HPM 通訊第十四卷第六期第一版
《峰迴路轉千帆來》序
三次、四次方程解法：一個歷史的回 顧
論文摘要：《數理精蘊》中的《幾何 原本》
撰寫碩士論文之心得
笛卡兒畫像：創作理念 發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授）
主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）
助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）
編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）
黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）
陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）
王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）
英家銘 謝佳叡（台師大數學系）
創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng
《峰迴路轉千帆來》序
李學數
要進步需不斷求變，要完美則更需不斷求變。— 英國首相邱吉爾
江北秋陰一半開，晚雲含雨卻低徊。青山缭绕疑无路，忽见千帆隐映来。
— 王安石《江上》
中國人說：「窮則變，變則通」，這是真理。
有一個時期，生活欺騙了我，我腦受傷，以前記憶力超群《三國演義》《水滸傳》
過目能誦，受傷後《红岩》只知江姐、許雲峰、華子良、小蘿蔔頭獄中鬥爭一點情節, 大部份記不起來。連我喜歡的普希金的詩歌《假如生活欺騙了你》都背不起來。那時我 的心是多麼的悲傷，認為自己走到「山窮水盡」的地步。
我敬愛的老前輩翟先生，寫信鼓勵我，說：「老虎受傷，要找一個地方養傷」。並且 和女兒來美國看望我，講他的故事鼓勵我，不要悲觀。翟先生講述他曾因仗義直言，被 殖民當局抓進獄中，他怎樣在「雞鳴狗盜屠狗輩」的室友裡求同存異，怎樣在殘酷的環 境和狼共處的鬥爭經歷。
很感激在自已－蹶不振時，有人告訴我人生就像陸遊的詩: 「山窮水盡疑無路，柳 暗花明又一村」，勸我不要消極悲觀。於是，我再站起用『路村』的筆名寫文章和翻譯。
我一個柬埔寨好友小孫在 1970 年朗諾政變後，響應西哈努克親王的號召，跑到森 林參加游擊隊，後來成為一個省的領導者，但不幸紅高棉領導走火入魔，準備連他這樣 忠誠祖國的人都要消滅，他只好帶著弟弟和家人逃到泰國。
聽他講他的親歷，我時常為惨死在柬埔寨的千萬人民而難過，這書的《革命不是拿 人民當韭菜來切割》，是我對這段史實的讀書紀錄。
我寫關於自閉症(也稱孤獨症)孩子的文章，源於自己也是有些自閉症的特徵。我小 時候不喜歡講話，很遲才開口，不擅長溝通。我特別不喜歡動，很容易焦慮，不喜歡與
HPM 通訊第十四卷第六期第二版
人交往，也不喜歡看人。
記得五、六歲時曾在菜市場花一毛錢買一碗黑糯米粥，吃不到兩三口，賣粥的老婆 婆驚慌的搶了我的粥，拿著一桶粥逃走了。原來是殖民地白人警官帶領孟加拉籍及馬來 警察來到菜市場掃蕩，捉拿無執照營業的小販。
在菜市場目睹這些如狼似虎的警察掃蕩，我沒有回家。等待半個鐘頭之後，這些軍 警離開，賣粥的老婆婆從人家的屋子走出來，我不只沒有同情她受到的驚嚇，反而要她 給回我那碗粥，她無奈悲傷默默地盛了一碗給我。
我長大之後回憶此事，常常為我這種遲鈍不會注意別人的行為而感到難過，以及缺 乏同情心和不能感受他人的痛苦而羞愧。
寫韓國裴亨鎮成長的故事，希望自閉症患者逐漸被了解，我們能提供對他們更好的 幫助。每年 4 月 2 日為「世界自閉症關懷日」(World Autism Awareness Day，簡稱 WAAD)，希望全社會的人能把更多關愛投向自閉症患者及他們的家庭，讓自閉症兒童像 健全孩子一樣擁有活潑快樂的童年。
人生的道路不是常鋪滿鮮花，多半是荊棘。行進過程，不是風和日麗，偶而也有暴 風驟雨。有一段時期，我的視力微弱，不能看我喜歡看的書，心裡很是消沉。而痛風，
高血壓，很像阿兹海默症的颤抖讓我感到肉軆衰退的痛苦。
不能閱讀，這是對研究的一個大障礙，但我後來想到邱吉爾在戰時最困難的時候說 的話：「要進步需不斷求變，要完美則更需不斷求變。」要想法改變自已。俄國詩人、
小說家普希金説：「讀書和學習是在別人思想和知識的幫助下，建立起自己的思想和知 識。」不能看別人的工作，就只好做自己的東西。結果壞事變好事，發現自己創造的一 些理論真是優美，有許多新天地可探索,通向進一步發展的嶄新道
路,找到新處女地，壞事真的變成好事。
在《少點埋怨,多點奉獻》我引了印度詩人泰戈爾的話：「我 年輕時的生命猶如一朵鮮花，當和煦的春風來到她門口乞求之 時，她從充裕的花瓣中慷慨地解下一片兩片，從未感覺到這是損 失。現在青春已逝，我的生命猶如一顆果實，已經無物分讓，只 等著徹底地奉獻自己，連同沉甸甸的甜蜜。」
我也引了巴金曾這樣的希望自已：「我是春蠶，吃了桑葉就 要吐絲，哪怕放在鍋裏煮，死了絲還不斷，為了給人間添一點溫 暖。」這也是我的想法奉獻自己，不要消極的埋怨，怨自己命運 不濟、怨他人不接濟，多換位體驗別人的疾苦，學會感謝和感恩，
幫助那些需要幫助的弱勢群體，讓這世界變得更好，把地獄變天 堂。這就是為什麼我在數九寒冬的北國寫了這樣的詩句：「我血 化為艷陽花，欲把春來喚。」
讀宋朝王安石 (1021－1086）晚年辭官閒居於江寧府（南京）
寫《江上》一詩：「江北秋陰一半開，晚雲含雨卻低徊。青山繚 繞疑無路，忽見千帆隱映來。」
王安石像
HPM 通訊第十四卷第六期第三版
人啊！不要悲觀，永遠不要失望和消沉，在這無法預料的前進時，做出最準確、有 智慧的判斷。自己希望達到怎麼樣的終站，然後把這當作「標竿」，頑強地奮勇前進。
在你認為「山窮水盡」「青山繚繞疑無路」的困境時，不單會「柳暗花明」，而且會「峰 迴路轉」，不只見到「村」，也會「忽見千帆隱映來」。
這就是為什麽這文集取名《峰迴路轉千帆來》。
感謝松齡兄多年關懷，以及天地圖書公司张可盈女士高效率及認真的整理工作，讓 這書能早日問世。對許多朋友在寫作過程给予無私的協助，衷心感謝，讓我們把這世界 變得更美好吧！
（2011 年 5 月 30 日）
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《HPM 通訊》駐校連絡員
日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 、李佳嬅（東京大學）
德國：張復凱（Mainz 大學）
基隆市：許文璋（南榮國中）
台北市：楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）蘇俊鴻（北一女中）
陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）郭慶章（建國中學）李秀卿
（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）彭良禎（麗山高中）郭守德
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林壽福 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏
（中正國中）李建勳（景文高中）
新北市：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵
（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬
（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國中）
莊耀仁（溪崑國中）
宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）
桃園縣：英家銘（中原大學）許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學） 洪 宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高中)、
鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）
新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川、林典蔚（新竹高商）
新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）
苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)
台中市：阮錫琦（西苑高中）、劉雅茵（台中二中）、林芳羽（文華中學）、洪秀敏（豐原高中）
南投縣：洪誌陽（普台高中）
嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）
台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜
（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）
高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）
屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）陳建蒼（潮州高中） 黃俊才（中正國中）
澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）
金門：楊玉星（金城中學）馬祖：王連發（馬祖高中）
附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！
HPM 通訊第十四卷第六期第四版
三次、四次方程解法：一個歷史的回顧
洪萬生
國立臺灣師範大學數學系退休教授
一、前言
在西方數學史上，阿爾‧花拉子模（第九世紀）之後，二次方程解法由於配方法的 加持，已經變得相當成熟，儘管他並沒有方便的代數符號可以操弄。現在數學家所面對 的，顯然就是三、四次方程的解法了。
對於阿拉伯數學家奧瑪•海亞米來說，三次方程的幾何解法顯然有它的意義與價值，
不過，從方程論（theory of equations）的觀點來看，卻沒有多大意義，這是因為方程式 的根式解（solving by radicals）才是王道。如此看來，如何以純代數方法找到三、四次 方程的解，就變得十分重要。
我們必須在此先提及：在 1590 年代，法國數學家韋達（F. Viete）提出符號法則
（symbolism）之前的半個世紀，義大利數學家已經成功地提出三、四次方程的解法。
可見，符號法則（symbolism）無關此一代數學之重大發展。十九世紀德國數學家內瑟 曼（Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann, 1811-1881)）曾以三階段說來刻畫西方代數 學之發展：先是文辭代數（rhetoric algebra）（譬如古埃及、巴比倫代數），繼之以簡字 代數（syncopated algebra）（譬如古希臘丟番圖代數），最後階段則是符號代數（symbolic algebra）。這種說法，充分反映了單一方向的進步史觀，非常盛行於十九世紀，馬克斯 的唯物史觀當然也不例外。顯然，它也反映了一種要跟「落伍的」過去文明劃分界線的 決絕態度。一旦承認了代數符號法則的進步性乃至於優越性，那麼，評論一個文明的數 學成就，往往就成了測量它距離符號法則有多遠的工作了。這種通稱為「輝格式」
(Whiggish) 史學研究的進路，在幫助我們瞭解古代數學文本時，固然有它的必要性，但 是，過度糾纏的結果，卻很容易簡化歷史演化的錯綜複雜現象，而忽略了數學發展的「在 地意義」(meaning in context)。事實上，即使史家能夠警覺此一「三階段說」的詮釋限 制，譬如史家錢寶琮曾注意到中國宋元「天元術」與此說的格格不入，而將天元術歸類 為一種「器械代數學」。然而，儘管他已經照顧到了中國脈絡，但是，頂多只是點出此 說不適用於東方數學傳統罷了。
因此，從我們今日的後見之明（hindsight）來看，在十六世紀，三、四次方程解法 與符號法則這「兩條路線」，可以說是各行其是，而且，前者的方法論特色是：儘管求 解的是數值係數方程式例子（譬如卡丹諾的 ），然而，解法（公式）卻都具 有一般性（generality）。此外，對此做出貢獻的數學家如費洛（Scipione dal Ferro, 1465-1526）、塔達里亞（Tartaglia，原名 Niccolo Fontana, 1499?-1557）以及卡丹諾
（Girolamo Cardano, 1501-1576）和徒弟費拉里（Ludovico Ferrari, 1522-1565）等人所 20
3 x6 x
HPM 通訊第十四卷第六期第五版
以能掌握到解題關鍵，乃是因為他們都採納了一種方程式變換（transformation of equation）的化約式（reductionistic）思維方法，亦即將三次求解化約為二次求解，或 者將四次化約為三次。
二、三次方程解法
現在，就讓我們介紹三次、四次方程解法。給定三次方程式：
q px
x3 。
v u x
仿卡丹諾，不妨令 ，則 或 。最
後式子與給定方程式比較係數
) ( 3 )
( 3 3 3
3 u v u v uv u v
x
，得p 3uv
3 3
3 3uvx u v
x
，qu3v3或 p3u( v )，qu3( v
，吾人可以造出一個二次方程式：
)3 3
3 3/27 u ( v)
p
，qu3( v )3。最後，令
或
。
解最後這個二次方程式，得其兩根如下：
u3
t
0 27
3/
2 qtp
t
2 2
3 2
3) ( 2) 2 ( 2
27 / 1
4 p q q p q
t q
，
因此，
2
2 3 2 2
3) ( 2) 2 (
p q
v q
3 )
(3 2) 2 (
p q
u q ， 。
再開立方根，可得給定三次方程式之根如下：
3 2 2
3 2 2
3) ( 2) ( 2) ( 3)
( 2) 2 (
p q
q p
q v q
u
x 。
三、四次方程解法
之進路，考慮下列四次方程式：
兩邊各加 ，得
再就四次方程解法來說，茲依循費拉里
2 0
3
4ax bx cxd x
)2
(ex f
HPM 通訊第十四卷第六期第六版
(*)
在，我們要選擇適當的 e, f 使得左式＝ 。將平方展開，再比較係數，則 有
， ，
2 2
2
3 bx d (ex f) (ex f)
ax
4 cx
x
現 (x2 pxq)2
a p
2 p22qbe2 2pqc2ef ， 。
如此一來，
2
2 d f
q
a p 2
1 可以決定。改寫其他方程如下：
， ， ，
將上述第一、第三方 代入第二方程，得
或（代入
2
2 2 2 2 2 2
b q p
e 2 4e f (2pqc) f q d
程
) )(
2 ( 4 ) 2
( pqc 2 p2 qb q2 d
a p 2
1 ）
。
這是一個 q 的三次方程式，而且吾人可將其根表徵為 的根式。換言之，q 也可決 定，而這是基於三次方程式已經可以根式求解的前提而得，一般人很容易忽略。現在，
或
亦即我們得到下列兩個二次方程式：
它們各自的兩根就是原方程式的四根。讀者不妨以方程式 為例，核 證它的四個根究竟為何。請注意：本例中的 p=0，而 q
2 8 4 )( )
( )
(aqc 2 a q b q2 d
d c b a, , ,
e, f 可以從上述方程式獲得。於是，方程式 (*) 變成為
2 2
2 ) ( )
(x pxq ex f ，
0 )]
( ) ( )][
( ) (
[x2 pe x q f x2 pe x q f
0 ) ( ) (
0 ) ( ) (
2
f q x e p x
f q x e p x2
0 3 8 2 2
4 x x
x
則是三次方程式(8q8)(q23)64 的實根：q1，如此可選擇e2,f 2。
HPM 通訊第十四卷第六期第七版
四、餘論
被認為那是解球面三角的需求所致，而後
。換言之，三次方程解法具有實用 背景
到五次呢？顯然，這一過渡無法「依此類推」！它需要一種 子跳躍，一種全然不同於傳統解方程的思維，一種即使有了符號法則，也無法水到渠
Alan Rogerson (1981). Numbers and Infinity: A historical account of mathematical concepts. New York: Cambridge University Press.
to Modern Times）第㈠冊（張理京等中譯），上海科學技術出版社。
最後，有關三次方程解法的歷史背景，也
者乃源自十五世紀以降的地理大探險之航程確定工作
。另一方面，卡丹諾 vs. 塔達里亞有關三次方程解法的科技爭議，在數學史上非常 經典，也值得我們注意。
至於由四次求解如何推 量
成的「現代性」（modernity）思維。不過，我們將這一討論留到下一篇文章再說。
參考書目
Sondheimer, Ernst and
比爾‧柏林霍夫、佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》(Math through Ages: A Gentle History for Teachers and Others)，台北：博雅書屋。
哈爾‧赫爾曼 (Hal Hellman)(2009).《數學恩仇錄：數學史上的十大爭端》，台北：博雅書 屋。
洪萬生 (2003).〈以HPM為鑑：數學史可以從HPM學到什麼？〉，《HPM通訊》第六卷第 一期。
莫里斯‧克萊因 (Morris Kline)(2002).《古今數學思想》（Mathematical thoughts from Ancient
英家銘、蘇意雯 (2009).〈數學與禮物交換〉，洪萬生等著，《當數學遇見文化》（台北：
三民書局）頁 110-122。
沈康身 (2010).《歷史數學名題賞析》②，台北縣：稻田出版公司。
HPM 通訊第十四卷第六期第八版
碩士論文摘要
《數理精蘊》中的《幾何原本》
張美玲
台北市立景興國中
《幾何原本》之中文譯本分為歐幾里得 (Euclid) 的《幾何原本》(Elements)與巴蒂 ( Pardies) 的《幾何原本》(Elémens de géométrie)；前者由徐光啟、利瑪竇於 1607 年合 譯前六卷，到了 1857 年才由李善蘭、偉烈亞力完成後九卷的翻譯。後者由張誠、白晉 先譯為滿文，再譯為漢文，又有「七卷」和「十二卷」兩個不同版本，「十二卷」版修 改後收入《數理精蘊》。
《數理精蘊》是清康熙年間編譯的數學百科全書，從整體上而言，可說是一部西方 數學著作的編譯作品，《數理精蘊》中的《幾何原本》，是根據法國數學家巴蒂（P. Pardies, 1636～1673）所撰的幾何學教科書 Elémens de géométrie 翻譯增刪而成。書中各個命題 的邏輯證明不求十分嚴格，定理的編排次序也不注重它的系統性，其著述體例與歐幾里 德《原本》差異很大，沒有區分定理與命題。
民國 29 年至 30 年抗戰期間，在上海淪陷區內秘密搜購之江南收藏家累世珍籍，隨 著國民政府來到台灣，其中的「清聖祖批校幾何原本」即是當時搜購的珍本之一。此珍 本收藏於台灣國家圖書館善本室中，即為《數理精蘊》中的《幾何原本》最早之漢文底 本，由於「幾何原本」一詞，儼然已成歐氏「幾何原本」的代名詞，故國家圖書館在編 列書目資料時，並未真正考究其內容，似乎理所當然的就登錄為「幾何原本七卷，泰西 歐幾里得撰，利瑪竇譯，舊抄本」，其實應更正為「幾何原本七卷，法國巴蒂撰，張誠 等改編，清聖祖校批，舊鈔本」。此古籍經人劃圈、增補、黏貼處甚多，並且有康熙親 筆校對字跡，更增添了此古籍的珍貴價值。而且從校批的內容可得知，此鈔本是在康熙 一邊校對，宮中官員一邊抄寫中完成。更難能可貴之處，發現康熙不只校對一次，他會 反覆修正，使吾人對康熙學術負責認真的態度有更深入的認識。
本論文地毯式的比對舊鈔本、數理精蘊本與巴蒂本三者之間的相關性，澄清了若干 錯誤說。不論是康熙帝或是《數理精蘊》的編者，都是長期在中國文化薰陶下的知識份 子，對於嚴格的邏輯體系並未有深刻的體會與接受。在研讀此文本時，即可感受出嚴謹 的定理證明、邏輯推理，在《精蘊本》中是不被重視的部分。《數理精蘊》中的《幾何 原本》內容雖然較貼近國中幾何教材，對於初學者而言，容易上手，但卻缺乏邏輯上嚴 謹的證明，過於注重發展實用的方法。這是數學知識在歷史進展中的一個階段，對於數 學教育工作者，了解不同時代背景下的數學知識，應用在教學中，將能提供學生更多的 文化涵養與多元思考。
編按：本論文已於 2008 年 6 月通過台灣師範大學數學系碩士論文口試。
HPM 通訊第十四卷第六期第九版
撰寫碩士論文之心得
張美玲 台北市立景興國中
從我進入教學碩士班唸書的第一年，同事們都認定我的論文一定是與數學史有關。
為何他們會如此說呢？這要從我民國 90 年參加「英特爾 e 教師計畫」開始說起。
這個計畫是「在幫助教師發現如何運用資訊科技的技術，以成為一種吸引學生、刺 激學生，並且能增進學生學習效果的教學工具。」在研習過程中，我不斷思考什麼樣的 教學內容可以提高學生的興趣。回想起曾經問過我的學生，「你最喜歡上什麼課？」學 生說：「歷史課。因為上歷史課，好像聽故事一樣，不知不覺一堂課就結束了。」學生 的這段話，讓我「頭上亮了燈泡」，喜悅的心情猶如正泡在浴缸的阿基米德突然發現浮 力原理。「如果數學課也能像歷史課一樣有趣，那該有多好？」，這個念頭，讓我一頭栽 進了數學史的研究。
我大量的閱讀與數學歷史有關的通俗書籍，做了一個數學史網站，上課也常將課程 相關的故事帶進課堂中。甚至聯課活動時，還開了一個「數學史」的社團，帶領有興趣 的學生一起研究數學史。那段時間，頗以自己的成果自豪。直到洪老師帶我走進真正的 數學史，我才明瞭，我所閱讀的書籍都是一些作者未經嚴謹考證所寫的傳說故事，甚至 是以訛傳訛、道聽塗說的歷史軼聞。故事若要寫的生動、引人注目，難免要加油添醋一 番。真正的數學史，還是要回歸到歷史層面，佐以史料的考證；真正的數學史，不能僅 有「歷史」，仍須有「數學」。看見數學演進的風貌，讓我們更加認識數學的本質。
當初決定以「《數理精蘊》中的《幾何原本》」，作為我的論文主題，初衷僅是因為 此文本與現行國中幾何教材較為貼近，我希望自己所研究的主題，能對我的教學工作有 所啟示。但是，當我在國家圖書館善本室發現了一本體例與《數理精蘊》中的《幾何原 本》十分接近的手抄本後，在追蹤、探究此手抄本的過程中，我深深體會到「發現」的 樂趣。「發現」此手抄本的批校字體竟是康熙皇帝所寫的；「發現」許多研究論文有一些 錯誤的論述內容；「發現」連國家圖書館的書目編輯資料也有誤；「發現」多數人對於「幾 何原本」此一名詞根深蒂固的誤解。…….
完成此論文，花了約一年多的時間，剛開始，先把《數理精蘊》中的《幾何原本》
作第一次的詳細閱讀，然後依序與歐幾里得的《原本》、巴蒂原著、英文版譯本作比對；
之後，跑了很多趟國家圖書館，借出康熙批校之《幾何原本》七卷舊鈔本及精鈔本原件 詳閱，當我帶著口罩、手套，小心翼翼的翻閱這些泛黃的古籍，想像三百多年前，康熙 皇帝、法國傳教士及一些宮廷官員，也和我翻閱著同樣的這套書，此刻的心情，好比考 古學家發現新遺址一樣的興奮。
在資料的搜尋過程，國家圖書館及台大圖書館，是我的主要資料庫來源，多請教畢
HPM 通訊第十四卷第六期第一○版
業的學長、學姊，也常有不少的收穫。剛開始，不知從何下筆，只是很「努力」、很「用 心」的逐卷逐題作詳細比對整理，並且重新繪圖，把所有的比對資料全部打字成稿後，
驚人的頁數，讓我知道必須做資料的「瘦身」「減肥」，雖然有很多內容都是辛苦打字與 繪圖而成，但必須有所取捨，「捨不得」只會模糊了論文的焦點。章節的主題安排前後 更正好幾次，每次和洪老師談完話後，都會有不同的想法，這些變動的想法，其實是完 成論文的必經過程，因為老師每次的引導，都使自己的論文主題趨向明確，非常感謝洪 老師的指導。
這部論文完成之後，收穫最多的是自己。以前閱讀的習慣，總是把作者的想法原封 不動的移入自己的腦中，缺少考證的過程及自我的想法，現在閱讀一本書時，較容易批 判作者的思想及內容的真偽。完成論文的過程其實是很辛苦，壓力也很大，但看到自己 的成品展現出來時，也是很有有成就感的，尤其得到口試老師們的肯定，所有的辛苦都 是值得的。
HPM 通訊第十四卷第六期第一一版
笛卡兒畫像：創作理念
吳宛柔
國立交通大學應用數學所碩士班
「我思故我在」是一句大家耳熟能詳的話，出自後人尊稱為近代哲學之父的笛卡兒 (Rene Descartes)。 除了哲學家的身分外，笛卡兒還是位數學家、物理學家及自然科學 家。笛卡兒於 1637 年以法文出版《方法論》，且附有三篇論文，分別是《折光學》、《氣 象學》以及《幾何學》。其中，《幾何學》共分三卷，分析了幾何學與代數學的優劣，奠 定了笛卡兒在數學史上的地位。然而，與費馬（Pierre Fermat）不同的是，笛卡兒是把 幾何圖形利用坐標化成代數，由圖形的軌跡找出圖形的方程式；費馬則是用方程式找回 圖形的性質與意義，兩位對 「解析幾何」皆有著重要的貢獻。
要如何把全才的笛卡兒畫出來，困擾我很久……一方面，因為之前為了準備研究所 考試，很久沒有提筆作畫，另一方面，是畫過的幾張構圖都不太滿意，最後決定照著我 對笛卡兒的了解，嘗試將他畫出來。因此，我試著讓笛卡兒的眼神散發出穩重感，且將 臉部線條柔和化，並使用紫色衣服象徵笛卡兒尊貴的身分，以及紅潤一點的膚色，畫出 健康的笛卡兒。另外，在背景的地方，我選擇由笛卡兒提出的葉形線（極坐標為
）、直角坐標系（又稱為笛卡兒坐標系）、象徵性的 “I think, therefor I am.” 以及鮮為人知笛卡兒－歐拉公式（F+V-E=2，其中 F、V 與 E 分別為正多面體 的面、頂點與邊的總數）。笛卡兒礙於其他因素，並沒有將此發現公開，取而代之的是 鎖在保險櫃內……或許在另一個時空裡，笛卡兒會很樂於分享他的發現，所以，我希望 能透過這些元素，畫出不一樣的笛卡兒！
HPM 通訊第十四卷第六期第一二版
