1.3
1.3 逆 矩 阵 逆 矩 阵
一一
. .
逆矩阵的概念与性质逆矩阵的概念与性质 二二. .
用行初等变换求逆矩阵用行初等变换求逆矩阵1.3
逆 矩 阵一 . 逆矩阵的概念与性质
数 a ≠0 ： a a-1 = a-1 a =1
?: ??: ? 矩阵矩阵 AA: : AA ( ? ) = ( ? ) = II
定义 设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B ，使得 AB = BA = I,
则称 A 为可逆矩阵， B 为 A 的逆矩阵，记为 A-1 = B.
若 A 可逆，则 A-1 存在，且 A AA A-1-1 = A = A-1-1 A = I. A = I
单位阵
I
:
对角阵 :
）；
（, 1, ..., 0
1
n
n
d d
d d
D
dn
d
D
1 1
1 1
) 0 (
1 ,
1
I k
kI） k
（
I -1 = I
定理 1. 设 A 可逆， 则它的逆是唯一的 . 证 设有 B 和 C 满足
AB = BA = I, AC = CA = I.
. )
( )
(AC BA C IC C B
BI
B
则
注意 若 A, B 均为方阵，且 AB = I ( 或 BA = I),
则 A 可逆且 B=A-1. ( 实际上 AB=I 暗含 AB=BA)
应用：
性质：设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，数 λ≠0 ，则
证 3 ：(AB)(B1A1) A(BB1)A1 AA1 I
1 1
) 1
(AB B A AB可逆，且
所以
4 ：AT (A T1) (A1A)T I
• 1. A-1 可逆，且 (A-1)-1 = A;
• 2. λA 可逆，且 (λA)-1 =
• 3. AB 可逆，且 (AB)-1 = B-1 A-1;
• 4. AT 可逆，且 (AT)-1 = (A-1)T.
1; 1
A
例 1. 设方阵 A 满足 A2 - A - 2I =O, 证明：
(1) A 和 I - A 都可逆，并求其逆矩阵；
(2) A+I 和 A-2I 不同时可逆 . 证 (1): A(A I) 2I
I I
A
A(21 ( )) )
2(
1 1 A I
A
A可逆，且 所以
I A
I
A
)( ) ( 21
A A
I A
I 可逆，且( )1 12 所以
(2): (A I)(A 2I) A2 A 2I O 所以， A+I 和 A-2I 不同时可逆 . 为什么？
例 2 设 B2 ,B A I B
3
.2
1 1 I A
A
A可逆且
： 证明
22 1 2
3 3 2
1 I A A A
A
： 证
22 1 2
3 I B I B
2 2 2
2 1 2
3 2
3 I B I B B
2
2 1 2
1 2
3 2
3 I B I B B
I
3
.1 1 I A
A
A
可逆且
例 3
2
.1
, 0 :
1
A I
A I
A
A k
： 求
； 可逆
： 证明
满足 矩阵
I
A
?
I .
： 分析
I A
I A A2 Ak1
：
解
I A A2 Ak1
A A2 Ak1 Ak
I A
I k
1 1 .
I A 可逆且 I A I A Ak
例 4. 设 A 可逆，则
b A X
b
AX 有唯一解 1 0
0
X
AX 只有零解
问题：初等矩阵可逆吗？其逆阵呢？问题
ij；
ij E
E1 Ei1(c) Ei (1c), c 0; Eij1(c) Eij(c).
为什么？为什么
定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各命题等价
• 1. A 是可逆的； ：
• 2. AX = 0 只有零解；
• 3. A 与 I 行等价；
• 4. A 可表为有限个初等矩阵的乘积 . ) (行阶梯形矩阵
行初等变换 B
A BX = 0 只有零解 .
. 0有非零解 则
， 的最后一行的元全为零
否则B BX
的对角元均非零。
B
矛盾 I
B
B 的行简化阶梯形
则， 行初等变换
证 1→2:
2→3:
显然（为什么？）
由条件， A 可经行初等变换得 I.
I A
E E
E
E1,..., k, 使使 k 1 使使使使使使
1 1
1 1
1 1
E Ek I E Ek
A
4→1: 显然（为什么？）
推论 设 A 为 n 阶矩阵，则 AX = b 有唯一解的充要条件 是 A 可逆 .
证 充分性： AX 有唯一解b X A1b
必要性： 使 AX = b 有唯一解 X, 但 A 不可逆 . 3→4:
A 不可逆 AX = 0 有非零解 Z.
二 . 用行初等变换求逆矩 阵
设 A 可逆，所以存在初等矩阵 E1, …, Ek, 使得 I
A E E
Ek k1 1
1 1
1 E E E
A k k EkEk1E1I
) ,
( )
,
(A I 行初等变换 I A1 方法
（求逆矩阵的简便方法 . ）
例 5. 求 A 的逆矩
阵： .
3 3
1
2 1
2
3 2
1
A 解
1 0
0 3
3 1
0 1
0 2
1 2
0 0
1 3
2 1
) , (A I
1 0
1 0
1 0
0 1
2 4
3 0
0 0
1 3
2 1
3 1
5 4
0 0
1 0
1 0
1 0
0 0
1 3
2 1
43 14
45
1 0
0
1 0
1 0
1 0
0 0
1 3
2 1
，
43 14
45
14 43
43
1 0
0
1 0
1 0
1 0
0 0
1
3 1
5
4 0
4
1 3
3 4
1 1 所以，A
43 14
54
49 43
114
1 0
0
1 0
1 0
1 0
0 2
1
例 6. 求 A 的逆矩
阵： .
1 4
0
1 0
2
1 2
1
A 解
1 0
0 1
4 0
0 1
0 1
0 2
0 0
1 1
2 1
) , (A I
1 0
0 1
4 0
0 1
2 1
4 0
0 0
1 1
2 1
1 1
2 0
0 0
0 1
2 1
4 0
0 0
1 1
2 1
A 不可逆 为什么？
例 7 设矩阵
,
.,
I A
I A
I A
I A
A
2 2
2 4
2 1
1 1
1
0 1
1
0 0
1
2 1
1
：
计算
A 2I
1
A2 4I
A 2I
1 A 2I
A 2I
： 解
2 2
2 1
1 1
0 1
1
0 0
1 2I
A
. 3 1
1
0 3
1
0 0
3
2 A 2I
1 A 2I
?
1 0
0 1
1 1
0 1
0 0
1 1
0 0
1 0
0 1
2
I I
A
1 0
1 1
1 0
0 1
1 0
1 0
0 0
1 0
0 1
1 1
0 1
0 0
0 1
1 0
1 0
0 0
1 0
0 1
3 1
1
0 3
1
0 0
3 1
1 0
0 1
1
0 0
1 2
2I 1 A I A
. 0
3 4
0 0
3
例 8 解矩阵方程 ：
. 1 0
0
1 1
0
1 1
1 ,
1 2
1
0 1
1
3 2
2
B
A
1 AX B ,
2 XA B .
1 A1AX X A1B .： 解
1 0
0 1
2 1
0 1
0 0
1 1
0 0
1 3
2 2
I A
1 0
0 1
2 1
0 0
1 3
2 2
0 1
0 0
1 1
1 0
0
1 1
0
1 1
1 4
6 1
3 5
1
3 4
1
1B A
X
4 6
1 1
0 0
3 5
1 0
1 0
3 4
1 0
0 1
. 9
5 1
7 4
1
6 3
1
2 XA B , XAA1 BA1 ,
4 6
1
3 5
1
3 4
1 1
0 0
1 1
0
1 1
1 BA 1
X .
4 6
1
1 1
2
2 3
1
. ,
, ,
1
1 1
1 1
1
1
CB A
X CB
A AXBB
A
B A
C
AXB 且 与 可逆 则
解矩阵方程的其他情况 ：
., , 2
1 C B
A X
B C
AX
A C
B AX
则
， 可逆 且
? ,
3
B AX
A
： 怎样求解矩阵方程
不可逆 如果
.
3 ,
33 32
31
23 22
21
13 12
11
线性方程组求解
个 建立
由
设 AX B
x x
x
x x
x
x x
x
X
例 9求 A的逆矩阵 A1 .
. 0 ,
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
1 1
2 1
n
i
i
n
n
a a
a a
a A
1 0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
1 0
0 0
0
0 0
0 1
0 0
0
1 2
1
n
a
a a
a
： 解
0 0 1 0
0 0
0
0 0
1 0
0 0
0
0 0
0 1
0 0
0
1 0
0 0
0 0
0
1 2
1
n n
a a
a a
1 0 0
0 1
0 0
0
0 1 0
0 0
0 0
0
0 0
1 0 0
0 1
0
0 1 0
0 0
0 0
1
1 2
1
n
n
a a
a
a
A1
7 1 4
1 2
1 ,
1BA 6A BA A
A 且
o
o
. 求B
A BA
BA
A1 6
A 1 E
BA 6A
A1 I
B 6I
1
1.6
B A I
解
:
,
满足关系设三阶矩阵 B
A
例 10
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1 7
0 0
0 4
0
0 0
2 6
1
6 0
0
0 3
0
0 0
1 6
6 1 0
0
0 3
1 0
0 0
1
6
.1 0
0
0 2
0
0 0
6
1
16
A I
B
