第三章：三角形的基本性質 第三節：角平分線與垂直平分線的性質 一、選擇
1. （ ）如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ，D 點為 BC 的中點，若∠CAD＝32˚，則∠B＝？
A
B D C
(A)50˚ (B)58˚ (C)60˚ (D)68˚
《答案》B
2. （ ）如圖，已知 AD ＝ CD 、 BC ＝ BD ，∠ACB＝105˚，則∠B－∠A＝？
A C
B
D
(A)5˚ (B)6˚ (C)8˚ (D)10˚
《答案》A
3. （ ）如圖，L 為 AB 的垂直平分線，且交 AC 於 P，若 BC ＝8， AC ＝10， PC ＝6，則 BC － PB
＝？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
《答案》D
4. （ ）已知直線 L 為 BC 的垂直平分線，若 P 點直線 L 上，但不在 BC 上，則△PBC 必為何種三 角形？
(A)正三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形
《答案》D
5. （ ）如圖，已知 L 為∠BAC 的角平分線，P 在 L 上，且 PB ⊥ AB ， PC ⊥ AC 。
說明 PB ＝ PC ，其過程如下：
∵∠3＝∠4＝90˚，∠1＝∠2， AP ＝ AP ，
∴△ABP ＝ ～ △ACP
請問以上敘述是根據哪一個全等性質？
(A)RHS (B)ASA (C)SAS (D)AAS
《答案》D
6. （ ）如圖，直線 L 垂直平分 AB ，且 P 為 L 上任一點，欲說明 PA ＝ PB ，可以利用下列哪一
個全等性質？
(A)SSS (B)SAS (C)AAS (D)RHS
《答案》B
7. （ ）如圖，直線 DE 是 BC 的垂直平分線，若 AB ＝5 公分、 BC ＝6 公分、 AC ＝7 公分，則△
ABD 的周長為多少公分？
(A)10 (B)12 (C)14 (D)16
《答案》B
8. （ ）如圖，直線 L 為
PQ
的垂直平分線，M 為PQ
中點，若 RM ＝5，PQ
＝24，SQ
＝15，則 PR＋ SR ＝？
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16
《答案》C
9. （ ）如圖，將△ABC 的 B 點沿摺痕 DE 疊合到 C 點，則下列敘述何者錯誤？
(A) BD ＝ CD (B) BE ＝ CE
(C) CE ＝ AC (D)∠DBE＝∠DCE
《答案》C
10. （ ）△ABC 為等腰三角形， AB ＝ AC ，則下列敘述何者錯誤？
(A)∠A 可能是鈍角 (B)∠B＝∠C (C)∠B 可能是鈍角
(D)若 AD 為 BC 上的高，則 BD ＝ CD
《答案》C
11. （ ）已知△ABC 中，∠A＝(3x－10)˚、∠B＝(2x＋20)˚、∠C＝(x－10)˚，則此三角形為何種三 角形？
(A)鈍角三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)正三角形
《答案》C
12. （ ）在△ABC 中，若 AB ＝ AC ，∠A 的平分線交 BC 於 D 點，則下列敘述何者正確？
(C) AD 為 BC 的垂直平分線 (D)以上敘述皆正確
《答案》D
13. （ ）下列有關等腰三角形的敘述，何者錯誤？
(A)兩邊上的高相等 (B)兩底角相等
(C)兩腰上的中線等長 (D)兩底角的平分線等長
《答案》A
14. （ ）如圖，直線 L 為 AB 的垂直平分線，且 L 與 AB 交於 O 點，若 P 為 L 上任意一點，則下列 敘述何者錯誤？
P
O B
L
A
(A) PA ＝ PB (B)∠AOP＝∠BOP＝90˚
(C)∠PAB＝45˚ (D) AO ＝ BO
《答案》C
15. （ ）如圖，快速道路旁有甲、乙兩地，今欲設一交流道，使交流道到甲、乙兩地等距離，則 下列何者的 P 點是交流道的位置？
甲 乙
(A)
甲 乙
P
(B)
甲 乙
P
(C)
甲 P 乙
(D)
甲
乙 P
《答案》D
16. （ ）如圖，已知△ABC 中， AB 與 AC 長度不相等，直線 L1 為 AB 的垂直平分線，直線 L2 為∠
BAC 的角平分線，且直線 L1 與直線 L2 相交於 P 點，L2 交 BC 於 Q 點，則下列哪一個敘 述是正確的？
(A)
QB
＝QC
(B) PB ＝ PC (C) PA ＝ PC (D) PA ＝ PB《答案》D
17. （ ）如圖，若 PA ＝ PB ，
QA
＝QB
，則下列敘述何者不正確？(A)直線 PQ 是 AB 的垂直平分線 (B)
PQ
為∠APB 的角平分線 (C)∠QAP＝∠QPA(D)△PQA ＝ ～ △PQB
《答案》C
18. （ ）如圖(一)，△ABC 為等腰三角形， AB ＝ AC ＝13， BC ＝10
(1)將 AB 向 AC 方向摺過去，使 AB 與 AC 重合，出現摺線 AD ，如圖(二)。
(2)將 CD 向 AC 方向摺過去，如圖(三)，使得 CD 完全疊合在 AC 上，出現摺線 CE ，如圖 (四)，則△AEC 的面積為何？
(A)15 (B) 65
4 (C)20 (D) 65 3
《答案》D
19. （ ）如圖，小琪想利用尺規作圖，在△ABC 內找到一點 P，使得 P 點到 B、C 兩點等距離，
且 P 點到 BC 、 AB 也等距離，則小琪可以下列哪一種方法求得？
(A)作 BC 與 AB 垂直平分線的交點 (B)作∠A 與∠B 平分線的交點
(C)作 BC 垂直平分線與∠B 平分線的交點 (D)作∠C 的平分線與 AB 垂直平分線的交點
《答案》C
20. （ ）如圖，直線 L 垂直平分 BC ，P 為 L 與 AC 交點， AP ＝ BP，若∠ABC＝90˚， AB ＝6，BC
＝8，則 AP ＝？
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
《答案》B
21. （ ）如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， CP ＝ CB ，且 AP ＝ PE ＝ EC ，試求∠B 為多少度？
A
B C
P E
(A)50.5˚ (B)54.5˚ (C)60.5˚ (D)67.5˚
《答案》D
22. （ ）如圖，已知△ABC 中，∠C＝90˚， BD 為∠ABC 的角平分線， DE ⊥ AB ，若 AC ＝6， BC
＝8，則 DE ＝？
(A)3 (B) 8
3 (C) 5
2 (D)2
《答案》B
23. （ ）如圖，直角△ABC 中，L 是
¯
BC 的垂直平分線，且¯
AD ＝¯
CD ，則下列敘述何者錯誤？(A)∠1＝∠2 (B)∠4＝∠C (C)∠3＋∠4＝90˚
(D)∠3＋∠2＝90˚
《答案》D
24. （ ）如圖，△ABC 中，∠A＝90˚，L 垂直平分 BC ，若 PC ＝5 公分， AP ＝3 公分，則四邊形 PDCA 面積為多少平方公分？
(A)11 (B)12 (C)14 (D)15
《答案》A
25. （ ）如圖，△ABC 中，直線 L 為 AC 的垂直平分線，且交 AB 、 AC 於 D、E 兩點，若 AB ＝ AC
＝12， AD ＝10，則下列敘述何者錯誤？
B C
D
E L A
(A) DE ＝8
(B) AD ： BD ＝5：1 (C)△ACD 的面積＝48 (D)△ABC 的面積＝60
《答案》D
26. （ ）下列關於等腰三角形的敘述，何者錯誤？
(A)等腰三角形頂角的角平分線會垂直平分底邊 (B)等腰三角形的兩底角相等
(C)等腰三角形底角的平分線會垂直其所對的邊 (D)等腰三角形兩腰上的高會相等
《答案》C
27. （ ）如圖，△ABC 中，
¯
AB ＝¯
BC ，若¯
BQ 是∠ABC 的角平分線，¯
AQ ＝3 公分，¯
BQ ＝10 公分，則△ABC 的面積是多少平方公分？
(A)30 (B)20 (C)10 (D)15
《答案》A
28. （ ）如圖，四邊形 ABCD 為一長方形，直線 L 與 BC 交於 E 點，直線 M 為 AE 的垂直平分線，
M 與 AD 交於 F 點、與 AE 交於 G 點，則下列敘述何者正確？
(A)直線 M 必通過 B 點 (B) AF ＝ EF
(C) AB ＝ BE (D) GF ＝ GB
《答案》B
29. （ ）如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ，阿杰、明澤、三原三人分別作不同的輔助線說明∠B
＝∠C。
阿杰：作∠A 的平分線交 BC 於 D，利用 (甲) 全等性質。
明澤：作 BC 邊上的高 AH ，利用 (乙) 全等性質。
三原：作 BC 邊上的中線 AM ，利用 (丙) 全等性質。
關於(甲)、(乙)、(丙)全等性質的敘述，下列何者正確？
(A)(甲)為 ASA (B)(乙)為 AAS (C)(乙)為 RHS (D)(丙)為 ASS
《答案》C 二、填充
1. 如圖，△ABC 中，設 AB ＝ AC，且 D 介於 A、B 之間，若 AD ＝ CD ＝ BC，則∠A＝ 度。
A
B C
D
《答案》36
2. 如圖，已知直線 AD 是∠BAC 的角平分線，P 為 AD 上任一點，而且 PE ⊥ AB 於 E 點、PF ⊥ AC 於 F 點。如果 PE ＝12 公分，則 PF ＝ 公分。
《答案》12
3. 如圖，△ABC 中，∠A＝30˚，且 AB ＝ AC ， BC ＝ BD ，則∠ABD＝ 度。
A
B C
D
《答案》45
4. 如圖，直線 DE 是 BC 的垂直平分線，若 AB ＝60 公分，BC ＝70 公分， AC ＝80 公分，則△ABD
的周長＝ 公分。
《答案》140
5. 已知 A、B、C 三點不在同一條直線上，直線 L、M 分別為 AB 、 BC 的垂直平分線，且 L、M 交 於 P 點，若 PA ＋ PB ＋ PC ＝75，則 PB ＋ PC ＝ 。
《答案》50
6. 如圖，△ABC 中，直線 L 為 BC 的垂直平分線，且∠1＝115˚則：
(1)△ABC 為 三角形。(填入正、等腰或直角) (2)∠ABC 為 度。
《答案》(1)等腰 (2)25
7. 如圖，已知∠C＝100˚，且 AC ＝ CD 、 AD ＝ BD，則∠ADC＝ 度，∠B＝ 度。
A
B D C
《答案》40，20
8. 如圖，等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC 、∠A＝100˚， BD 平分∠ABC， BD ＝ BE ，則∠BDE 為
度。
A
B E C
D
《答案》80
9. 如圖，△ABC 中，AD 為 BC 的垂直平分線，若∠B＝(17x＋2)˚，∠C＝(23x－22)˚，則 x＝ 。 A
B D C
《答案》4
10. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， AM 平分∠BAC，若 BM ＝4 公分，△ABC 的面積＝4 33 平方公 分，則 AC ＝ 公分。
A
B M C
《答案》7
11. 如圖，直線 L 為 AB 的垂直平分線，且交 AB 於 E，C、D 為 L 上兩點，若 AB ＝16 公分， CD ＝ 5 公分，則鋪色部分的面積是 平方公分。
A E B
D C L
《答案》40
12. 如圖，△ABC 為正三角形， AD 平分∠BAC，若 AB ＝8 公分，則：
A
B D C
A
B D C
(1) AD ＝ 公分。
(2)△ABC 的面積＝ 平方公分。
《答案》4 3，16 3
13. △ABC 中， AB ＝ AC ，D 在 BC 上，且 AD 平分∠BAC，若 BC ＝30 公分， AD ＝20 公分，則△
ABC 的周長＝ 公分。
《答案》80
14. 如圖(一)，△ABC 中，∠C 是直角，今將 AC 往 AB 疊合後，得一摺痕 AD 與 C'點，C'點為 C 點 在 AB 上的疊合點，如圖(二)。若 AC ＝30 公分、 BC ＝40 公分，則 CD ＝ 公分。
《答案》15
15. 如圖，已知△ABC 中， CE 平分∠ACB，且 ED ⊥ BC ， EF ⊥ AC ，若 BC ＝10 公分、 DE ＝5 公分，△ABC 的面積為 55 平方公分，則 AC ＝ 公分。
《答案》12
16. 如圖，△ABC 中， AD ＝ BD ， BE ＝ CE ，若∠DBE＝70˚，則∠ABC＝ 度。
A B
C E D
《答案》125
17. 如圖，直角三角形 ABC 中，直線 L 為 BC 的垂直平分線，且交 AB 於 D，交 BC 於 E，若 BE ＝5，
AB ＝8，則△ACD 的周長為 。
《答案》14
18. △ABC 中，AB ＝ AC ＝
89
、BC ＝16，AD 為∠BAC 的角平分線，則△ABC 的面積＝ 。《答案》40
19. 如圖，L 為 AB 的垂直平分線，P 在 L 上，△ABC 中，∠ABC＝90˚，且 AB ＝12， BC ＝5，則 PB
＋ PC ＝ 。
《答案》13
20. 如圖，直線 L 是 AB 的垂直平分線，若△BCE 的周長＝100 公分， AD ＝30 公分，則△ABE 的周
長＝ 公分。
《答案》160
21. 如圖，△ABC 中， AB ⊥ BC ， AD 平分∠BAC，若 BD ＝4 公分， AC ＝15 公分，則△ACD 的面
積＝ 平方公分。
A
B D C
《答案》30
22. 如圖，△ABC 中， AD 平分∠BAC，DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC ，已知△ABC 的面積為 48 平方公分，
AB ＝10 公分， AC ＝6 公分，則 DE ＋ DF ＝ 公分。
《答案》12
23. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ，BD ＝ CD， AD ＝ AE ，若∠BAD＝30˚，則∠CDE＝ 度。
A
B D C
E
《答案》15
24. 如圖，△ABC 中，∠C＝90˚， AD 為∠BAC 的角平分線，且 D 在 BC 上，若 AD ＝ BD ，則∠B
＝ 度。
A
B D C
《答案》30
25. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ，以 DE 為對稱軸對摺，可使 A 和 C 重合，若 AB ＝18 公分， BE ＝ 3 公分，則：
(1)△AEC 的周長為 公分。
(2)△AEC 的面積為 平方公分。
《答案》(1)48 (2)108
26. 如圖，△ABC 中， AD 平分∠BAC，DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC ，已知△ABC 的面積為 32 平方公分，
AB ＝6 公分、 AC ＝10 公分，則 DE ＝ 公分。
27. △ABC 中， AB ＝ AC ，若 BD 平分∠ABC 交 AC 於 D，且 BD ＝ AD ，則∠A＝ 度。
《答案》36
28. 如圖，長方形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝8，且 L 為 AC 的垂直平分線，則 PD ＝ 。
《答案》
4 7
29. 如圖，在直角△ABC 的斜邊 BC 上取 D、E 兩點，使 AB ＝ BD ， AC ＝ CE ，則∠EAD＝
度。
A
B E D C
《答案》45
30. 如圖， PB ⊥ AB ，PD ⊥ AD，
QC
⊥ AC ，QD
⊥ AD， PA 平分∠BAD，QA
平分∠CAD，若CQ
＝1， AD ＝2，則 BP ＝ 。
《答案》4
31. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ，且 AD ＝ DE ＝ EF ＝ FB ＝ BC ，則∠A＝ 度。
A
C
B D F
E
《答案》20
32. 如圖，直角坐標平面上兩點 A(－3,1)、B(－2,－5)，若 P 為 y 軸上任一點，則 PA ＋ PB 的最小值
為 。
《答案》 61 三、證明
1. 已知：如圖，L 為 AB 的垂直平分線，P、Q 在 L 上。
說明：△APQ ＝ ～ △BPQ
《答案》△APQ 和△BPQ 中
因為 P、Q 在
¯
AB 的垂直平分線 L 上 所以PA ＝¯ ¯
PB ，¯
QA＝¯
QB又
¯
PQ ＝¯
PQ故△APQ ＝ ～ △BPQ(SSS 全等)
2. 已知：如圖，在△ABC 中，∠BAC＝90˚，
¯
AD ⊥¯
BC ，¯
BF 為∠ABC 的角平分線，交 AD 、 AC 於 E、F 兩點。說明：△AEF 為等腰三角形。
《答案》因為
¯
BF 為∠ABC 的平分線ˉ 所以∠1＝∠2在△ABF 中，
因為∠BAF＝90˚ˉ
所以∠1＋∠AFB＝90˚……(1) 在△BDE 中，因為
¯
AD ⊥¯
BC ˉ所以∠EDB＝90˚，推得∠2＋∠BED＝90˚……(2) 由(1)、(2)得：∠1＋∠AFB＝∠2＋∠BED
即∠AFB＝∠BED
又∠BED＝∠AEF(對頂角相等) 所以∠AFB＝∠AEF
故△AEF 為等腰三角形 四、計算
1. 如圖，△ABC 中， AD 平分∠BAC，若 AB ＝ AC ＝20 公分， AD ＝10 3 公分，則：
A
B D C
(1) BC 為多少公分？
(2)△ABC 是否為正三角形？
《答案》(1)20 公分 (2)是
2. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，若 AC ＝13 公分，△ABC 的周長＝36 公分，則：
A
B D C
(1) AD 為多少公分？
(2)△ABC 的面積為多少平方公分？
《答案》(1)12 公分 (2)60 平方公分
3. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， AD 為底邊上的高，若∠1＝(10x＋4)˚，∠2＝(7x＋19)˚，則：
A
B D C
1 2
(1)x＝？
(2)∠B＝？
《答案》(1)5 (2)36˚
4. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，若∠BAD＝40˚，則∠CDE 為多少度？
A
B D C
E
《答案》20˚
5. 如圖，△ABC 中， CD ⊥ AB ，若
¯
AB＝¯
AC ＝10 公分，¯
BC ＝12 公分，試求：(1)△ABC 面積為多少平方公分？
(2) CD 為多少公分？
《答案》(1)48 平方公分 (2)9.6 公分
6. 如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ， BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，求∠BOC 的度數。
《答案》140˚
7. 如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ，且 E 為 BC 的中點，若 D、C、E 三點共線，又 CD ＝ CA ， 則：
20
˚
˚A B
D
E C
(1)∠AEB＝？
(2)∠B＝？
(3)∠DAB＝？
《答案》(1)90˚ (2)40˚ (3)120˚
8. 如圖，△ABC 中，CE 平分∠ACB， ED ⊥ BC ， EF ⊥ AC ，若 BC ＝10 公分， DE ＝3 公分，△
ABC 的面積為 39 平方公分，則 AC 為多少公分？
《答案》16 公分
9. 如圖，△ABC 中， AD 平分∠BAC，且 DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC 。若△ABC 的面積為 48，且 AC ＝ 7， AB ＝9，求 DE ＝？
《答案》6
10. 如圖，在△ABC 中，∠C＝90˚， AB ＝20、 BC ＝16，直線 L 為 AB 的垂直平分線，試求 CE ＝？
《答案》 7 2
