Ex  10.220.4304050.4603 106 年度指定科目考試數學乙試題詳解

(1)

106 年度指定科目考試數學乙試題詳解

第壹部分﹕選擇題（單選題﹑多選題及選填題共占 74 分）

一﹑單選題（占 18 分）

說明﹕ 第 1 題至第 3 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案卡之

「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 6 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐該題以 零分計算﹒

(　　 )1. 設 ^{f x}  ^^x³^^ax²^^{bx c}^ 為實係數多項式函數﹒若 ^f ¹ ^ ^f  ² ^⁰^且 ^f  ³ ^⁴^﹐則a2b c 的值是下列哪一個選項﹖

(1)1　(2)2　(3)3　(4)4　(5)5﹒

【解答】(4)

【詳解】因為_x³項係數為1﹐且 ^f  ¹ ^ ^f  ² ^⁰﹐所以可設　　　　 ^{f x}  ^ ^x^¹ ^x^² ^{x k}^ ﹒

又因為 ^f  ³ ^⁴﹐所以　　　　^{2 1 3}^{  } ^k^⁴﹒ 解得k 1﹐即

　　　　 ^{f x}  ^ ^x^¹ ^x^² ^x^{ }¹ ^x³^⁴^x²^⁵^x^²﹒ 因此﹐a 4﹐b5﹐c 2﹐得a2b c 4﹒ 故選(4)﹒

(　　 )2. 下列哪一個選項的值最大﹖

(1)log 32 　(2)log 64 　(3)log 128 　(4)log 2416 　(5)log 4832 ﹒

【解答】(1)

【詳解】利用公式log log n

n

ab a b ﹐得

　　　　log 6 log₄  ₂ 6﹐ 　　　　log 12 log₈  ₂³12﹐ 　　　　log 24 log₁₆  ₂ ⁴ 24﹐ 　　　　log 48 log₃₂  ₂⁵ 48﹒

因為在3﹐ ₆﹐³₁₂﹐⁴₂₄﹐⁵ ₄₈中﹐3最大﹒

所以log 32 最大﹒

故選(1)﹒

(　　 )3. 有一個不公正的骰子﹐投擲一次出現1點的機率與出現3點的機率之和是0.2﹐出現₂點的機率與出現4點的機率之和是0.4﹐出現5點的機率與出現6點的機率之和是0.4﹒試選出正確的選項﹒

(1)出現1點的機率是0.1　(2)出現4點的機率大於出現3點的機率　(3)出現偶數點的機率是 0.5

(4)出現奇數點的機率小於0.5　(5)投擲點數的期望值至少是3﹒

【解答】(5)

【詳解】依題意﹐得^P ¹ ^^P ³ ^^0.2^﹐^P ² ^^P ⁴ ^^0.4^﹐^P ⁵ ^^P ⁶ ^^0.4^﹒

(1)^P ¹ ^{的值不確定﹒}

(2)若^P ⁴ ^^0.1^﹐^P ³ ^^0.2^﹐則^P ⁴ ^^P ³ ^﹒

(3)因為^P ⁶ ^{不確定﹐所以}^P ² ^^P ⁴ ^^P ⁶ ^^0.4^^P ⁶ ^不確定﹒

(4)若^P ⁵ ^^0.4^﹐則P ¹ P ³ P ⁵ 0.2 0.4 0.6 0.5   ﹒ (5)當^P ³ ^^P ⁴ ^^P ⁶ ^⁰^{時﹐點數的期望值}^{E x}  ^最小﹒

此時機率分布為下表﹕

1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0 0 0.4 0 x

P

得E x   1 0.2 2 0.4 3 0 4 0 5 0.4 6 0 3          

(2)

因此﹐點數的期望值至少是3﹒ 故選(5)﹒二﹑多選題（占 32 分）

說明﹕ 第 4 題至第 7 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記在答案 卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得 8 分﹔答錯 1 個 選項者﹐得 4.8 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1.6 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者﹐

該題以零分計算﹒

(　　 )4. 考慮實數^{a b c}^{, ,} ﹐其中a0﹒令為y ax ²bx c 的圖形﹒試選出正確的選項﹒

(1)若a0﹐則會通過第一象限　(2)若a0﹐則會通過第一象限 (3)若_b²_₄_ac_₀﹐則會通過第一象限　(4)若c0﹐則會通過第一象限 (5)若c0﹐則會通過第一象限﹒

【解答】(1)(4)

【詳解】的圖形為一拋物線﹐底下以圖形直觀的來判定選項是否正確﹒

(1)因為a0﹐所以開口向上﹐必通過第一象限﹒

(2)因為a0﹐所以開口向下﹐可能不通過第一象限﹐如圖(a)所示﹒

(3)因為b²4ac0﹐所以與x軸交相異二點﹐

可能不通過第一象限﹐如圖(b)所示﹒

(4)因為與^y軸的交點 ^0,c ^在^x^軸上方﹐

所以必通過第一象限﹒

(5)因為與^y軸的交點 ^0,c ^在^x^{軸下方﹐所以}可能不通過第一象限﹐如圖(a)所示﹒

y

O x

(0,c)

y

O x

圖(a)　　　　　　圖(b) 故選(1)(4)﹒

(　　 )5. 設a a1, 2,, a_n,是一公比為1

2的無窮等比數列且a₁ 1﹒試問以下哪些數列會收斂﹖

(1)a1, a2,, a_n,　(2)a₁², a₂²,, a_n²,　(3) a₁, a₂,, a_n, (4)

1 2

1 1 1 , , , ,

a a  an  　(5)log , log ,a1 a2 , log ,a_n ﹒

【解答】(1)(2)(3)

【詳解】因為首項a₁1﹐公比 1

r ﹐所以2 　　　　 an ﹕ 1 1 1

1, , , , 2 4 8  (1)數列 an ﹕ 1 1 1

1, , , , 2 4 8

     是公比1

2的無窮等比數列﹒因為_{ }₁ 公比_₁﹐所以收斂﹒

(2)數列 an² ﹕ 1 1 1 1, , , ,

4 16 64 是公比1

4的無窮等比數列﹒因為_{ }₁ 公比_₁﹐所以收斂﹒

(3)數列 a ﹕n 1 1 1 1, , , ,

2 4 8 是公比 1

2 的無窮等比數列﹒因為_{ }₁ 公比_₁﹐所以收斂﹒

(4)數列 1

an ﹕1, 2, 4, 8, 是公比2的無窮等比數列﹒因為公比1﹐所以發散﹒

(5)數列 loga_n ﹕ 1 1 1 log1, log , log , log ,

2 4 8  即 ^log^aⁿ ﹕0, log 2, 2log 2, 3log 2,    因為此數列趨向負無限大﹐所以發散﹒

(3)

(　　 )6. 坐標平面上﹐1為ylog₂x的圖形﹐₂為 ¹

2

log

y x的圖形﹒下列關於₁與₂的敘述﹐試選出正確的選項﹒

(1)1的圖形凹口向下　(2)2的圖形凹口向下　(3)1的圖形均在^x軸的上方 (4)2的圖形均在^y軸的右方　(5)1與₂恰交於一點﹒

【解答】(1)(4)(5)

【詳解】₁與₂的圖形如下﹕

x y

O 1

1

2

由上圖得知(1)(4)(5)選項正確﹒

故選(1)(4)(5)﹒

(　　 )7. 小明參加某次國文﹑英文﹑數學﹑自然﹑社會五個科目的測驗﹐每一科的分數均為0～100 分﹒已知小明國英數三科的分數分別為75, 80, 85分﹒試問下列哪些選項會讓小明五科成績的平均不低於 80 分且五科標準差不大於 5 分 ﹖（註﹕標準差  ²

1

1 ⁿ

i i

n x

 



   ^{﹐其中  為平} 均數﹒）

(1)自然75分﹐社會80分　(2)自然與社會兩科皆80分　(3)自然與社會的平均85分 (4)自然與社會兩科之和不低於160分且兩科差距不超過10分

(5)自然與社會兩科的分數都介於80與82分之間﹒

【解答】(2)(5)

【詳解】(1) 75 80 85 75 80

79 80

   5  

   ﹒

(2) 75 80 85 80 80

80 80

    5     ﹐ ¹25 0 25 0 0 10 5

  5       ﹒ (3) 設自然100分﹐社會70分﹒

75 80 85 100 70 5 82

    

  ﹐ ¹49 4 9 324 144 106 5

  5       ﹒ (4) 設自然100分﹐社會90分﹒

75 80 85 100 90 5 86

       ﹐ ¹121 36 1 196 16 74 5

  5       ﹒ (5) 75 80 85 80 80 75 80 85 82 82

5  5

       

  ﹐

即80  80.8﹒因此﹐

 ² ² ² ² ²

1 6 1 5 2 2 14 5

  5       ﹒ 故選(2)(5)﹒

(4)

v

u u-v 三﹑選填題（占24 分）

說明﹕ 第 A 至 C 題為選填題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8- 14）﹒每題完全答對給 8 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 平面向量



_u ^和向量



_v ^{互相垂直﹐且}

 

u  v _4, 7 _^﹒若



_u ^的長度為⁶^﹐則



_v ^的長度為

﹒

【解答】 ₂₉

【詳解】依題意作圖如右﹕

因為

 

^u ^ ^v ^ ⁴²^{ } ⁷ ² ^ ⁶⁵_且



u 6_﹐ 所以利用畢氏定理﹐得

 

⁶⁵ ² ⁶² ²⁹

v   



_﹒

B. 不等式x y 47的所有非負整數解中﹐滿足x y 的解共有組﹒

【解答】600

【詳解】 ^y

O x

 







xy xy

利用上圖﹐列表討論如下﹕

0 1 2 3 23

0 47 1 46 2 45 3 44 23 24 y

x



～～～～～ 

解共有48 46 44 42 2 ^{24 48 2}  600 2

        組﹒

C. 坐標平面上﹐有兩點^A^{4, 1}^ ^與^B^^2,2^﹒已知點^{C x y} ^, ^{滿足聯立不等式}^x^²^y^²^﹑^{x y}^{  }⁴^﹑

8

y 以及3x y 23﹐則當C點坐標為(　 ,　 )時﹐△ ABC有最大的面積﹒

【解答】 ^5,8

【詳解】依題意作圖如下﹕





A-

B-

xy

xy

x-y-

y

x y

O

得知C點所形成的區域為上圖中以四直線為邊的四邊形區域﹒

因為在此區域中﹐以頂點 ^5,8 ^距AB直線最遠﹐所以當C坐標為 ^5,8 ^時﹐

(5)

第貳部分﹕非選擇題（占 26 分）

說明﹕ 本部分共有二大題﹐答案必須寫在「答案卷」上﹐並於題號欄標明大題號（一﹑二）與子題號

（(1)﹑(2)）﹐同時必須寫出演算過程或理由﹐否則將予扣分甚至零分﹒作答務必使用筆尖較 粗之黑色墨水的筆書寫﹐且不得使用鉛筆﹒每一子題配分標於題末﹒

一. 某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲﹑乙兩種彩券﹐每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張﹒根據長期統計﹐上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券﹑15%改選乙券﹔

而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券﹑65%維持乙券﹒所謂穩定狀態﹐係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變﹒

(1) 試寫出描述上述現象的轉移矩陣﹒（5分）

(2) 試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時﹐會形成穩定狀態﹖（8分）

【解答】(1) 0.85 0.35 0.15 0.65

 

 

 　(2)甲占70%﹐乙占30%

【詳解】(1) 轉移矩陣為 0.85 0.35 0.15 0.65

 

 

 

甲乙甲

乙

(2)設甲占^x﹐則乙占1 x ﹒ 因為形成穩定狀態﹐所以

0.85 0.35

0.15 0.65 1 1

x x

     

       

     

  

 

0.85 0.35 1

0.15 0.65 1 1

x x x

   

    



解得x0.7 70% ﹐1 x 30%﹒

故甲占70%﹐乙占30%會形成穩定狀態﹒

二. 袋中有紅色代幣4枚﹑綠色代幣9枚﹑以及藍色代幣若干枚﹒每一枚紅色﹑綠色﹑藍色代幣分別可兌換50元﹑20元及10元﹒現從袋中取出代幣﹐每一枚代幣被取出的機率均等﹒設隨機變數X 代表取出1枚代幣可兌換的金額（單位﹕元）﹔隨機變數Y代表一次取出2枚代幣可兌換的金額（單位﹕

元）﹒

已知X 的期望值為20﹒

(1) 試問藍色代幣有多少枚﹖（5分）

(2) 試問Y50的機率^{P Y} ^⁵⁰^為何﹖（8分）

【解答】(1)12枚　(2) 7 10

【詳解】(1) 設藍色代幣有ⁿ枚﹐隨機變數_X 的機率分布如下﹕

50 20 10 4 9

13 13 13 x

P n

n n n 因為期望值^{E X}  ^²⁰^﹐所以

　　　　 4 9

50 20 10 20

13 13 13

n

n n n

     

  

^{200 180 10}^ ^ ⁿ^²⁰ⁿ^¹³ _﹐解得n12（枚）﹒

(2)袋中共有4 9 12 25   枚代幣﹐因為Y 50有三種情形﹕

 2藍﹕Y 20

‚ 1藍₁綠﹕Y 30 ƒ 2綠﹕Y 40

所以^{P Y} ^⁵⁰ ^^{P Y} ^²⁰^^{P Y} ^³⁰^^{P Y} ^⁴⁰

12 12 9 9

2 1 1 2

25 25 25

2 2 2

C C C C

C C C

  

(6)

66 108 36 300 300 300

   7

10﹒