21 世紀初幾何教學的透視
一一 第4部份 計算機使幾何教學別開生面
Klaus-Dieter Graf and Bernard R. Hodgson 著 徐瀝泉 譯
引言
本部份我們將說明, 當人們適當地使用 計算機之後, 它將怎樣給教學活動提供史無 前例的活力。
為討論方便起見, 假設其框架集中在數 學、 應用和教學法這 3 個不同的維度上, 而在 它們之中的每一個方面計算機都扮演了一個 重要角色。 在數學維度上, 它包括數學對象本 身在教學情境中與問題緊密相聯。 計算機有 助於我們建立基本的數學思想, 恰當地予以 理解。 在我們的情形下它是通過類比幾何變 換來實現的; 在應用問題上, 計算機顯出它是 一種構造複雜圖形的方便的工具, 它通過重 複基本的數學過程來實現; 在教學法這一維 度下, 為了闡明數學對象的基本性質及其相 互關係, 計算機被用於類比某些現象的分解。
1. 計算機在幾何中的新應用:
“平面瓦片的陰陽覆蓋” 和
“萬花筒”
我們首先給出 2 個具體例子來啟發我們 的研究和討論。 在此, 計算機起著基本的和關
鍵的作用。
圓的分割與反演
我們的第一個例子是關於 L. Collatz’s 分割問題的解。 即, 使用圓規和直尺把一個圓 盤劃分為面積相等的 n 個區域, 如圖 1, 表示 當 n = 6 時的 Collatz’s 分割。 作法由下面 的步驟 I 指出。
圖1
圖2
75
圖3
圖 4和圖5也來自 Collatz’s 分割, 將由 後面圓的反演變換給予說明。
步驟 I: 首先把給定圓盤的直徑 n 等分, 通過這些分點在圓內畫 (n − 1) 條曲線, 每 條曲線的兩個端點即該圓直徑的端點。 每一 條曲線都由兩段半圓弧連接而成, 這兩個半 圓的直徑即原圓盤直徑被該曲線分割而成的 兩條毗鄰的相應的線段。
步驟 II: 通過圓的反演變換, 把上述圓 盤內的曲線影射到圓盤外。
這樣就把整個平面劃分為某些區域, 其 中之一可稱為平面的 “一塊瓦”, 但必須提及 某些 “瓦片” 是無界的。 圖 4 和圖 5 各表示當 n = 5 和 n = 6 時的結果:
圖4
圖5
特別地當 n = 2 時它與著名的 “陰陽”
符號或道家哲學中的 “太極” 符號有密切的 聯繫 (如圖 2 所示)。 我們把圖 2 的陰陽符號 中各包含一個對稱點 (小圓圈) 的兩個小半 圓連接而成的曲線叫做 “陰陽直徑”, 或稱為 yy-直徑。 陰陽符號以其美學價值而著稱, 其 顯著的特徵就是它的中心對稱性。 圖3則給出 了圓的另一種分劃, 它也被分成對稱的上下 兩部份, 但它要比上述陰陽分劃稍遜一籌。 用 一條標準的直徑把一個圓直截了當地分成兩 部分, 和使用陰陽直徑這樣的曲線對圓進行 分割。 相比之下, 後者創造了一種更有意義的 和諧與協調。 這裡我們暫且不顧陰陽符號內 的兩個小圓圈, 儘管它們在這一符號的道家 概念中扮演了重要角色。
現在我們暫時中止上述討論, 再把注意 力集中到圓與圓弧間的基本關係上來。
圓的度量問題
在中學階段, 幾何教學主要強調圓與直 線的相互作用, 例如圓與它的直徑、 弦、 割線
與切線之間的關係問題。 而無理數 π 則是我 們探討的一個重要概念。 其理由之一當然是 這些相互聯繫在解決某些計算面積和周長等 實際問題時所起的重要作用。 但對圓的研究 在某種程度上是脫離 π 而進行的。
這一點已為歷史所證實。 關於圓的第一 個被證實的命題是由阿基米德給出的。 他在 一篇數學小品 “圓的度量” 中指出: 任何一 個圓的面積與一個特定的直角三角形的面積 相等, 這個直角三角形的兩條直角邊分別等 於圓的半徑和圓周長 (如圖 6)。
圖6
這一命題是數學命題中的重大定理之 一, 詳見參考文獻 [2]。 它在 Serres 關於科學 史的非凡著作有關致力於阿基米德研究的重 要章節中有專門的討論。 (詳見參考文獻 [1])。
阿基米德通過這一命題指出了求圓周長和求 圓面積這兩個問題之間的聯繫, 給出了圓周 長與圓的直徑之比是一個常數, 包括圓面積 可以用它的直徑來表示。 這已經是眾所周知 的事實 (參見歐幾裏德原理命題 XII.2)。 這 一常數自 17世紀以來一直用 π 來表示, 其結 果是由阿基米德應用他所創造的 “窮歇原理”
來證明的。 與此直接相關的有一個預備定理, 它指出: 正多邊形的面積是其周長與它的邊 心距的乘積之半。
幾何教學的更為廣泛的觀點是: 除了學 習圓與直線的關係之外, 還要考察諸如圓弧 之間的相互作用, 尋求與此相關的數學命題 與性質。 例如, 若使用圓的半徑之長 r 和它 的 yy-直徑之長 t 的關係式來表示, 因為 t 等於圓周長之半, 於是我們可得到圓周長和 圓面積的下述公式
C = 2t 和 A = rt
這兩個公式儘管難以實際操作, 原因是 t 不 像 r, 它不能用米制尺來測量, 但是它為圓的 基本元素之間的關係提供了新的資訊, 傳達 了陰陽分割的和諧與協調。
Collatz’s 方法的進一步說明
接下來我們來說明為什麼 Collatz’s 方 法 (聯繫到上述步驟 I) 會把一個圓盤分成 n 塊面積相等的區域, 而這只要使用圓規和 直尺即可, 這裏圓內 n − 1 條曲線的長度 t 都相等。 當 n > 2 時, 我們把它們叫作 “偽 陰陽直徑”。 任何一條偽陰陽直徑都把圓盤分 為兩個區域, 每一區域的界周都等於圓周長。
此外, 易證這兩個區域的面積分別為 r′t 和 (r − r′)t, 其中 r′ 表示其中一個小半圓的 半徑。這樣我們看到, t 不僅恰是這些區域的 周界之半, 而且也刻劃了由這些半圓組成的 各種不同分割的特性。 下面我們遵循前述結 果進一步闡明 Collatz’s 分割的結構。 為此, 當我們把具有小圓 (較小的那個半圓) 半徑為 kr/n (這裡 k ∈ [1,12n]) 的那條偽 yy-直徑, 向右移動 r/n 個單位, 即, 使其小圓半徑增 加到 (k + 1)r/n, 當然它所確定的 Collatz’s
區域會變大, 這時我們考慮與此相應的 n 個 Collatz’s 區域中, 兩個相鄰區域的重疊部分, 亦即擴大了的部份, 其面積顯然都等於 rt/n, 即, (k + 1)rt/n − krt/n。 由此看來, 它與 k 無關。
圓的反演與動態幾何軟件
把 Tai Chi 符號置於複平面上的單位圓 內, 那麼在一個互為倒數的複影射 z → 1/z 之下, 圓內的 “陰” “陽” 兩個部份就擴充到 整個複平面, 如圖 7所示:
圖7
注意到該幾何變換可以相繼分解為一個圓的 反演變換, 即複影射 z → 1/¯z 與另一個關於 x 軸的反射變換。 而我們之所以要引入圓的 反演變換, 是因為其美學特徵。 假如把各個不 同的區域用色彩分隔開來則效果更佳。 如圖 4 和 5那樣, 把圓內部份的原像和與之對應的圓 外的影像塗上相一致的色彩, 將得到一個特 殊的迷人的平面覆蓋。
B′ C′
D′ A
X Y
0 D C B
A′
圖8
儘管靠手工操作也能畫出上述圖形, 然 而使用計算機作圖則有助於我們真實地觀察 其全過程, 當然還可以極大地簡化我們的勞 動。 尤其是應用諸如 Cabri 那樣的動態的大 容量的軟體, 將更具吸引力。
圖 8 和 9 就 是 通 過 動 態 的 大 容 量 的 Cabri 軟體畫出來的。 在圖 8 中, 當點 A 沿著 yy-直徑從點 X 移動到點 O 時, 另外, 當與之相對稱 (關於中心對稱) 的點 B, 沿著 同一條 yy-直徑從點 Y 移動到點 O 時, 它們 的像點 A′ 和 B′, 通過圓的反演加上鏡面反 射, 沿著直線方向從點 X 和點 Y 各自向無 限延伸。 點 C 和點 D 及其它們的像 C′ 和 D′ 表示怎樣從圓內的點到圓外的影射。 類似 地我們可得到圖 9 的影射方式, 前面圖 4 和 圖 5 則更為複雜一些。
B′
C′ D A
X B 0 C Y
A′
D′
圖9
圖 10 所表示的變化方式是基於圓的分 割與反演的思想。 它由兩對偽陰陽直徑重復 地把圓分成 3 個區域, 一對是水平方向, 另一 對是垂直方向, 這4條偽陰陽直徑從圓內影到 圓外, 指明了由此方式所產生的幾個相對應 的區域。
圖10
顯然, 在紙上複製這些圖案不可能全風 味地傳真計算機螢幕上所發生的那些過程。
當我們看到那些給定的點以各種運動方式出 現在螢幕上的時候, 必要時如若再使用彩色 編碼來突出其內在聯繫的話, 那麼我們所考 慮的變換就不僅具有用某種計算規則 (例如
z → 1/z) 來刻劃的分析的性質, 而且可以 成為逼真的幾何實體。 其直觀性和可見性簡 直可以說是達到了驚人的地步。 在此, Cabri 軟體的一個重要特徵是, 它從本質上改變了 過去那種單靠 “一張紙和一支筆” 的局面。 它 極大地簡化了平面幾何中的基本的幾何變換, 包括圓的反演變換在內, 都具有可操作性。 用 戶對這些變換的分析的描述不必介意, 也不 需要把它們搬到複平面中去處理。 計算機將 使這些我們所感興趣的變換成為它可以直接 閱讀的幾何對象, 它們都存在於 Cabri 軟體 所提供的幾何環境之中。
萬花筒效應
我們再把注意力轉向計算機擴大幾何背 景的第2個例子。 圓的反演變換喚起了人們留 在多方面的回憶, 其中較為原始的一個情形 就是所謂的萬花筒。 它們都是由某種基本的 幾何變換而產生的絕妙的變化方式。 在萬花 筒內, 由兩塊平面鏡的交互作用所形成的一 個裝置, 通過並置在這些鏡片之間的基本花 紋反射成像, 並隨著其位置的改變, 產生了形 形色色的圓花窗式的 “玫瑰花模型”, 圖11表 示的是由兩塊相交成 60◦ 的鏡片所組成的一 種模式。 這些影響和支配著優美圖案的萬花 筒規則, 早在19世紀就由其發明者 D. Brew- ster 先生所確證。 他用鉛筆把原始狀態記錄 在紙上進行探索, 為我們提供了一個良好的 開端。 (見參考文獻 [6])
圖11
圖12
萬花筒也可以引成 “平面瓦塊”。 當引進 第 3 塊 (最後或是第 4 塊) 鏡片之後, 它使得 圓花窗爆裂而遍佈全平面。 如圖 12 所示。 進 而, Brewster證明了這些 “多中心萬花筒”
的原理。 例如其鏡面的交角只有 (60◦, 60◦, 60◦), (90◦, 60◦, 30◦) 和 ( 90◦, 45◦, 45◦) 這三種類型。 任何萬花筒作用的探究必須從 真實的萬花筒出發, 從商店裡可以買到那些 價廉物美者, 也可以由家庭自製。 必須通過具 體的操作, 即把圓筒適當轉動到各種狀態, 隨
著一步一步地抽象而最終趨於對現象的正規 描述, 推導出公式或定理的證明。 一種可能實 現的工作順序可以按照下列線索進行:
首先, 鏡片必須在自由狀態下進行操作, 而不是把它們固定在圓筒內。 只需使用一些 小物體或者是畫在紙上的圖形作為透視對象;
接著準備好紙和筆, 然後用直尺和圓規 把觀察到的現象畫下來。 其中包括抽象地對 變換作出定義。
最後, 把上述現象切換到計算機螢幕上, 盡可能以不同的方式重復前面的試驗, 從而 開放新的機會。
許多軟體環境可以在這裡實現。 這必將 使得冗長的操作自動進行, 並且簡化複雜圖 像的結構。 通過巨集結構的適當使用, 它促 使用戶把注意力集中到更加廣泛的現象上去。
儘管有許多無關的細節被隱藏在宏觀現象之 中, 但重要的是通過操作, 可能會出現更多的 機會。 而這些現象只可能存在於計算機環境 之中, 在實際生活中是沒有的。
把圓花窗爆裂為若干部份, 為的是研究 它的 “歷史”, 即從基本主旨出發的緊密地聯 繫在一起的成像過程的方式。 Cabri 功能表 提供了一種 “復位結構” 按鈕, 它允許圖像 按照某種方式逐步逐步地重復構造; 或者按 照某種規則變換這一基本主旨, 這時可能並 不存在著真實世界中的對應物體。 例如, 它 形成了一個建立在中心對稱基礎上的萬花筒, 而不是軸對稱。 (詳見參考文獻 [5])
在下文中我們將更加詳盡地考察由計算 機在這方面所扮演的關鍵的角色。
2. 計算機在幾何教育中
現在我們依據引言中所建議的框架來討 論計算機在各個維度上所起的作用。
數學維度
為了說明計算機在數學維度上的應用, 我們考慮幾何課程中的一個特殊的課題, 叫 做變換幾何。 我們選擇下列 3 種變換, 它們是 在中學的不同年級學習的, 即關於一條直線 的反射 (軸對稱)、 關於一點的反射 (中心對 稱) 和關於一個圓周的 “反射” (圓的反演)。
這是三種基本的幾何工具, 可以用計算 機形象地方便地進行模擬。 此外, 當反射一個 幾何圖形時, 計算機幾乎允許同時地逐點地 構造出圖形和它的像 (如圖 8, 9 和 15), 這樣 可以使我們看到其變換規則。 而前面的兩種 變換在幾何教學中可能較為規範, 這第3種變 換並非如此, 可能是因為其構造的方式更為 複雜一些的緣故吧。
軸對稱變換最易於為初學者所接受, 因 為它存在著一個真實的模型, 即平面鏡。 中心 對稱沒有這樣的實際背景。 對學生來說, 考慮 它們覺得很抽象。 圓的反演則要通過球面鏡 (凹的或凸的) 來實現。 這一點通常在數學課 上並不提及, 而留待物理教學中去處理。 學習 數學的學生只有當他們在學到複平面上的影 射時才碰到它。 但是, 在此我們提議一種可實 現圓的反演的製作方法, 把它設想成平面鏡 那樣: 一個 (半) 球面的觀察器, 此球面的內 表面是一面鏡子。 物體的虛像站立在通過球 心的球面鏡裡, 然後延伸到球面的外部, 最終 達到虛的無限。
我們完全有理由把這第 3 種變換與前面 兩種變換一起綜合到幾何教學中去。 因為它
開闢了更為廣泛的應用渠道和各種方式方法。
再者, 現代計算機對這類技術問題和數學運 算能起關鍵的作用, 在圓的反演變換之下完 全可以解決更為複雜圖形的構造問題。
應用維度
在應用維度上, 我們所感興趣的對象是 萬花筒和平面瓦片的鋪蓋。 更為明確地說, 我 們首先考慮使用 2 塊、 3 塊或者 4 塊鏡片, 建 立在一系列軸對稱變換之上的計算機類比萬 花筒。 然而, 要靠手工的或是腦力活動的方式 把它轉換給計算機, 似乎不可能, 除非增加學 習的效能。 我們相信擴大了視頻和記憶體的 計算機將提供這樣的教學機會和展示很好的 例證。
第一、 計算機非常有利於我們的探索, 它將使我們能以較小的投入 (精力) 而輕而易 舉地收集到各種調查資料。 它既能作出人工 所不可能作的圖形, 比如逐點地 (偽的) 同時 作出兩個或更多的圖形; 又能分解複雜的物 理現象, 由鏡片的相互作用一次一個地成象, 而不是使全部的圖像一下子作出來。
第二、 計算機允許研究設備不用真實材 料來製作, 例如 “虛擬的萬花筒” 就建立在一 系列中心對稱的基礎上而不是通常我們熟知 的軸對稱 (如圖 13所示)。
圖13
這樣就創造了一種新的數學模式, 有其獨特 的重要性, 也有助於對日常現象更好的理解。
第三、 無論在 3 塊鏡片的情形下還是在 4 塊鏡片的情形下, 計算機萬花筒都可以產生 平面瓦塊 (軸對稱的或者中心對稱的)。 這取 決於鏡片的相對位置, 即, 圍成三角形還是 圍四邊形。 撞擊的結果可以形象地看出 (不證 明!), 當虛擬的萬花筒工作時, 按照與一塊瓦 邊的中點相對稱這一規則, 任何三角形與四 邊形都可以操作, 不必對瓦片的形狀加以限 止 (圖 14 就提供了這樣的例子)。 此外, 虛擬 的萬花筒也能引起兩種不同類型瓦片的覆蓋。
圖14
第 4 種應用, 產生了許多有趣的平面鋪 瓦方式, 例如用圓弧所圍成的圖形作為 “瓦 片”, 其中一個整圓的情形是最簡單的特例。
如前所述, Collatz’s 分割的思想是把圓面 n 等分, 它給出了這樣一種鋪蓋方式, 圓內的每 一塊瓦片都全等, 它們具有相同的面積和周 長。 應用一個反演變換, 則把圓內的區域影照 到圓外平面上空餘部份的區域, 即蓋瓦在圓 外發生。給人以極為生動的圖感, 當相對應的 區域 (像與原像) 著上彩色時尤其顯著。
教學維度
在教學維度上, 在我們的框架結構中有 幾種方式是較為明顯的。 首先在數學課上, 對 4 年級、 8 年級和 12 年級的學生, 通過操作真
實的平面鏡和萬花筒、 幾何建模和符號的推 理, 在考慮傳統的、 圖像的和符號的學習方 面, 對學習數學的對象和應用必將有所作為。
其次通過計算機的生動應用, 為我們檢索數 學程序提供了有效的新方法, 像逐點地或者 整體地變換圖像那樣對萬花筒的模擬。 而通 過使用圓規和直尺的傳統作法要達到此目的 是完全無效的。 第三, 當瞭解計算機這種工具 的生動性和有效性之後, 會促使和鼓勵小學 生對攻克大量的初等幾何問題產生一種主動 性行為的需求, 為檢驗其猜想而勇於試驗和 探索。
現在我們來說明剛才提到的第二個問 題。 討論一下 7 年級和 8 年級的幾何教育而發 展起來的一個套裝軟體。 叫做 “Turtles 對 稱”。 (見參考文獻 [4])
如所知, 軟體已得到很大發展。 Logo’s Turtle 軟體能夠生動地幫助幾何的啟蒙教 育。 運作中的 Turtle 已經發展成為對直尺 和圓規的一種延伸的工具。 隨後就是 Abel- son’s dyna-turtle 概念的產生, 慣量除外。
在某些範圍內運行 Turtle, 可以像用一支鉛 筆那樣, 在鍵盤的控制下沿著直線方向運動, 左拐或右拐, 也可以描點。 總之, 平面幾何中 的許多有趣的圖形都可以作出來。
除了這種 Turtle 軟體外, 還有兩種 Turtle 軟體。 即關於軸對稱和關於中心對稱 的 Turtle。 它們不僅能畫出圖像本身, 還 能用不同的顏色在螢幕上作出關於 x 軸、
y 軸和中心對稱的它們的像。 這個過程既可 同時發生也可逐點地發生, 這時就像當運用 Cabri 軟體構造陰陽瓦片那樣。 這種對稱的
動態的作圖方式有助於用戶, 從一個完整的 獲取圖像的過程中, 更加及時和容易地認識 影射的性質。 例如, 使我們看到一條直線怎樣 剩餘一條直線, 或者是看到在軸對稱之下這 條直線方向的改變, 在中心對稱之下剩餘直 線可能在同一條直線上。 在後者, 我們看到已 知直線和它的像平行, 只是指向不同。
圖15
圖 15 給出了由 Turtle 對稱的兩種類 型所生成的圖形的某些例子。 圖 16 則展示了 下列問題可以怎樣去探索: 當一個三角形在 不同的位置關於軸對稱或者關於中心對稱時 所發生的情形, 關於這些工具的更加詳細的 情形可以到本文作者的另一篇文章中去瞭解。
(參考文獻 [4])
Turtle 對稱的思想可以從學習 F. 克萊 因的愛爾朗根綱領 (寫於 1872 年) 的全部變 換的性質中加以概括。 諸如等距變換 (翻折、
旋轉與反射), 相似變換, 仿射變換和仿射影 變換。 這些工作已經由 Fischer 提議並實施。
(參考文獻 [3])
圖16
儘管在最後的十年裡, 在計算機軟體與 硬體的發展和進行了許多有價值的教育實驗 等方面都取得了長足的進展, 但是計算機在 今天的學校裏使用得並不普遍, 其中包括在 幾何教學中的應用。 這正如人們所早就預料 的那樣。 其原因雖然很多, 但不外乎與下面 的幾個問題相關。 即, 計算機的功能和可利 用性、 計算機的維護和用戶介面程式的複雜 性、 軟體的教學質量等等。 儘管這些事實都與 重要出版物相關。 但是沒有一個人能像關係 到教師的能力和水平那樣對此苛求, 去對付 新的教學環境。 靠小學生學習和理解幾何學, 在使用技術手段來感染環境的地方, 對老師 有許多期待和要求。 老師必須在資訊學和教 授法方面充分拓寬自身的數學教學領域。 對 此問題的更進一步的討論參見本文另一作者 Hodgson 的文章。 (參考文獻 [7])
本節中提出的幾個問題已經涉及到普通 教育的本質方面。 例如, 對於陰陽符號這個問 題, 除去它與文化內涵的聯繫之外, 還有其重 要的與各學科之間橫向聯繫的價值。 比如它 與哲學相關, 並且從藝術家的觀點來看, 考慮
到它的美學內容, 它還指出了許多其他有趣 的模式。
在我們的工作背景下, 有賴於我們深信 完全掌握某種 “微理論”。 例如萬花筒現象或 者弧對圓的分割。 對學習者來說, 則是隨著反 復持久地訓練他們的觸覺和感覺, 獲得真實 的正確的經驗和體驗。 才能體會到數學關於 什麼以及與什麼有怎樣的聯繫。
幾何學進入 21世紀, 這種情況總是伴隨 而來, 隨著對非凡的和潛在情形的闡明及其 豐富的原始文件的出現, 數學將更具鑒賞價 值。 在幾何教學中目前正在起變化的是, 計算 機將成為其關鍵的組成部分, 它不僅通過誘 人的圖像吸引著我們, 而且也允許我們探索 另一些非常複雜的或者甚至是現實生活中根 本不存在的東西。
譯者注: 本文是 「計算機技術與幾何教 學」 的第4 部份, 選譯自 「數學教育 · 數學 文化 · 數學史 · 信息技術」 國際學術研討會 (1998年4月由中、 日、 美、 德、 法等國聯合舉 辦於中國 · 北京) 非結集論文。 作者系德國柏 林自由大學數學教授。 由於譯者水平所限, 不 當之處望作者和讀者批評指正。
參考文獻
1. Authier, M., Archim´ede, le canon du savant, in Serres, M. (Ed.), El´ements
d’Histoire des Sciences (101-127), Bor- das, 1989 (English translation: History of Scientific Thought: Elements of a History of Science. Blackwell, 1995).
2. Dunham, W., Journey through Genius:
The Great Theorems of Mathematics, Wiley, 1990.
3. Fischer, W. L., Der Einsatz von Computern im Geometrieunterricht, in Loska R. & Weighand, H. G.
(Eds), Mathematikdidaktik zwis- chen Forschung und Lehre (254-266), Klinkhardt, 1996.
4. Graf, K.-D., Using software tools as additional tools in geometry education to ruler and compasses, Education and Computing, 4, 171-178, 1988.
5. Graf, K.-D. and Hodgson B. R., Popu- larizing geometrical concepts: the case of the kaleidoscope, For the Learning of Mathematics, 10, 3, 42-50, 1990.
6. Hodgson, B. R., La g´eom´etrie du kal´eidoscope, Bulletin de l’Association math´ematique du Qu´ebec, 27, 2, 12-24, 1987. Reprinted in Plot (Suppl´ement:
Sym´etrie - dossier p´edagogique), 1988, 42, 25-34.
7. Hodgson, B. R., The roles and the needs of mathematics teachers using IT, in Watson, D. and Tinsley, D. (Eds.), In- tegrating Information Technology into Education, (27-37), Chapman and Hall, 1995.
–本文譯者任職於中國無錫市教育研究中心–
