2015台南市公私立國民中學暨 完全中學數學競賽決賽

2015台南市公私立國民中學暨 完全中學數學競賽決賽

試題解析

國立彰化師範大學數學系 Part I. 黃森山教授

Part II. 杜子明教授

2016. 01. 07

11 ,

n a b ,

n n

= + a b

已知 是大於 的正整數，試證： 必可寫成兩個合成數的和，

即 其中 為合成數。

12 = + 4 8, 實驗操作：

4 ( 4) n = + n − =

( 9) 9 n = n − + = 證明：

(1) 為偶數： n n = 2 k ( k ≥ 6 )

(2) 為奇數： n n = 2 k +1 ( k ≥ 6 )

4 + ( 2 k − 4) = 4 + 2( k − 2 )

( 2 k + 1 − 9) + = 9 2( k − 4 ) + 9 13 = 4 + 9,

14 = + 4 10, 15 = 6 + 9, 16 = + 4 12, 17 = + 8 9,

18 = + 4 14, 19 = 10 + 9, ...

1 1 1

, , ,

(3 1)(5 1)(7 1) 98 3 5 7 .

^{m n k m n k}

m n k m n

+ − + − + − > ⋅ ⋅ ⋅

已知 為正整數且 皆大於1. 試證：

1 1 1

(3 1)(5 1)(7 1) 3 5 7

m n k

m n k

+

−

−

−

證明： ⋅ ⋅

1 1 1

= (3 ) (5 ) (7 )

3

5

7

− ⋅ − ⋅ −

2 2 1

1 1 1

(3 ) (5 ) (7 )

3 5 7

≥ − ⋅ − ⋅ −

26 124 48

= 9 ⋅ 25 ⋅ 7 > 98

2

( , ∵ m ≥ n ≥ 2 , k ≥ 1 )

1 1 1

3 1 5 1 7 1

( ) ( ) ( )

3 5 7

m n k

m n k

+

−

−

−

= ⋅ ⋅

2 2 2 2

?

, , , ( ) .

( )( )

( )( ) .

a b c d a d n a b c d

ac bd ac bd

n a d a d

≠ = + = +

+ −

= + −

已知 都是正數且

試證：

2 2 2 2

(ac + bd ac)( − bd) =a c − b d

2

2 2 2 2 2

(a c )

a c b b

= − + − ^{= a c2 2 − a b2 2 −b4 + b c2 2}

2 2 2 2 2 2

( ) ( )

a c b b c b

= − + − = (a² + b²)(c² − b²)

2 2 2

(a2 b )(a d )

= + −

2 2

( ).

n a d

= −

證明：先考慮分子

分

應用： 解正整數

2 2 2 2

38025 =168 + 99 =156 +117 已知

(168 156 99 117)(168 156 99 117) 38025

(168 117)(168 117)

× + × × − ×

= + −

14625 3779

28 1

51 5

= ×

×

741 14625 285

= ×

741 2925 57

= × = 13 2925×

2 2 2 2

?

, , , ( ) .

( )( )

( )( ) .

a b c d a d n a b c d

ac bd ac bd

n a d a d

≠ = + = +

+ −

= + −

已知 都是正數且

試證：

3 2

2x 4x kx 4 0 k

− + + =

若已知方程式 的三個根中有兩個互為相反數，

試求 的值。

.

, ,

−

3 2

2 2

2 4 4 2( )( )( ) 2( )( )

? x x kx x a x b x b x a x b

− + + = − − +

= − −

則

2 2

( ) ( )

4 2

2

( )

a

k b

ab

⎧ ⎪

= −

=

⎨ ⎪

⎩

二次係數 一次係數 常

較

數項

比 係數得

2

2

2 1 k

a b

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ = −

⎩ 因此，解得

解：

已知一直角三角形的三邊長皆為整數，若斜邊與其中一股的長度 僅相差1且斜邊長小於2015,則這樣的直角三角形有多少個？

解：

, , +1

2 2 2

( + 1) 2 1.

a

=

−

=

+

則 所以，a 必為奇數 且

2 2 2

( +1) 2 1

a

=

−

=

+

(

1)

= 2

1 2 2014 1

⇒ + − < + < ⋅ +

1

64

⇒ < <

= 3, 5, 7, , 63

a

…

3

因此，當 有

1

2 2

1 1

2 2

, a a .

a

− +

此時，三邊長為 ,

9 40

9 . 9 100 1, 9^A 100 A =

令 已知 被 除的餘數為 則 被 除的餘數為何？

40

41

9 100 1

9 100 ?

⇒

想法：

被 除的餘數為

被 除的餘數為

980被 100 除的餘數為 ?

40

41 40 1

1

4 1

1 1

9

9 9 9

( 9

100 1

10

= 9 9 100 0 1) 100

9 9

m m

m

=

= ×

=

+

×

× +

+

= 因此， 被 除的餘數

80 40 40

80

9 9 9

( ) ( )

=

100 1 100 1 10 ( )

9 1 0 1

0 1

0

m m

= ×

= ×

×

+ +

+

= 因此， 被 除的餘數

9 40

. ,

9 9 100 1 9^A 100

A =

令 已知 被 除的餘數為 則 被 除的餘數為何？

解法：

A 40

先求 被 除的餘數為何？

9^A 100 = 99 =

因此， 被 除的餘數 被100除的餘數 89

81 81 81 81 9 (80 1)(80 1)(80 1)(80 1

, ) 9

40 A

A

= × × × × = + + + + × 因為

所以 被 除的餘數為 9

填充題第二題

設a, b, c為等差數列，公差為d且a, b, d 6= 0.已知^c_b = ^b_a
2

.求_d^b. 解解解：

觀察：條件^c_b = ^b_a
2

只與比a : b : c相關 不失一般性，可設公比d = 1.

則數列為a = b − 1, b, c = b + 1, 條件為^b+1_b = _(b−1)^b2 2. 化簡後 得b²+ b − 1 = 0. 所求為b = ^−1±

√5

2 .

註註註：

公比d = 1時，數列的第三項為^1±₂^√5. 其中一解為黃金比例ϕ,另一解為−_ϕ¹. 若數列a1, a2, a3, . . . , an, . . .滿足^a_a²

1 = ^a_a³

2 = ^a_a⁴

3 = · · · = r , 則稱它為等 比級數，公比為r.

題目中的條件表示a, b, c為一個有四項等比級數中的第一、三及四 項。

延伸問題：找出所有等差級，它們是某一等比級數中的一部分

杜子明 (國立彰化師範大學數學系) 2015台南市國中數學競賽決賽 December 31, 2015 2 / 8

填充題第五題

已知一個等腰梯形的對角線長為15, 當它的面積達到最大時，可能周長 的最小值為何？

如右圖ABCD為等腰梯 形，E為BC上一點使 得AE k BD.

則ABCD的面積等於等 腰∆ACE 的面積，它的面積達 到最大時∠CAE = 90^◦

（因E對AC的高不大於AE）.

當面積達到最大時，梯 形ABCD的上、下底和 為CE = 15√

2,兩腰長最小 為AF = ¹⁵₂ √

2, 所以最小周長 為30√

2.

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填充題第五題

推廣：已知一凸四邊形的兩對角線長，當它的面積達到最大時，可能周 長的最小值為何？

提示：

先證明面積達到最大時，對角線互相垂直（見左上圖）

再證明周長最小時，鄰邊等長（見右上圖）

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填充題第六題

下圖是由五個正方格所組成的網絡，路徑中有些只能沿箭頭所指示方向 行走，其它則可雙向行走。從最左下角的點A走到最右上角的點B，路 徑不能重覆，那麼所有可能路徑的總數是多少？

先看一個較簡單的網絡：

觀察：要到達一方格的右上角，必經它左上或右下角；而到達一方格的 右下角，必經它的左上或左下角。所以到達每一點的路徑數，可如下圖 所示遂層遞迴推算：

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填充題第六題

如此類推得

但本題因縱向的路徑是雙向，一格的右下角也可從右上角過來，所以不 能用上述的方法。

這難點要如何解決？───雙雙雙向向向路路路徑徑徑延延延至至至下下下一一一格格格才才才處處處理理理 令an, bn為從A走到第n格的右上、

右下的點的路徑數，但不包括含由 右下點至右上點的路徑。

如右圖，可得

an+1= an+ bn, bn+1 = 2an+ 2bn.

由a₁= 1, b₁ = 2及遞迴式得所求為162 + 81 = 243 （最後一步可以從最 右下角走到最右上角）

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計 算證明題第四題

如右圖，∆ABC中∠A為直角，斜 邊BC =√

6且∠B ≥ ∠C > 15^◦, 設D為AB上一點且滿足∠BCD = 15^◦. 試證：AD ≤ 1 且等號只當直

角∆ABC 為等腰三角形時才成立。

解

解解： 如右圖，∆A⁰BC為等腰三角 形，CD 與A⁰B交於D⁰. 則

A⁰C =

√ 3,

∠A⁰CD⁰ = ∠A⁰CB − ∠DCB = 30^◦, 所以A⁰D⁰ = 1.

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計 算證明題第四題

過A與CD平行的直線交A⁰B於Q, 過Q與AB平行的直線交CD於P. 則

∠QPC = ∠ADC < 90^◦,

∠QPD > 90^◦ > ∠A⁰D⁰C = 60^◦. 因此AD = PQ ≤ QD⁰ ≤ A⁰D⁰ = 1.

注意：因2A⁰C²= BC² = AC²+ AB²≥ 2AB², AC與A⁰B交於點E, 則 因∆A⁰EC ∼ ∆AEB, ∆A⁰EC 的面積較∆AEB大，所以∆A⁰BC 的面積 較∆ABC大，對BC,A⁰高於A. 而Q必在更低的位置，所以它在線 段A⁰D⁰內。

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