QR ⇒= d 3

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.10.23 班級 普二 班

範 圍

2-3

空間向量 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)空間中三點 P(6，− 4，4)，Q(2，1，2)，R(3，− 1，4)， 則下列何者正確？

(A)

QP．

^____\

QR

^____\ = 18 (B) cos∠PQR = 5

−1 (C) sin∠PQR = 5 1

(D) P 點到直線 QR 的距離為 3 (E)△PQR 的面積 = 2 9

【解答】(A)(C)(D)(E)

【詳解】

∵ P(6，− 4，4)，Q(2，1，2)，R(3，− 1，4)

∴ = (4，− 5，2)， = (1，− 2，2)

(1) = 4 × 1 + (− 5)(− 2) + 2 × 2 = 4 + 10 + 4 = 18 ∴ (A)為真 (2) cos∠ PQR =

____\

QP

^\

____

QR

____\ ____\

QR QP．

5 2 9 45

18

|

||

| ^\

\ ____

____

____\ ____\

=

=

QR QP

QR

QP．

∴ (B)不真

但 sin∠ PQR =

5 ) 1 5 ( 2

1− ² = ∴ (C)為真

(4)△PQR 的面積 = 2

1 ^____\2 ^____\ 2 ^{____ ____\ \} 2 1

| | | | ( ) 45 9 18

QP QR

−

QP QR

⋅ = 2 × − ² =

2

9 ∴ (E)為真

(3) P 點到

QR 的距離 d ⇒ △PQR 的面積 =

2

1×|^_____

QR

^\ |．d =⁹

2 ⇒ = ，∴ (D)為真

d

3 2. (複選)判斷下列何者可為空間坐標系中某向量之方向角？

(A)3 π ，

3 π ，

3 π (B)

6 π ，

3 π ，

2 π (C)

4 π ，

3 π ，

3 2π

(D) 4 π ，

8 π，

6 π (E)

3 2π

， 3 2π

， 4 3π

【解答】(B)(C)(E)

【詳解】

設

α

，

β

，

γ

分別為向量^____OA^\ 與x軸，y軸，z軸的正向夾角⇒ cos²

α

+ cos²

β

+ cos²

γ

= 1

(A)╳：cos² 3 π + cos²

3 π + cos²

3 π = 3．

4 1≠ 1

(C)○：cos² 4 π + cos²

3 π + cos²

3 2π

=2 1+

4 1+

4 1= 1

(D)╳：cos² 4 π + cos²

8 π + cos²

6 π =

2 1+

4 3 2+

+4 3≠ 1

(E)○：cos² 3 2π

+ cos² 3 2π

+ cos² 4 3π

=4 1+

4 1+

2 1= 1

二、填充題(每題 10 分) 1. 設uK= (2，1，− 1)，

vK

= (1，3，3)，且aK

⊥uK

，aK

⊥vK

，若aK

= (− 6，p，q)，則數對(p，q) = 。

【解答】(7，− 5)

【詳解】

×v= ( uK K

3 3

1 1 −

， 3 1 2

−1

， 1 3 1

2 ) = (6，− 7，5)

∵ aK K⊥u， ⊥ ∴ =t( ×v)= t(6，− 7，5)=(− 6，p，q)，得(p，q) = (7，− 5) aK

vK

aK

uK K

2. 設^____

AB

^\ = (1，2，3)，若B之坐標為(− 1，1，− 1)，則A之坐標為 ，若|uK| = 126 且 與uK ^____\ 反向，則

AB

uK= 。

【解答】(1) (− 2，− 1，− 4) (2) (− 3，− 6，− 9)

【詳解】

(1)設 A(x，y，z)， = (1，2，3) ，即 A(− 2，− 1，− 4) (2) | |

____\

( 1 ,1 , 1 )

AB

= − −

x

− − −

y z

____\

AB

= 1²+2²+3² = 14，又 |uK| = 126 = 3| |，且又

____\

AB

uK

與 反向

∴

____\

AB

uK= − 3^____

AB

^\= − 3(1，2，3) = (− 3，− 6，− 9)

3. 設aK= (x，y，z)，b^K= (2，3，6)，若|aK| = 5，則 2x + 3y + 6z的最大值為 。

【解答】35

【詳解】|a| = 5 由

K 2 2 2

25

x y z

⇒ + + =

柯西不等式知

⇒ − 5 × 7 ≤ 2x + 3y + 6z ≤ 5 × 7

即 − 35 ≤ 2x + 3y + 6z ≤ 35 ∴ 2x + 3y + 6z之最大值為 35

2 2 2 2 2 2 2

(2

x

+3

y

+6 )

z

≤(

x

+

y

+

z

)(2 + +3 6 )

4. 已知空間中相異兩點A(1，− 1，2)，B(7，2，− 4)，設P點在AB上，但不在AB上，且 AP：PB= 3：1，則P點坐標為 。

【解答】(10，

2

7，− 7)

【詳解】

由分點公式 B( 7，2，− 4) = ( 3

1 2x+

， 3 1 2y−

， 3 2 2z+

)，得 P 點之坐標為(10，

2

7，− 7)

5. 如下圖，長方體之長，寬，高各為 4，5，3，試求 AG 與FD的夾角的度量

θ

= 。

【解答】2 π

【詳解】

如下圖，將圖形坐標化，得^____

AG

^\ = (4，5，3)，

____\

FD= (− 4，5，− 3) cos

θ

= ±

|

|

|

|

____\ ____\

____\ ____\

FD AG

FD AG ．

= ±

50 50

9 25 16

．

− +

− = 0 ∴ AG 與FD的夾角度量

θ

= 2 π

6. 設A(2，− 1，5)，B(5，4，3)，C(− 1，3，4)，則△ABC的重心坐標為 。

【解答】(2，2，4)

【詳解】

△ABC 的重心坐標為= ( 3

1 5 2+ −

， 3

3 4 1+ +

− ，

3 4 3

5+ + ) = (2，2，4)

7. 空間中有A，B，C，D四點，已知AB= 1， BC = 2，CD = 3，且∠ABC = ∠BCD = 120°，

且^____

AB

^\ 與 ^\的夾角為 60°，則

____

CD AD之長為 。

【解答】5

【詳解】

已知^____

AB

^\ 與 ^\之夾角為 60°

____

CD

____\

AD=^____

AB

^\+ ^\ + ⇒ |

____

BC ^\

____

CD

____\

AD| = | + + |

∴ |

____\

AB

____\

BC

^\

____

CD

____\

AD|² = ( + + )．( + + )

= |

____\

AB

____\

BC

^\

____

CD

____\

AB

____\

BC

^\

____

CD

____\

AD|² + | ^\ |

____

BC

² + | ^\|

____

CD ² + 2( ． + ． + ． )

= 1 + 4 + 9 + 2(| |．| |cos60° + | |．| |cos60° + | |．| |cos60°)

= 14 + 2(1 × 2 ×

____\

AB

^\

____

BC

^\

____

BC

^\

____

CD

____\

CD

____\

AB

____\

AB

^\

____

BC

^\

____

BC

^\

____

CD ^\

____

CD

____\

AB

2

1+ 2 × 3 × 2

1+ 3 × 1 × 2

1) = 25，故AD= 25 = 5

8. 向量(1，2，2) 之方向角為

α

，

β

，

γ

，則

(1) sin²

α

+ sin²

β

+ sin²

γ

= 。(2) 7cos²

α

+ 2cos²

β

+ 3cos²

γ

= 。

【解答】(1) 2 (2) 3

【詳解】

(1) sin²

α

+ sin²

β

+ sin²

γ

= (1 − cos²

α

) + (1 − cos²

β

) + (1 − cos²

γ

) = 3 − (cos²

α

+ cos²

β

+ cos²

γ

) = 2

(2) 1² 2² 2² 3 ( 1, 2, 2 ) 3(^{1 2 2}, , ) 3 3 3

+ + = ⇒ = ⇒ cos

α

=

3

1，cos

β

= 3

2，cos

γ

= 3 2

7cos²

α

+ 2cos²

β

+ 3cos²

γ

= 7．

9 1+ 2．

9 4+ 3．

9 4=

9 27= 3

9. 設x，y，z ∈ R，且滿足x² + y² + z² = 5，則x + 2y + 3z之最大值為 。

【解答】 70

【詳解】(x + 2y + 3z)² ≤ (x² + y² + z²)(1² + 2² + 3²) = 5．14 = 70 ∴ x + 2y + 3z最大值為 70

10.如右圖所示，正立方體各邊（稜）長為 1，

(1)點P之坐標為 。

(2)對角線AR與 BS 的一個夾角為

θ

，sin

θ

之值為 。 (3)點R至平面BCP的距離為 。

3 2 2 (3)

3

【解答】(1) (− 1，1，1) (2) 1

【詳解】

(1)如圖，P (− 1，1，1) (2)aK

= = (1，1，1)，b= = (− 1，− 1，1)，

cos

θ =

____\

AR

^{K \}

____

BS

| || |

a b a b

⋅K K

K K = 1 1 1

3 3

− − + =

． 3

−1

∴ sin

θ

= 1−cos²

θ

= 3

2 2

(3) B(0，1，0)，C(0，0，1) ，P (− 1，1，1)，R(0，1，1)，

____\ ____\

(0, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 )

BC

= −

BP

= −

2 2 2

1 1 1 0 0 1

1 3

0 1 1 1 1 0

2 2

BCP

− −

∆ = + + =

− −

設點 R 至平面 BCP 的距離為BH ⇒ 四面體 R BCP− 體積 ¹

3 BCP AH

= ∆ ⋅

即1 1 1 3 1

( 1 1) 1

3 2× × × = ×3 2 ×

AH

⇒

AH

= 3 11.設

i

K= (1，0，0)，

K

j

= (0，1，0)，kK

= (0，0，1)，

且

a

K

i

K K

j k

K， 2 2 − +

=

b

K

i

K K

j

−

= ，cK aK tbK +

= （t ∈ R），

(1)若aK⊥ ，則t = cK

。 (2)若(2a bK) //c，則t =

K − K

。 (3)當 |c^K| 有最小值時，t = 。 (4)若單位向量 與 及uK b 皆垂直，則u

aK K K= 。 2

3，² 3， ¹

−3)

【解答】(1) − 3 (2) 2

−1 (3) 2

−3 (4) ± (

【詳解】

aK= (2，− 1，2)，bK

= (1，− 1，0)，cK=aK+tbK= (2 + t，− 1 − t，2) (1)aK⊥cK ⇒ aK

．cK= 0 ⇒ (2，− 1，2)．(2 + t，− 1 − t，2) = 0 ⇒ 2(2 + t) − (− 1 − t) + 4 = 0 ⇒ 9 + 3t = 0 ∴ t = − 3

(2)∵ 2 = 2(2，− 1，2) − (1，− 1，0) = (4，− 2，4) − ( 1 − 1，0) = (3，− 1，4) = (2 + t，− 1 − t，2) ∴ (2

b a K K −

b t a cK K K

+

= aK −bK) //cK ⇒

2 1 4

2 1 1 3

2 = ⇒ =−

−

−

=−

+t t t

(3)∵ |c^K| = (2+

t

)²+(−1−

t

)² +4 = 2

t

²+6

t

+9=

2 ) 9 2 ( 3 2 2 9

) 9 2 ( 3

2

t

+ ² − + =

t

+ ² + ∴ 當 t = −

2

3時，| | =cK

2 2 3 2 3 2

9 = = 為最小值

(4)aK×b^K= ( 1 2 1 0

−

− ， 2 2

0 1 ， 2 1 1 1

−

− ) = ( 2， 2，− 1) uK= ±

|

|

a b b a

K K

K K

×

× = ±^{(2 2 1)} 3

− =

， ， = ± (² 3，²

3， ¹

−3)

12.有一向量^____

AB

^\，其終點B坐標為(7，6，− 5)， ^\與x軸，y軸，z軸正向的夾角分別為 45°，

____

AB

60°，

γ

（其中 90° <

γ < 180°），若 |

^\| = 8，則 始點A的坐標為

____

AB

^\

____

AB

。

【解答】( 7 −4 2， ， 12 − )

【詳解】

設 的始點A(x，y，z)，則 = (7 − x，6 − y，− 5 − z)

∵ | | = 8 且方向角為 45°，60°，

γ

⇒ cos

____\

AB

^\

____

AB

____\

AB

²45° + cos²60° + cos²

γ = 1

−1

∴ ^____

AB

^\ =| ^\ | (cos45°， cos60°， cos

γ

) = (

____

AB

4 2 ，4，−4)

故 7 − x = 4 2 ，6 − y = 4，− 5 − z = −4

∴ x = 7 − 4 2 ，y = 6 −4=2，z = − 5 + = −4 1，故A的坐標為 ( 7 −4 2， ， 12 − ) 13.已知平行四邊形ABCD中，A(1，2，3)，B(4，5，6)，C(− 5，8，7)，則D之坐標為 。

【解答】(− 8，5，4)

【詳解】

如下圖，可知 =CD，即(− 3，− 3，− 3) = (x + 5，y − 8，z − 7)，

則 D(x，y，z) = (− 8，5，4)

____\

AB

____\

14.△ABC中，A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(3，1，− 2)，∠B之角平分線交線段AC於D，則D 點坐標為 。

37 3 ( ,1 , )

10 2

【解答】

【詳解】

A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(3，1，− 2)，

BA= 3， BC = 7

∵ D 是∠B 之角平分線與線段 AC 之交點 ∴ DC DA =

BC BA=

7

3(內分比性質)

∵ 由分點公式 D 3 3 7 4 3 1 7 1 3 ( 7 3 37 3

, ) ( ,1 , )

3 7 3 7 3 7 10 2

( × + × , × + × × − + ×2)

+ + + =

15.有一隻小螞蟻在建立了直角坐標系的空間中在斜坡上順著向量vK

爬行，向量

= (− 2，− 1，2)，起始點的位置是(1，2，3)。在此直角坐標系裡，x，y，z 軸上的一單 vK

位皆代表一公分長，小螞蟻每公鐘爬行 9 公分。若爬行方向不變，則小螞蟻 5 分鐘後的 位置在哪裡？以坐標表示，不必寫出單位。

【解答】( −29，−13，33)

【詳解】

|

| v

v

K K

= 3

) 2 1 2

(− ，− ， = ( 3

−2

， 3

−1

，3

2)（單位向量），小螞蟻共爬了 9 × 5 = 45 公分 所求= (1，2，3) + 45(

3

−2

， 3

−1

，3

2) = ( −29，−13，33)

16.設點 A(5，4，7)，B(2，6，1)，C(− 1，1，9)，求 (1)△ABC 的面積。 (2)點 A 到

BC 的距離。

【解答】 2 49，

2 7

△

ABC

= 2

1 ^{2 2 ____\ ____\} ₂ ) (AB AC AC

AB ． − ． =

2 49，

△

ABC

= 2

1

BC

× AH 49 1

2 2 7 2.AH

⇒ = ⋅ ，

A

到 BC 距離 =AH= 2 7

17.設空間向量aK

的方向角為

α

，

β

，

γ

，0 <

α

，

β

，

γ

<

π

，則csc²

α

+ 9 csc²

β

+ 25 csc²

γ 的最小

值為 。

【解答】 2 81

【詳解】

∵ sin²

α

+ sin²

β

+ sin²

γ

= 2，由柯西不等式

∴ (1 + 3 + 5)²≤ (sin²

α

+ sin²

β

+ sin²

γ

)[ ^{2 2} )² sin ( 5 sin )

( 3 sin )

( 1

γ β

α

^{+ + ]}

⇒ 81 ≤ 2(csc²

α

+ 9csc²

β

+ 25csc²

γ

) ∴ csc²

α

+ 9csc²

β

+ 25csc²

γ

≥

2

81 ∴ 最小值為 2 81