單元九 複角三角函數

單元九 複角三角函數 9-1

單元九 複角三角函數

重點一、複角公式

1.

sin(

α

±

β

)

=

sin

α

⋅

cos

β

±

cos

α

⋅

sin

β

2.

cos(

α

±

β

)

=

cos

α

⋅

cos

β



sin

α

⋅

sin

β

3.

β

⋅

α

β

±

α

=

β

±

α

tan

tan

1

tan

tan

)

tan(



重點二、倍角、半角公式

1.

2

2

sin

cos

sin

θ

⋅

θ

=

θ

2

2

cos

1

sin

2

θ

=

−

θ

2

2

cos

1

cos

2

θ

=

+

θ

2. sin15° = cos75°

4

2

6

−

=

sin75° = cos15°

4

2

6

+

=

3. tan 2θ =

2 tan

θ

₂

1 tan

−

θ

sin 2θ

2 tan

₂

1 tan

θ

=

+

θ

cos 2θ

θ

+

θ

−

=

₂2

tan

1

tan

1

1 + tan2 θ 2θ 1–tan2θ 2tanθ

單元九 複角三角函數 9-2

精選歷屆試題

1. 設 sinα= –3 5，tanβ=3 1 ，且 270°<α<360°，180°<β<270°，則 sin (α+β)的 值為 (A) 10 10 2 (B) –3 10 10 (C) – 10 10 (D) 10 10 。 2. α，β均為銳角 ，且 sinα= 5 5 ，sinβ= 10 10 ，則α +β= (A)45° (B)60° (C)75° (D)105°。 3. 若 cosα= 5 3 ，α在第四象限內，sinβ= 13 12 ，β在第二象限內，則 tan (α+β)之 值為 (A) 56 33 (B)– 56 33 (C)– 33 56 (D) 33 56 。 4. 求 tan25°tan20°+tan20°+tan25°= (A)0 (B)2 (C)1 (D)

3

。 5. 求 tan55°tan80°–tan55°–tan80°之值為 (A)–1 (B)1 (C)

3

(D)–

3

1

。 6. cos (105°+θ) cos (135°–θ) –sin (105°+θ) sin (135°–θ) = (A)

2 1 (B)– 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 。

7. 化簡 cos (240°+θ) cos (60°+θ)+sin (240°+θ) sin (60°+θ)得 (A)–2 (B)–1 (C)0 (D)1。 8. cos ( 3 π –θ) cos ( 6 π +θ) –sin ( 3 π –θ) sin ( 6 π +θ) = (A)1 (B)0 (C) 2 1 (D)– 2 3 。 9. 設

α

,

β

均為銳角，且cos 5 sin 3 13 5

α

= ，

β

= ，則sin(

α β

− )+cos(

α β

+ )的值等 於 (A)119 65 (B) 47 65 (C) 17 65 (D) 33 65 (E) 89 65。

10. 下列各等式何者恆為正確？ (A)cos(x–y)=cos(y–x) (B)cos0=0 (C)sin2x=2sinx (D)tan(x+y)=tanx+tany。

單元九 複角三角函數 9-3

試題解析：

1. 270°<α<360°，180°<β<270° sinα= –3 5，tanβ= 1 3 ∴ cosα=4 5，sinβ= –

1

10

，cosβ= –

3

10

故 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(–3 5)(–

3

10

)+ 4 5(–

1

10

)= 10 10 2. ∵ α，β均為銳角，且 sinα= 5 5 ，sinβ= 10 10 ∴ cosα= 5 20 = 5 5 2 ，cosβ= 10 90 = 10 10 3 由和角公式得 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = 5 5 × 10 10 3 + 5 5 2 × 10 10 = 50 50 5 = 2 2 >0 cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ= 5 5 2 × 10 10 3 – 5 5 × 10 10 = 50 50 5 = 2 2 >0 ∵ sin(α+β)>0，cos(α+β)>0 ∴ 0°<α+β<90°，又 sin(α+β)= 2 2 ∴ α+β=45° 3. 3 2π<α<2π，2

π

<β<π cosα=3 5，sinβ= 12 13，sinα= – 2

3

1 ( )

5

−

= –4 5 ∴ tanα= sin cos

α

α

= – 4 3 cosβ= –

12

2

1 (

)

13

−

= – 5 13 ∴ tanβ=

sin

cos

β

β

= – 12 5

tan(α+β)=

tan

tan

1 tan

tan

α

β

α

β

+

−

=

4

12

3

5

4

12

1 (

)(

)

3

5

− −

− −

−

=56 33 4. C

單元九 複角三角函數 9-4

5. tan(55°+80°)= tan 55 tan 80

1 tan 55 tan 80 ° + ° − ° °

⇒

–1= tan 55 tan 80 1 tan 55 tan 80 ° + ° − ° °

⇒

tan55°+tan80°= –1+tan55°tan80°

⇒

tan55°tan80°–tan55°–tan80°=1 6. B 7. B 8. cos( 3 π –θ)cos( 6 π +θ)–sin( 3 π –θ)sin( 6 π +θ) =cos[( 3 π –θ)+( 6 π +θ)]=cos 2 π =0

9. sin(

α β

− )+cos(

α β

+ )=(sin

α

cos

β

−cos

α

sin

β

) (cos+

α

cos

β

−sin

α

sin

β

) 12 4 5 3 5 4 12 3 ( ) ( ) 13 5 13 5 13 5 13 5 = × − × + × − × 33 16 17 65 65 65 − = + = 10. 由題目及公式，可得

(A)cos(x–y)=cos[–(y–x)]=cos(y–x) 正確(∵ cos(–θ)=cosθ)

(B)cos0=0

錯誤(∵ cos0=1) (C)sin2x=2sinx

錯誤(∵ sin2x=2sinx⋅ cosx) (D)tan(x+y)=tanx+tany

錯誤(∵ tan(x+y)=

tan

tan

1 tan

tan

x

y

x

y

+

−

⋅

) 故得答案：(A)為正確