兵在精還是在多 ?

兵在精還是在多 _?

吳 建生

求學問本來就是先多才能求精, 而精後亦可求多不足為奇, 所謂熟能生巧就是相同的道理。

做數學也不例外, 但有時或許有突破性的看法, 而不需歷經求多的階段, 不過它不是隨處可見 的, 是可遇不可求的, 以下是敝人在教學時兩個微不足道的心得獻曝一遭。

I. 兵在多不在精 ←→ 一題十四種解法

問題: 解 tan x + sec x =√

3, 0 ≤ x < 2π。

解答方法:

(一) sec x + tan x sec²x − tan²x =

√3 1 ⇒







sec x + tan x =√ 3, sec x − tan x = 1/√

3.

得 sec x = ^√2₃, 即 cos x = ^√₂³, 故 x = ^π₆ (¹¹₆π 不合)。

(二) sec x =√

3 − tan x 兩邊平方, 再令 y = tan x 可得 y = tan x = ^√1₃, 故 x = ^π₆ (⁷₆π 不合)。

(三) 兩邊平方 tan²x + 2 tan x sec x + sec²x = 3, 代 1 = sec²x − tan²x 得 (sec x − 2 tan x)(sec x + tan x) = 0, 知 sec x = 2 tan x (sec x = − tan x 不合), 所以 sin x = ¹₂, 故 x = ^π₆ (⁵₆π 不合)。

(四) 兩邊除以 tan x, 再平方得 csc²x − csc x − 2 = 0 ⇒ csc x = 2 (csc x = −1, 不合), 故 sin x = ¹₂ 以下同 (三)。

(五) 易知 x ∈ (0,^π₂) ∪ (^3π₂ , 2π)。

¹ 若 x ∈ (0,^π₂), 利用右圖 得







b + c =√ 3a a²+ b² = c²

⇒ a : b : c =√

3 : 1 : 2, 故 x = ^π₆。 ² 若 x ∈ (^3π₂ , 2π), 不合。

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數學傳播

27

卷

3

期 民

92

年

9

月

(六) 令 sec x = u, tan x = υ, 則



 

 

u + υ =√ 3, u²− υ² = 1.

得 υ = tan x = ^√1₃, 以下同 (二)。

(七) 令 sin x = u, cos x = u, 則



 

 

u + 1 =√ 3υ, u²+ υ² = 1.

得 υ = ^√₂³ (υ = 0 不合), 以下同 (一)。

(八) 化成 sin x + 1 =√

3 cos x, 兩邊平方可得 sin x = ¹₂ (sin x = −1 不合), 以下同 (三)。

(註: 或求出 cos x 亦可)。

(九) 化成 sin x + 1 =√

3 cos x, 疊合成 cos(x + ^π₆) = ¹₂, 得 x = ^π₆ (x = ³₂π 不合)。

(十) 化成 ^{sin x+1}_{cos x} = √

3, 而 ^{1+sin x}_{cos x} = ^1−cos(

π 2+x)

sin(^π₂+x) = tan

π 2+x

2 = tan(^π₄ + ^x₂) = √ 3, 故

π

4 + ^x₂ = ^π₃, 即 x = ^π₆。

(十一) ^{sin x+1}_{cos x} = _{1−sin x}^cos = 1+cos x+sin x 1+cos x−sin x =√

3 (和比) ⇒ (1 +√

3) sin x = (√

3 − 1)(cos x + 1) ⇒ (1+√

3) sin^x₂ = (√

3−1) cos^x₂(cos^x₂ = 0 不合) ⇒ tan^x₂ = 2−√

3, 故 x =^π₆。 (十二) ^{sin x+1}_{cos x} = ^(cos

x 2+sin^x₂)² cos^{2 x}₂−sin^{2 x}₂ = ^cos

x 2+sin^x₂ cos^x₂−sin

x 2

= ^1+tan

x 2

1−tan^x₂ = tan(^x₂ +^π₄) =√

3, 以下同 (十)。

(十三) ^{sin x+1}_{cos x} = _{1−sin x}^{cos x} = ^√3+√3 sin x+cos x

√3 cos x+1−sin x =√

3 (和比) ⇒ 3 cos x −√

3 sin x =√

3 sin x + cos x 即 tan x = ^√1₃, 以下同 (二)。

(十四) 令 y = cos x (或令 y = sin x) 代入 ^{sin x+1}_{cos x} =√

3, 化成 ±√

1 − y² =√

3y − 1, 解得 y = cos x = ^√₂³ (y = 0 不合), 以下同 (一)。

II. 兵在精不在多 ←→ 活用均勻空間

問題: 甲、 乙、 丙等十四人任意分成三組, 各組有 5、5、4 人, 求甲乙在同一組之機率? (令其為 A 事件)

解答:

(一) 一般級: 利用每一樣本機會均等, 套組合公式算出樣本數

即 P (A) =(甲乙同在 4 人一組樣本數) + (甲乙同在 5 人一組樣本數) 樣本空間數

=c¹²_{2 5!5!2!}^10! + c¹²_{3 4!5!}^9!

14!

4!5!5!2!

=66 · 126 + 220 · · · 126

9 · 7 · 11 · 13 · 14 = 286 7 · 143 = 2

7.

(二) 比較級: 也是利用每一樣本機會均等; 但藉樹型圖法計算機率, 可較簡易。

兵在精還是在多

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甲乙同組 ³

13· · · A¹ (甲在 4 人組) ₁₄⁴

甲乙不同組 ¹⁰ (先安排甲, 則乙隨之確定) 13

甲乙同組 ⁴

13· · · A2

(甲在 5 人組) ¹⁰₁₄

甲乙不同組 ⁹

13

.......................................................................................... . ...........................................................................................

. ..................................................... . ..................................................

. ................................................ . ..................................................

故 P (A) = P (A1) + P (A2) = ₁₄⁴ ·₁₃³ +¹⁰₁₄ · ₁₃⁴ = ²₇。

(三) 最高級: 活用樣本空間中每一樣本機會均等, 發現可更簡化計算。 方式是多加一人, 成為 15 人平分成三組, 而不影響甲乙同組之機率。

為了說明, 先舉一例: 考慮 n 人環狀排列法有幾種。 我們可先安排任一人, 因 n 個位子等值, 此 人坐哪裡都一樣, 必然發生。 而後對其他人來說相當於在剩下 (n − 1) 個位置, 選一位置來坐, 此時, 已因有一人坐下去打破環狀排列而成直線排列。 故方法數為 (n − 1)!。

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同理當 15 人平分成三組, 即每組各 5 人時, 可先排丙, 因 15 個位子等值, 必然發生。 此時 對甲 (或其他人) 來說他面對的是剩下 14 個位子選一位子, 即上題之 15 人分成三組, 各組有 5、5、4 人, 故沒有差別。

考慮 15 人平分成三組, 由機會均等性質不妨先安排甲, 在安排乙。 因甲可以任意選擇, 所 以機率為 ¹⁵

15 = 1。 無妨取甲在打 那一組來討論, 如圖所示。 因乙這時可以有 14 種選擇機 會, 但若要與甲在同一組, 則只有 4 個機會, 所以機率為 ₁₄⁴。

因此 P (A) = ¹⁵₁₅ · ₁₄⁴ = ²₇。

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推廣: 甲乙等 (3n − 1) 人, 任意分成 3 組, 各組有 n、n、(n − 1) 人, 則甲乙 在同一組之機率為 ⁿ⁻¹

n+n+(n−1) 即 ⁿ⁻¹

3n−1。

—本文作者任教於高雄女中—