複數的線積分

複數線積分

bee

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107.12.21

∼ 107.12.22

複數線積分的整體概念。

1.

線積分的定義

設 f (z) 是一個複數函數，則線積分的形態是 ∫ γ f (z)dz (1) 其中 γ 是複數平面上的一條圓滑曲線，而 f (z)dz 是複數乘法，其幾何意義是兩個內積。

f (z)dz = (u(z) + iv(z))(dx + idy)

= (u(z)dx− v(z)dy) + i(v(z)dx + u(z)dy)

= (u(z),−v(z)) · (dx, dy) + (u(z), −v(z)) · (dy, −dx) =−−⇀f (z)·−⇀dz + i−−⇀f (z)·−−⇀dz⊥

其中 f (z) = u(z) + iv(z)，就是向量 (u(z), v(z))，dz = dx + idy = (dx, dy)，只是複數乘法表 示的內積是共軛複數 (f (z)) 所表示的向量 (u(z),_{−v(z) 和}−⇀dz,−−⇀dz⊥的內積。 −−⇀ dz⊥表示將−⇀dz順時針旋轉 90◦的向量，而 f (z)dz 的實部與虛部則分別是兩個內積。 再寫一次 f (z)dz =(−−⇀f (z)·−dz⇀ ) + i(−−⇀f (z)·−−⇀dz⊥ ) (2) *_{bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee}

2.

微積分基本定理

微積分基本定理：若 f (z) 有原型函數 (primitive) F (z)，則 ∫ γ f (z) = F (z) B A (3) 其中 A 是 γ 的起點，而 B 是 γ 的終點。而且特別來說， I f (z)dz = 0 (4)

3.

全純函數

如果函數 f (z) 在區域 (domain) D 上滿足 df (z) dz = c = f ′_{(z)⇒ df(z) = f}′_{(z)· dz (5)}

則我們說 f (z) 是可微函數 (differential function)，也可以說是解析函數 (analytic function)，主要 是因為 f (z) 可以解析成冪級數 (power series)，而且在整個 D 上就稱為全純函數 (homomorphic function)。 可微在實變數函數上並不是一個非常強的條件，但是在複變數函數中，可微就是最棒的條件： 可解析，這真是一件非常棒的事實。

4.

解析函數

設 f (z) 是在圓盤 D(z0, r)上的解析函數，則 f (z) = ∞ ∑ n=0 an(z− z0)n, an= f(n)(z0) n! (6) 這一個級數依然可以稱為 Taylor 級數。 這說明解析函數可以視成多項式函數，這樣當我們想做積分時，就可以用多項式來幫忙。找係 數 an還有其他方法： an = 1 2πi ∫ C f (ζ) (ζ− z0)n+1 dζ (7) 或說 n! ∫ f (ζ)

5.

全純函數

全純函數是 holomorphic function 的譯稱，意思是在整個域上是解析函數。根據解析函數的意義 是：f (z) 可以寫成冪級數的樣子，意思也就是： I f (z)dz = 0 (9) 這件事實就是有名的柯西定理 (Cauchy theorem)。 Cauchy theorem：設 f (z) 是一個全純函數，則 ∫ γ f (z)dz = 0 (10) 其中 γ 是一個封閉區線。

因為有 Cauchy theorem，所以我們就有所謂的圍道積分 (contour integration)。利用圍道積分 可以求得很多特殊的積分。

6.

亞純函數

把全純函數做一個推廣，讓有部分點不可微分的函數也納進討論的範圍，就是所謂的亞純函數 (meromorphic function)。最簡單的亞純函數是 1 z，而 I 1 zdz = 2πi (11) 這也說明 I a₋₁ z dz = 2πi× a−1 (12) 引導出亞純函數 f (z) 可解析成 Laurent 級數 f (z) = ∞ ∑ n=0 an(z− z0)n+ ∞ ∑ n=0 a_−n (z− z0)n =· · · + a−2 (z− z0)2 + a−1 z− z0 + a0+ a1(z− z0) + a2(z− z0)2+· · · (13) 其中係數可以計算如下 an = 1 2πi ∫ C f (z)dz (z− z0)n+1 , n =· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · (14)

在 1 (z− z0)n 的部分不一定有無限多項，如果 f (z) = a−n (z− z0)n +· · · (15) 其中−n 不是 0，則我們稱此為 n 階的 Laurent 級數，且稱 n ∑ k=1 a_−k (z− z0)k (16) 是 f (z) 的主要部分 (principal part)。 給一個域 (連通的開集)，如果整個域都是可微的，我們稱此函數為全純函數 (holomorphic function)，如果域中有不可微的點，我們稱這些點為奇異點 (singularity)，因為型如 a z− z0 ，所 以這樣的點也稱為極點 (pole)。因為有極點，所以在域上非全域可解析，所以稱為亞純函數 (meromorphic function)，meros 就是部分的意思。

7.

留數

利用解析的結果，我們可以得到 I f (z)dz = 2πi× a₋₁ (17) 也因此，我們把係數 a₋₁定義為 f (z) 的留數 (residue)，主要因為是其他項都有原型 (primitive)， 其封閉曲線的積分都是 0，所以只剩下單項的積分，即 I f (z)dz = I a₋₁ z− z0 dz = a₋₁ I 1 z− z0 dz = a₋₁× 2πi (18) 我們把 f (z) 在 z = z0的留數記為 a₋₁ = resz0f (z) (19) 當 z = z0 是 f (z) 的 n 階極點時，可用極限求得： resz0f (z) = lim z→z0 1 (n− 1)! ( d dz )n−1 (z− z0)nf (z) (20) 並得 I f (z)dz = 2πi× resz0f (z) (21)

當然，當 z = z0是 1 階極點 (也稱為簡單極點) 時， resz0f (z) = lim z→z0 (z− z0)f (z) (22) 我們有一個實用的計算留數的定理 計算留數定理：設 p(z), q(z) 在 z = z0可解析，且 p(z0)̸= 0, q(z0) = 0, q′(z0)̸= 0 (23) 則 z0是 p(z) q(z) 的簡單極點，且 resz0 p(z) q(z) = p(z0) q′(z0) (24)

8.

柯西留數定理

設 C 是一個封閉曲線，亞純函數 f (z) 在 C 的內部恰有 n 個奇異點 z1, z2,· · · , zn，則 ∫ C f (z)dz = 2πi n ∑ k=1 reszkf (z) (25)