提要 318：複變函數之微分法則
複變函數之微分定義
複變函數之微分定義與實數函數之微分定義完全一樣，如以下所示：
若 f
( )
z 在點z 可微分，則0( ) ( ) ( )
z z f z z z f
f z ∆
−
∆
= +
′ ∆→
0 0
0 lim0 。
【附註】
1. 若∆z=z−z0，則 f
( )
z 在點z 可微分之定義可改寫為： 0( ) ( ) ( )
0 0 0
0
lim z z z f z z f
f
z
z −
= −
′ →
2. 因∆z=∆x+i∆y，所以∆z→0，亦隱含∆x→0、∆y→0，且其所取極限的順序並不 會影響問題之結果。亦即：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z z f z z f z
z f z z z f
f
x y y
x ∆
−
∆
= +
∆
−
∆
= +
′
→
∆ →
→ ∆
∆ →
∆
0 0
0 0 0
0
0
0 lim0 lim
3. (cf ′)=cf′ 4. (f + )g ′= f′+g′ 5. (fg ′)= fg′ + fg′
6. 2
g g f g f g
f ′ − ′
=
′
範例一
試求 f
( )
z = 之微分。 z2【解答】
實數函數如何微分，複數函數也就如何微分。所以：
( )
zdz z z d
f ( 2) 2
=
′ =
範例二
試說明 f
( )
z = 不可微分。 z【說明】
已知 f
( )
z =z =x−iy，由函數在點z 可微分之定義知： 0( ) ( ) ( )
z z f z z z f
f
y
x ∆
−
∆
= +
′
→
∆ →
∆
0 0
0 0 lim0
所以：
( ) ( )
y i x
y i x
y i x
iy x y i x iy x
y i x
iy x y i x iy x
z z z z z
z f z z f
y x y x y x y x y
x
∆ +
∆
∆
−
= ∆
∆ +
∆
−
−
∆
−
∆ +
= −
∆ +
∆
+
−
∆ +
∆ +
= +
∆
−
∆
= +
∆
−
∆ +
→
∆ →
∆
→
∆ →
∆
→
∆ →
∆
→
∆ →
→ ∆
∆ →
∆
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
lim
) ( ) lim (
) ( ) lim (
) lim (
lim
上式若先考慮∆x→0，再考慮∆y→0，則其極限值為−1；但上式若先考慮∆y→0，再 考慮∆x→0，則其極限值為 1。因兩種極限之結果不一致，故z不可微分。
