
2
]×(y
1
,
y
2
]
内的概率为
P{
1
< X
≤
2,
y
1
< Y
≤ y
2
}
.
.
.
.
随机向量的分布函数
.
第一节
.
.
二维离散型随机向量
.
第二节
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
随机向量函数的分布
.
第四节
.
.
高维随机向量
.
∗
第五节
.
.
.
.
二维离散型随机向量
.
第二节
.
.
离散型·联合分布
.
A
.
.
离散型·边缘分布
.
B
.
.
离散型·条件分布
.
C
.
.
离散型·独立性
.
D
.
.
二维离散型随机向量
定义 1
设二维离散型随机向量
(X
,
Y
) 的所有可能取
值为
(
,
yj
)
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
称
P{X
=
,
Y
= y
j
}
= p
j
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
为该随机向量的联合概率分布．
.
.
二维离散型随机向量
二维离散型随机向量的联合分布也可以用表格表示：
X
Y
y
1
y
2
· · · y
j
· · ·
1
p
11
p
12
· · · p
1j
· · ·
2
p
21
p
22
· · · p
2j
· · ·
...
...
...
...
p1
p2
· · · p
j
· · ·
...
...
...
...
.
.
二维离散型随机向量
常用性质：
1
pj
¾
0
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
2
∑
∑
j
pj
= 1；
3
F
(
,
y
) =
∑
≤
∑
y
j
≤y
p
j
.
.
二维离散型随机向量
例 1
设有 10 件产品，其中 7 件正品，3 件次品．现
从中任取两次，每次取一件，取后不放回．令:
X
= 1：若第一次取到的产品是次品，
X
= 0：若第一次取到的产品是正品，
Y
= 1：若第二次取到的产品是次品，
Y
= 0：若第二次取到的产品是正品．
求二维随机向量
(X
Y
) 的联合概率分布．
.
.
二维离散型随机向量
例 2
为 进 行 吸 烟 与 肺 癌 关 系 的 研 究， 随 机 调 查 了
23000 个 40 岁以上的人，其结果如下表
吸烟
肺癌
患
未患
吸
3
4597
不吸
1
18399
.
.
引进二维随机向量
(X
,
Y
)，其中
X
= 1：若被调查者不吸烟，
X
= 0：若被调查者吸烟，
Y
= 1：若被调查者未患肺癌，
Y
= 0：若被调查者患肺癌．
则
(X
,
Y
) 的分布律为
X
Y
0
1
0
0.00013 0.19987
1
0.00004 0.79996
.
.
引进二维随机向量
(X
,
Y
)，其中
X
= 1：若被调查者不吸烟，
X
= 0：若被调查者吸烟，
Y
= 1：若被调查者未患肺癌，
Y
= 0：若被调查者患肺癌．
则
(X
,
Y
) 的分布律为
X
Y
0
1
.
.
二维离散型随机向量
练习 1
袋中有标上号码 1、2、2 的三个球，从中任
取一个且不再放回，然后再从袋中任取一球，以 X
,
Y
分别表示第一、二次取到球上的号码数，求
(X
,
Y
) 的
联合分布．
.
.
.
.
二维离散型随机向量
.
第二节
.
.
离散型·联合分布
.
A
.
.
离散型·边缘分布
.
B
.
.
离散型·条件分布
.
C
.
.
离散型·独立性
.
D
.
.
边缘分布
二维随机向量
(X
,
Y
) 作为一个整体，有联合分布函数
F
(
,
y
)，其分量 X 与 Y 都是随机变量，有各自的分布
函数，分别记成 F
X
() 和 F
Y
(y)，称为 X 和 Y 的
边缘
分布函数．
边缘分布由联合分布完全确定：
F
X
() = F(
,
+∞)
,
F
Y
(y) = F(+∞
,
y
).
.
.
边缘分布
二维随机向量
(X
,
Y
) 作为一个整体，有联合分布函数
F
(
,
y
)，其分量 X 与 Y 都是随机变量，有各自的分布
函数，分别记成 F
X
() 和 F
Y
(y)，称为 X 和 Y 的
边缘
分布函数．
边缘分布由联合分布完全确定：
F
X
() = F(
,
+∞)
,
F
Y
(y) = F(+∞
,
y
).
.
.
二维离散型随机向量的边缘分布
设二维离散型随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布为
P{X
=
,
Y
= y
j
}
= p
j
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
则随机变量 X 的边缘概率分布为
p
·
= P{X =
}
=
∑
j
pj
,
= 1
,
2
,
· · ·
而随机变量 Y 的边缘概率分布为
p
·j
= P{Y = y
j
}
=
∑
pj
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
通常将这两个分布分别写在联合分布表右边和下边．
.
.
二维离散型随机向量的边缘分布
设二维离散型随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布为
P{X
=
,
Y
= y
j
}
= p
j
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
则随机变量 X 的边缘概率分布为
p
·
= P{X =
}
=
∑
j
pj
,
= 1
,
2
,
· · ·
而随机变量 Y 的边缘概率分布为
p
·j
= P{Y = y
j
}
=
∑
pj
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
通常将这两个分布分别写在联合分布表右边和下边．
.
.
二维离散型随机向量的边缘分布
设二维离散型随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布为
P{X
=
,
Y
= y
j
}
= p
j
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
则随机变量 X 的边缘概率分布为
p
·
= P{X =
}
=
∑
j
pj
,
= 1
,
2
,
· · ·
而随机变量 Y 的边缘概率分布为
p
= P{Y = y
}
=
∑
pj
j
= 1
2
· · ·
通常将这两个分布分别写在联合分布表右边和下边．
.
.
二维离散型随机向量的边缘分布
设二维离散型随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布为
P{X
=
,
Y
= y
j
}
= p
j
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
则随机变量 X 的边缘概率分布为
p
·
= P{X =
}
=
∑
j
pj
,
= 1
,
2
,
· · ·
而随机变量 Y 的边缘概率分布为
p
= P{Y = y
}
=
∑
pj
j
= 1
2
· · ·
.
.
二维离散型随机向量的边缘分布
例 3
二维随机向量
(X
,
Y
) 的分布律为
X
Y
0
1
0
15
7
30
7
1
30
7
15
1
求其边缘分布．
.
.
二维离散型随机向量的边缘分布
练习 2
袋中有 5 个球，其中三个标数字 0，两个标
数字 1．现依次从袋中取出两个球，分别以 X
,
Y 表示
第一和第二个球上的数字．对有放回和不放回两种抽
取方式，分别写出
(X
,
Y
) 的联合分布与边缘分布．
注记
(1)
由联合分布可唯一确定边缘分布．
(2)
仅由边缘分布一般不能得到联合分布
．
.
.
二维离散型随机向量的边缘分布
练习 2
袋中有 5 个球，其中三个标数字 0，两个标
数字 1．现依次从袋中取出两个球，分别以 X
,
Y 表示
第一和第二个球上的数字．对有放回和不放回两种抽
取方式，分别写出
(X
,
Y
) 的联合分布与边缘分布．
注记
(1)
由联合分布可唯一确定边缘分布．
(2)
仅由边缘分布一般不能得到联合分布
．
.
.
.
.
二维离散型随机向量
.
第二节
.
.
离散型·联合分布
.
A
.
.
离散型·边缘分布
.
B
.
.
离散型·条件分布
.
C
.
.
离散型·独立性
.
D
.
.
离散型随机向量的条件分布
设二维离散型随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布为
P{X
=
,
Y
= y
j
}
= p
j
,
= 1
,
2
,
· · ·
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
则 X 与 Y 的边缘分布分别为
p
·
= P{X =
}
=
∑
j
pj
,
= 1
,
2
,
· · ·
p
·j
= P{Y = y
j
}
=
∑
p
j
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
.
.
离散型随机向量的条件分布
定义 2
当 p
·j
> 0 时，称
P{X
=
|Y = yj
}
=
p
j
p
·j
= 1
,
2
,
· · ·
为 Y
= y
j
时 X 的条件概率分布．
当 p
·
> 0 时，称
P{Y
= y
j
|X =
}
=
pj
p
·
j
= 1
,
2
,
· · ·
为 X
=
时 Y 的条件概率分布．
.
.
离散型随机向量的条件分布
定义 2
当 p
·j
> 0 时，称
P{X
=
|Y = yj
}
=
p
j
p
·j
= 1
,
2
,
· · ·
为 Y
= y
j
时 X 的条件概率分布．
当 p
·
> 0 时，称
P{Y
= y
j
|X =
}
=
pj
p
·
j
= 1
,
2
,
· · ·
.
.
离散型随机向量的条件分布
例 4
二维随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布及边缘分布为
X
Y
0
1
p
·
0
15
7
30
7
10
7
1
30
7
15
1
10
3
p
·j
10
7
10
3
求 Y 在 X 的各个取值下的条件分布．
.
.
离散型随机向量的条件分布
练习 3
二维随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布为
X
Y
1
2
1
0.1 0.2
2
0.4 0.3
(1) 求 X
= 1 条件下 Y 的条件概率分布．
= 2 条件下 X 的条件概率分布．
.
.
.
.
二维离散型随机向量
.
第二节
.
.
离散型·联合分布
.
A
.
.
离散型·边缘分布
.
B
.
.
离散型·条件分布
.
C
.
.
离散型·独立性
.
D
.
.
随机向量的独立性
定义
设随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布函数为 F(
,
y
)，
边缘分布函数分别为 F
X
() 和 F
Y
(y)，若对任意实数
，y 有
F
(
,
y
) = F
X
() · F
Y
(y)
,
则称 X
,
Y
相互独立．
X
,
Y 相互独立即是指对任意实数
,
y，事件 {X
¶
}
与 {Y
¶
y} 相互独立．
.
.
随机向量的独立性
定义
设随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布函数为 F(
,
y
)，
边缘分布函数分别为 F
X
() 和 F
Y
(y)，若对任意实数
，y 有
F
(
,
y
) = F
X
() · F
Y
(y)
,
则称 X
,
Y
相互独立．
X
,
Y 相互独立即是指对任意实数
,
y，事件 {X
¶
}
与 {Y
¶
.
.
离散型随机向量的独立性
设二维离散型随机向量
(X
,
Y
) 的分布律为
P{X
=
,
Y
= y
j
}
= p
j
,
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
则 X 与 Y 的边缘分布分别为
p
·
= P{X =
}
=
∑
j
pj
,
= 1
,
2
,
· · ·
p
·j
= P{Y = y
j
}
=
∑
pj
,
j
= 1
,
2
,
· · ·
则 X
,
Y 相互独立的充要条件为
.
.
离散型随机向量的独立性
例 5
设二维随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布及边缘分布
如下
X
Y
0
1
p
·
0
15
7
30
7
10
7
1
30
7
15
1
10
3
p
·j
10
7
10
3
.
.
离散型随机向量的独立性
例 6
二维随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布为
X
Y
1
2
1
0.2 0.2
2
0.3 0.3
判断 X
,
Y 的独立性．
.
.
离散型随机向量的独立性
练习 4
根据下列二维随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布，
判断 X 和 Y 的独立性．
(1)
X
Y
1
2
1
25
9
25
6
2
25
6
25
4
； (2)
X
Y
1
2
1
10
3
10
3
2
10
3
10
1
.
.
复习与提高
选择
设二维随机向量
(X
,
Y
) 的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
1
b
0.1
已知随机事件 {X
= 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，
则有
· · · ·
(
)
= 0.2
= 0.3
= 0.4
= 0.1
.
.
复习与提高
复习 1
设随机变量 X 与 Y 各只有
−1
,
0
,
1 这三个可
能值，且满足条件
P{X
= 1} = P{X = −1} =
1
4
,
P{X
+ Y = 0} = 1.
试求
(X
,
Y
) 的联合概率分布．
.
.
复习与提高
复习 2
二维随机向量
(X
,
Y
) 的服从以下分布律
X
Y
−1
0
1
−1 1/8 1/8 1/8
0
1/ 8
0
1/ 8
1
1/ 8 1/ 8 1/ 8
.
.
.
.
随机向量的分布函数
.
第一节
.
.
二维离散型随机向量
.
第二节
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
随机向量函数的分布
.
第四节
.
.
高维随机向量
.
∗
第五节
.
.
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
连续型·联合分布
.
A
.
.
连续型·边缘分布
.
B
.
.
连续型·条件分布
.
C
.
.
连续型·独立性
.
D
.
.
二维正态分布
.
E
.
.
二维连续型随机向量
定义 1
如果存在一个非负函数 ƒ
(
,
y
)，使得二维随
机向量
(X
,
Y
) 的分布函数 F(
,
y
) 可以写成
F
(
,
y
) =
∫
−∞
∫
y
−∞
ƒ
(s
,
t
) dt ds
,
则称
(X
,
Y
) 为
二维连续型随机向量．函数 ƒ
(
,
y
) 称
为
(X
,
Y
) 的
联合概率密度．
.
.
二维连续型随机向量
联合概率密度函数的基本性质：
1
ƒ
(
,
y
) ≥ 0
,
∀
,
y；
2
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
ƒ
(
,
y
) d dy = 1；
3
若函数 ƒ 在点
(
,
y
) 处连续，则有
∂
2
F
(
,
y
)
= ƒ (
,
y
).
.
.
二维连续型随机向量
联合概率密度函数的基本性质：
4
对任意的平面区域 D，
P{
(X
,
Y
) ∈ D} =
∫∫
(
,
y
)∈D
ƒ
(
,
y
) d dy.
特别地，
P{ < X
≤ b
,
c < Y
≤ d} =
∫
b
∫
d
ƒ
(
,
y
) dy d.
.
.
二维连续型随机向量
例 1
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
C
2
y
2
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
其中 C 是常数．
(1) 求常数 C；
· · · ·
9
(2) 计算 P
¨
X <
1
,
Y <
1
«
．
· · · ·
1
729
.
.
二维连续型随机向量
例 1
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
C
2
y
2
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
其中 C 是常数．
(1) 求常数 C；
· · · ·
9
(2) 计算 P
¨
X <
1
,
Y <
1
«
．
· · · ·
1
.
.
二维连续型随机向量
练习 2
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
C
( + y)
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
其中 C 是常数．
(1) 求常数 C；
(2) 计算 P
¨
X
¶
1
2
,
Y
¶
1
2
«
．
思考
如何计算 P{X
+ Y < 1}？
.
.
二维连续型随机向量
练习 2
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
C
( + y)
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
其中 C 是常数．
(1) 求常数 C；
(2) 计算 P
¨
X
¶
1
2
,
Y
¶
1
2
«
．
.
.
均匀分布
定义 2
设 D 是平面上的有界区域，其面积为 d，若
二维随机向量
(X
,
Y
) 的概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
¨
1/ d
,
(
,
y
) ∈ D;
0
,
otherwise.
则称
(X
,
Y
) 服从 D 上的
均匀分布．
.
.
均匀分布
若
(X
,
Y
) 服从 D 上的均匀分布，则 (X
,
Y
) 落在某一
区域 A 内的概率
P{
(X
,
Y
) ∈ A} =
∫∫
A
ƒ
(
,
y
) d dy
=
∫∫
A
∩D
1
d
d dy
=
S
.
.
均匀分布
例 3
设
(X
,
Y
) 服从
D
= {(
,
y
) :
2
+ y
2
¶
4}
上的均匀分布，计算 P{
(X
,
Y
) ∈ A}，这里 A 是由直
线
= 0
,
y
= 0
,
+ y = 1 所围成的区域．
.
.
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
连续型·联合分布
.
A
.
.
连续型·边缘分布
.
B
.
.
连续型·条件分布
.
C
.
.
连续型·独立性
.
D
.
.
二维正态分布
.
E
.
.
边缘分布
二维随机向量
(X
,
Y
) 作为一个整体，有联合分布函数
F
(
,
y
)，其分量 X 与 Y 都是随机变量，有各自的分布
函数，分别记成 F
X
() 和 F
Y
(y)，称为 X 和 Y 的
边缘
分布函数．
边缘分布由联合分布完全确定：
F
X
() = F(
,
+∞)
,
F
Y
(y) = F(+∞
,
y
).
.
.
边缘分布
二维随机向量
(X
,
Y
) 作为一个整体，有联合分布函数
F
(
,
y
)，其分量 X 与 Y 都是随机变量，有各自的分布
函数，分别记成 F
X
() 和 F
Y
(y)，称为 X 和 Y 的
边缘
分布函数．
边缘分布由联合分布完全确定：
F
X
() = F(
,
+∞)
,
F
Y
(y) = F(+∞
,
y
).
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
设 二 维 连 续 型 随 机 向 量
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
)，则 X，Y 的
边缘概率密度分别定义为
ƒX
() =
∫
+∞
−∞
ƒ
(
,
y
) dy
,
ƒY
(y) =
∫
+∞
−∞
ƒ
(
,
y
) d
.
此时 X，Y 的边缘分布函数分别为
FX
() =
∫
−∞
ƒX
(s) ds
,
FY
(y) =
∫
y
−∞
ƒY
(t) dt.
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
设 二 维 连 续 型 随 机 向 量
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
)，则 X，Y 的
边缘概率密度分别定义为
ƒX
() =
∫
+∞
−∞
ƒ
(
,
y
) dy
,
ƒY
(y) =
∫
+∞
−∞
ƒ
(
,
y
) d
.
此时 X，Y 的边缘分布函数分别为
FX
() =
∫
ƒX
(s) ds
,
FY
(y) =
∫
y
ƒY
(t) dt.
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
若
(X
,
Y
) 服从矩形区域
D
= {(
,
y
) :
¶
¶
b
,
c
¶
y
¶
d}
上的均匀分布，则边缘概率密度分别为
ƒX
() =
¨
1
b
−
∈ [
,
b
]
0
else
ƒY
(y) =
¨
1
d
−c
y
∈ [c
,
d
]
0
else
这表明：X 与 Y 都服从均匀分布．该结论对其他非矩
形区域上的均匀分布一般不成立．
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
若
(X
,
Y
) 服从矩形区域
D
= {(
,
y
) :
¶
¶
b
,
c
¶
y
¶
d}
上的均匀分布，则边缘概率密度分别为
ƒX
() =
¨
1
b
−
∈ [
,
b
]
0
else
ƒY
(y) =
¨
1
d
−c
y
∈ [c
,
d
]
0
else
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
例 4
设
(X
,
Y
) 服从单位圆域
D
= {(
,
y
) :
2
+ y
2
¶
1}
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
例 5
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
9
2
y
2
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
求 X 与 Y 的边缘概率密度．
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
练习 4
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
+ y
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
求 X 与 Y 的边缘概率密度．
.
.
二维连续型随机向量的边缘分布
练习 5
设
(X
,
Y
) 的概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
e
−y
0
¶
¶
y
0
else
求 X 与 Y 的边缘概率密度．
.
.
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
连续型·联合分布
.
A
.
.
连续型·边缘分布
.
B
.
.
连续型·条件分布
.
C
.
.
连续型·独立性
.
D
.
.
二维正态分布
.
E
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
对于二维连续型随机向量
(X
,
Y
)，其
联合概率密度为
ƒ
(
,
y
)，X，Y 的
边缘概率密度分别为 ƒ
X
() 和 ƒ
Y
(y)．
定义 3
若 ƒ
Y
(y) > 0，在 Y = y 条件下，X 的
条件概
率密度定义为
ƒX
|Y
(|y) :=
ƒ
(
,
y
)
ƒ
Y
(y)
.
同样地，若 ƒ
X
() > 0 时，在 X = 条件下，Y 的
条
件概率密度定义为
ƒY
|X
(y|) :=
ƒ
(
,
y
)
ƒ
X
()
.
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
对于二维连续型随机向量
(X
,
Y
)，其
联合概率密度为
ƒ
(
,
y
)，X，Y 的
边缘概率密度分别为 ƒ
X
() 和 ƒ
Y
(y)．
定义 3
若 ƒ
Y
(y) > 0，在 Y = y 条件下，X 的
条件概
率密度定义为
ƒX
|Y
(|y) :=
ƒ
(
,
y
)
ƒ
Y
(y)
.
同样地，若 ƒ
X
() > 0 时，在 X = 条件下，Y 的
条
件概率密度定义为
ƒY
|X
(y|) :=
ƒ
(
,
y
)
ƒ
X
()
.
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
对于二维连续型随机向量
(X
,
Y
)，其
联合概率密度为
ƒ
(
,
y
)，X，Y 的
边缘概率密度分别为 ƒ
X
() 和 ƒ
Y
(y)．
定义 3
若 ƒ
Y
(y) > 0，在 Y = y 条件下，X 的
条件概
率密度定义为
ƒX
|Y
(|y) :=
ƒ
(
,
y
)
ƒ
Y
(y)
.
同样地，若 ƒ
X
() > 0 时，在 X = 条件下，Y 的
条
件概率密度定义为
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
定义 4
在 Y
= y 条件下，X 的
条件分布函数定义为
FX
|Y
(|y) = P{X
¶
|Y = y}
= lim
h
→0
P{X
¶
|y
¶
Y
¶
y
+ h}
定理 1
若 ƒ
(·
,
·) 在点 (
,
y
) 处连续，ƒ
Y
(·) 在点 y 处
连续，且 ƒ
Y
(y) > 0，则
FX
|Y
(|y) =
∫
−∞
ƒX
|Y
(s|y) ds.
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
定义 4
在 Y
= y 条件下，X 的
条件分布函数定义为
FX
|Y
(|y) = P{X
¶
|Y = y}
= lim
h
→0
P{X
¶
|y
¶
Y
¶
y
+ h}
定理 1
若 ƒ
(·
,
·) 在点 (
,
y
) 处连续，ƒ
Y
(·) 在点 y 处
连续，且 ƒ
Y
(y) > 0，则
FX
(|y) =
∫
ƒX
(s|y) ds.
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
定义
在 X
= 条件下 Y 的
条件分布函数定义为
F
Y
|X
(y|) = P{Y
¶
y
|X = }
= lim
h
→0
P{Y
¶
y
|
¶
X
¶
+ h}
定理
若 ƒ
(·
,
·) 在点 (
,
y
) 处连续，ƒ
X
(·) 在点 处连
续，且 ƒ
X
() > 0，则
FY
|X
(y|) =
∫
y
−∞
ƒY
|X
(t|) dt.
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
定义
在 X
= 条件下 Y 的
条件分布函数定义为
F
Y
|X
(y|) = P{Y
¶
y
|X = }
= lim
h
→0
P{Y
¶
y
|
¶
X
¶
+ h}
定理
若 ƒ
(·
,
·) 在点 (
,
y
) 处连续，ƒ
X
(·) 在点 处连
续，且 ƒ
X
() > 0，则
FY
|X
(y|) =
∫
y
ƒY
|X
(t|) dt.
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
例 6
设
(X
,
Y
) 服从单位圆域
D
= {(
,
y
) :
2
+ y
2
¶
1}
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
例 7
设店主在每日开门营业时放在柜台上的货物量
为 Y，当日销售量为 X，假定一天中不再往柜台上补
充货物，于是 X
¶
Y．根据历史资料，
(X
,
Y
) 的概率
密度为
ƒ
(
,
y
) =
¨
1
200
0
¶
¶
y
,
0
¶
y
¶
20
0
else
(1) 求给定 Y
= y 条件下，X 的条件概率密度；
.
.
二维连续型随机向量的条件分布
练习 6
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
+ y
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1;
0
,
其他.
求 Y
= y 时 X 的条件概率密度，及 P
¦
X
¶
1
2
Y
=
1
2
©
．
.
.
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
连续型·联合分布
.
A
.
.
连续型·边缘分布
.
B
.
.
连续型·条件分布
.
C
.
.
连续型·独立性
.
D
.
.
二维正态分布
.
E
.
.
随机向量的独立性
定义
设二维随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布函数为 F(
,
y
)，
边缘分布分别为 F
X
() 和 F
Y
(y)，若对任意实数
,
y
有
F
(
,
y
) = F
X
() · F
Y
(y)
,
则称 X
,
Y
相互独立．
X
,
Y 相互独立即是指对任意实数
,
y，事件 {X
¶
}
与 {Y
¶
y} 相互独立．
.
.
随机向量的独立性
定义
设二维随机向量
(X
,
Y
) 的联合分布函数为 F(
,
y
)，
边缘分布分别为 F
X
() 和 F
Y
(y)，若对任意实数
,
y
有
F
(
,
y
) = F
X
() · F
Y
(y)
,
则称 X
,
Y
相互独立．
X
,
Y 相互独立即是指对任意实数
,
y，事件 {X
¶
}
与 {Y
¶
y} 相互独立．
.
.
连续型随机向量的独立性
若
(X
,
Y
) 是连续型随机向量，则 X
,
Y 相互独立的充要
条件为：对所有实数
,
y，有
.
.
连续型随机向量的独立性
例 8
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
9
2
y
2
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
判断 X 与 Y 是否相互独立．
.
.
连续型随机向量的独立性
练习 8
设
(X
,
Y
) 的联合概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
(
+ y
,
0
¶
¶
1
,
0
¶
y
¶
1
0
,
otherwise
判断 X 与 Y 是否相互独立．
.
.
连续型随机向量的独立性
练习 9
设
(X
,
Y
) 的概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
e
−(+y)
,
y > 0
0
else
判断 X 与 Y 是否相互独立．
.
.
连续型随机向量的独立性
练习 10
设
(X
,
Y
) 的概率密度为
ƒ
(
,
y
) =
e
−y
0
¶
¶
y
0
else
判断 X 与 Y 是否相互独立．
.
.
.
.
二维连续型随机向量
.
第三节
.
.
连续型·联合分布
.
A
.
.
连续型·边缘分布
.
B
.
.
连续型·条件分布
.
C
.
.
连续型·独立性
.
D
.
.
二维正态分布
.
E
.
