4-2 二維數據分析 重點一 散佈圖

4-2 二維數據分析

為了解成人的身高與鞋子尺寸的關聯性而做抽樣調查，得到 9 位男性身高與鞋子的號數如 下，試作身高與鞋號的散佈圖。（10 分）

身高（公分） 186 180 180 182 178 178 175 177 178 鞋 號 13 11 9 10 11 10 8 9 9 解

例題 2

下列有關兩變量x 與 y 的 20 對點資料的五個散佈圖中，哪些相關係數為正相關？（10 分）

(A) (B) (C)

(D) (E)

解 (A)為正相關 (B)為正相關 (C)為正相關 (D)為負相關 (E)為負相關 故選(A)(B)(C) 例題 3

某班上有七名學生（以甲、乙、丙、丁、戊、己、庚編號），其期末考成績與該學期 上課時缺課數的資料如下：

編 號 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚

缺課數x（天） 0 1 2 3 4 5 6

期末考成績y（分） 87 83 79 75 71 67 63 (1) 試繪出散佈圖。（5 分）

(2) 試繪出標準化數據的散佈圖。（5 分）

解 (1)

(2) μx＝1

7（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3 μy＝1

7（87＋83＋79＋75＋71＋67＋63）＝75 σx＝

7

2

1

1

7 i ^{i x}



＝

（ － ）＝ ¹ 3 ² 2 ² 1 ² 0² 1² 2² 3² 7〔（－ ）＋（－ ）＋（－）＋ ＋ ＋ ＋ 〕＝2

σy＝

7

2

1

1

7 i ^{i y}



＝

（ － ）＝ ¹ 12² 8² 4² 0² 4 ² 8 ² 12 ² 7〔 ＋ ＋ ＋ ＋（－ ）＋（－ ）＋（－ ）〕＝8 標準化後的數據如下：

ui＝ ^{i x}

x

x μ σ

－ －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5

vi＝ ^{i y}

y

y μ σ

－

1.5 1 0.5 0 －0.5 －1 －1.5 故得標準化數據的散佈圖如下

重點二 相關係數 例題 4

四人參加性向及成就測驗，其成績如右表所示。

(1) 若性向、成就測驗成績的算術平均數分別為 μx，μy， 則數對（μx , μy）＝ 。（4 分）

(2) 試作出其散佈圖。（4 分）

(3) 性向、成就兩者成績的相關係數為 。（四捨五入 取到小數點後第二位）（4 分）

解 (1) μx＝1 8 4 7 4

＋ ＋ ＋

＝5

代 號 A B C D 性向x 1 8 4 7 成就y 2 4 2 8

μy＝2 4 2 8 4

＋ ＋ ＋

＝4

故數對（μx , μy）＝（5 , 4）

(2)

(3)

4

2

1

i x

i



＝

（ － ） ＝（1－5）²＋（8－5）²＋（4－5）²＋（7－5）²＝16＋9＋1＋4＝30

4

2

1

i y

i



＝

（ － ） ＝（2－4）²＋（4－4）²＋（2－4）²＋（8－4）²＝4＋0＋4＋16＝24

4

1

i x i y

i

x μ y μ



（ － ）（ － ）＝（－4）（－2）＋3×0＋（－1）×（－2）＋2×4＝18

相關係數r＝

4

1

4 4

2 2

1 1

i x i y

i

i x i y

i i

x μ y μ

x μ y μ



 

＝

＝ ＝

（ － ）（ － ）

（ － ）‧ （ － ）

＝ ¹⁸

30 24‧  0.67

例題 5

設五位同學的身高與體重如下表所示：

身高x（公分） 163 165 167 171 174 體重y（公斤） 48 54 62 66 70 (1) 試繪出標準化數據的散佈圖。（4 分）

(2) 承(1)，利用標準化數據求其相關係數。（4 分）

解 (1) μx＝1

5（163＋165＋167＋171＋174）＝168 μy＝1

5（48＋54＋62＋66＋70）＝60 σx＝

5

2

1

1

5



＝

（ － ）＝ ¹ 5 ² 3 ² 1 ² 3² 6² 5〔（－ ）＋（－ ）＋（－）＋ ＋ 〕＝4

σy＝

5

2

1

1

5



＝

（ － ）＝ ¹ 12 ² 6 ² 2² 6² 10² 5〔（－ ）＋（－ ）＋ ＋ ＋ 〕＝8 標準化後的數據如下：

ui＝ ^{i x}

x

x μ σ

－ －1.25 －0.75 －0.25 0.75 1.5

vi＝ ^{i y}

y

y μ σ

－ －1.5 －0.75 0.25 0.75 1.25

故得散佈圖如下

(2) 直接計算得 r＝1

5（

5

1 i i i



＝

）

＝1

5×〔（－1.25）×（－1.5）＋（－0.75）×（－0.75）＋（－0.25）×0.25＋0.75×0.75

＋1.5×1.25〕

＝1

5×（1.875＋0.5625－0.0625＋0.5625＋1.875）

＝1

5×4.8125

＝0.9625

即相關係數為 0.9625 例題 6

下列哪一組（x , y）資料的相關係數為 1？（10 分）

(A) (B) (C)

(D) (E)

解 (A)：水平線  相關係數為 0

(B)(C)：直線的斜率為負  相關係數為－1 (D)(E)：直線的斜率為正  相關係數為 1 故選(D)(E)

例題 7

右圖表兩組數據x，y 的散佈圖，試問其相關係數 r 最接近下列何值？（10 分）

(A) 1 (B) 0.5 (C) 0 (D)－0.5 (E)－1。

解 ∵所給八點呈上下對稱、左右對稱

∴相關係數r＝0 故選(C)

重點三 最小平方法與迴歸直線 例題 8

散佈圖上有資料（1 , 1），（2 , 4），（3 , 5），試用最小平方法求迴歸直線方程式。（10 分）

解 設所求迴歸直線方程式為 L：y＝a＋bx

要求a，b 使右圖中的 d12＋d22＋d32有最小值，計算可得 d12＋d22＋d32

＝〔（a＋b）－1〕²＋〔（a＋2b）－4〕²＋〔（a＋3b）－5〕²

＝（a＋b）²－2（a＋b）＋1＋（a＋2b）²－8（a＋2b）＋16

＋（a＋3b）²－10（a＋3b）＋25

＝a²＋2ab＋b²－2a－2b＋1＋a²＋4ab＋4b²－8a－16b

＋16＋a²＋6ab＋9b²－10a－30b＋25

＝3a²＋12ab＋14b²－20a－48b＋42

＝3（a＋2b）²＋2b²－20a－48b＋42

＝3

10 2

2 3 a b

 

 

 

（ ＋ ）－ ＋2b²－8b＋26 3

＝3

10 2

2 3 a b

 

 

 ＋ －  ＋2（b－2）²＋2 3

故當

2 10 0 3 2 0 a b b





＋ － ＝

－ ＝

，即

2 3 2 a b





＝－

＝

時有最小值2 3 故所求的迴歸直線方程式為L：y＝－2

3＋2x 例題 9

設有一群資料如右表，則：

(1) 試作其散佈圖。（4 分）

(2) x 與 y 的相關係數為 。（4 分）

（四捨五入取到小數點後第二位）

(3) y 對 x 的迴歸直線方程式為 。（4 分）

解 (1)

(2) xi yi xi－μx yi－μy （xi－μx）（yi－μy） （xi－μx）² （yi－μy）²

1 1 －6 －4 24 36 16

3 2 －4 －3 12 16 9

x 1 3 4 6 8 9 11 14 y 1 2 4 4 5 7 8 9

4 4 －3 －1 3 9 1

6 4 －1 －1 1 1 1

8 5 1 0 0 1 0

9 7 2 2 4 4 4

11 8 4 3 12 16 9

14 9 7 4 28 49 16

合計 56 40 84 132 56

μx＝ 8

xi



8 ＝7，μy＝ 8

yi



8 ＝5

∴x 與 y 的相關係數 r＝ 84

132 56  0.98 (3) 令 y 對 x 的迴歸直線方程式為 y＝a＋bx

由(2)知 b＝ 84

132＝ 7 11

a＝μy－b×μx＝5－ 7

11×7＝ 6 11

∴y 對 x 的迴歸直線方程式為 y＝ 6 11＋ 7

11x 例題 10

汽車的耗油量與行駛速度有關聯性，今測試一部 1500 c.c.的汽車，得到下列的數據，

速度x（公里 / 小時） 60 70 80 90 100 耗油量y（公里 / 公升） 14 16 19 20 21 試求：

(1) 耗油量對速度的迴歸直線方程式為 。（4 分）

(2) 預測速度為 85（公里 / 小時）時的耗油量為 公里 / 公升。（4 分）

解 (1) μx＝1

5（60＋70＋80＋90＋100）＝80 μy＝1

5（14＋16＋19＋20＋21）＝18

xi yi xi－μx yi－μy （xi－μx）（yi－μy） （xi－μx）²

60 14 －20 －4 80 400

70 16 －10 －2 20 100

80 19 0 1 0 0

90 20 10 2 20 100

100 21 20 3 60 400

合計 400 90 180 1000

設迴歸直線方程式為y＝a＋bx

則b＝

5

1 5

2

1

i x i y

i

i x

i

x μ y μ x μ





＝

＝

（ － ）（ － ）

（ － ）

＝ 180 1000＝ 9

50

a＝μy－bμx＝18－ 9

50×80＝18 5 故迴歸直線方程式為y＝18

5 ＋ 9 50x (2) 當 x＝85 時，y＝18

5 ＋ 9

50×85＝18.9（公里 / 公升）