幾何圖形的切線

2 極限 (limits) 與

導數 (derivatives)

2.1 變化率問題: 圖形的切線與

物體運動的速度

幾何圖形的切線

幾何圖形的切線

切線 (tangent) 的字根源自於拉丁文的 tangens ，意義為

「接觸 (touching)」。

一條曲線的切線即為剛好接觸到該曲線的直線。

同時，切線的方向也表示該曲線在接觸點瞬間的方向。

幾何圖形的切線

舉例說明，對一個圓而言，切線就是與圓恰恰相交於一點的 直線，如下圖一 (a)。

然而對於更複雜的曲線，這樣的定義是不足夠的。

圖一(a)

幾何圖形的切線

圖一(b)即為一個比較複雜的例子，我們可以觀察到直線 l 與 t 都經過曲線 C 上的點 P 。

然而，直線 l 只與 C 相交 於 P 一點，但這並不是我 們心目中所想的切線。

另一方面，直線 t 較符合我們心中對切線的定義（恰好接觸 到曲線 C ，且直線的方向與曲線在 P 點的方向一致），但 t 與 C 相交不只一點。

圖一(b)

範例一

求過拋物線 y = x² 上點 P(1,1) 的切線方程式。

解(想法):

從直線的點斜式可知，若我們知道切線的斜率，則可求出該 切線的方程式。

因此這個問題的難處，就在於我們只知道 P 的位置，要如何 計算線的斜率。

範例一 / 解

觀察下圖二，我們可在拋物線上另取一點 Q(x,x²) 在 P 的附 近，計算 PQ 割線段 (secant line) 斜率，逼近切線 t 的斜率。

[ 割線 (secant line) 字根來於拉丁文的 secans ，意思是切 割。 ]

cont’d

範例一 / 解

任取一點 x





我們可以實際取一點，例如 Q(1.5, 2.25) ，此時有

cont’d

範例一 / 解

下表列出了在 1 附近的幾個 x 值計算出來的割線斜率 m_PQ

可以發現，當 Q 越靠近 P ，即 x 越靠近 1 時，割線斜率 m_PQ 會越來越接近 2 。

cont’d

範例一 / 解

由前述觀察與計算，看起來切線 t 的斜率 m 應該就是 2 了。

此時我們可以說，切線斜率就是割線斜率逼近的極限值 (limit)，數學上我們以下列符號表示：

若切線斜率真是 2 ，利用直線的點斜式我們可以計算經過點 (1,1) 的切線方程式即為

y

x

y

x

cont’d

範例一 / 解

下圖三(a)(b)描述了這個利用割線逼近的過程。

cont’d

Q點從右側逼近 P 點

圖三(a)

範例一 / 解

當 Q 沿著拋物線逼近 P ，可以觀察到割線 PQ 以 P 為中心 旋轉，漸漸逼近切線 t 。

cont’d

Q 點自左側逼近 P 點

圖三(b)

物體運動的速度

範例三

假設有一球自450公尺高的多倫多 CN 塔瞭望台上掉落，問 此球在五秒後的速度為何？

解:

四百多年前加利略 (Galileo) 經過實驗發現，任何自由落體落 下的距離正比於其經歷時間的平方。（此時我們不考慮空氣 阻力的影響）

範例三 / 解

假設我們將 t 秒過後的掉落距離記作 s(t) ，單位為公尺。

則加利略的自由落體定律可以用下列的方程式表示 s(t) = 4.9t²

而求出 5 秒後物體速度的難處在於，我們並沒有一個時間區 段去計算移動距離與耗時的比值，而是想知道一個瞬間時刻 的速度。

cont’d

範例三 / 解

然而我們仍可以利用 5 秒時附近區間的平均速度來逼近我們 想要的量。例如從時間 t = 5 到 t = 5.1 ：

cont’d

平均速度 = ^{時間內移動距離}

歷經時間

範例三 / 解

下表為挑選不同時間區間所計算得來的平均速度。

cont’d

範例三 / 解

同樣我們可以從表上觀察，當時間區間越短，平均速度似乎 越接近 49 m/s 。

因此我們將時間 t=5 的瞬時速度 (instantaneous velocity) 定 義為當時間區間越短，其間平均速度的極限值。

在這個範例中，五秒後的瞬時速度即為 v = 49 m/s

cont’d