∫ 提要 371 ：以複變分析解析三角函數由 0 至 2 π 的線積分

提要 371：以複變分析解析三角函數由 0 至 2π 的線積分

有一類的線積分問題與三角函數sinθ 、cosθ 有關，其積分型態如以下所示：

( )

∫

=

π

θ θ θ

2

0

sin , cos d F

I (1)

這一類問題若欲直接對變數θ 作積分，通常會遭遇很多困難。但若將其轉換為與複數變 數 z 有關之線積分，則容易許多，說明如下。

已知在如圖一所 示 複數平 面上之任意點 均可表為 z 或re ， 其中^iθ r 稱為 大 小 (Magnitude)，θ 稱為幅角(Argument)：

圖一 複數平面上任意點之表達方式

只要將圖一中之角度變數θ 作0至2π 的角度變化，即可形成如圖二所示之圓。亦 即z=re^iθ 僅表示一個點，但式(2)表示一個圓心在座標原點半徑為 r 的圓：

θ

rei

z= 、0≤θ 2< π、r=定值 (2)

圖二 將圖一中之角度變數θ 作 0 至 π2 的角度變化所形成的圓

若考慮式(2)中之r=1，即令：

θ

ei

z= 、0≤θ 2< π (2) 則式(1)中與變數θ 有關之積分可改寫為對變數 z 作單位圓（Unit Circle，圓心在座標原 點半徑為 1 之圓）之積分，其變數轉換關係如下【附註一】：

( )

( )















=



 

 −

=



 



 −

=

−

=



 

 +

=



 



 +

= +

=

−

−

iz d dz

z z e e

e i i e

z z e e

e e

i i i

i

i i i

i

θ θ

θ

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ

1 2 1 1 2

1 2

sin 1

1 2 1 1 2

1 2

cos 1

(3)

基於此，式(1)可改寫為：

( ) ( ) ∫ ( )

∫

=

C

C iz

z dz iz f

dz i

z z z F z

I 2

, 1 2

1 (4)

現在所面對的問題又是一個與複變函數 f

( )

【附註一】

由尤拉公式(Euler Formula)知，e^iθ =cosθ +isinθ 、e^−iθ =cosθ −isinθ ，故式(3)中 之第一式與第二式即可得出。比較難以理解的是式(3)中之第三式

iz

dθ =dz ，其原因說明

如下。因為考慮z=e^iθ，所以

( ) ( )

( )

( )( )

θ

θ ^θ

θ θ

d i z d i e d d

i d i d de de

dz ⁱ

i

i = = =

= ，故

iz dθ = dz。