絲絹帶負電，玻璃棒帶正電 ( 記法：絲負 ) 。

第十七章

170102 靜電學基本概念

4. 電的種類－富蘭克林的定義：

^{正電：被絲絹}

^{絲絹絲絹絲絹摩擦後，玻璃棒玻璃棒玻璃棒}玻璃棒所帶的電稱為正電。

 絲絹帶負電，玻璃棒帶正電 ( 記法：絲負 ) 。

^{負電：被毛皮}

^{毛皮毛皮毛皮摩擦後，塑膠棒塑膠棒塑膠棒}塑膠棒所帶的電稱為負電。

 毛皮帶正電，塑膠棒帶負電( 記法：塑負 )。

170103 「牛頓萬有引力」與「庫侖靜電力」之比較：

牛頓萬有引力 庫侖靜電力（Coulomb Force）

常數 萬有引力常數

11 2 2

6.67 10 / G = ×

⁻

N m ⋅ kg

庫侖常數

9 2 2

9 10 / k = × N m ⋅ C

相異處 只有引力 同性電荷：斥力 ( 同性相斥 ) 異性電荷：引力 ( 異性相吸 )

備註

基本電荷之間的庫侖力比萬有引力大很多

( 約 10 ³⁹ 倍 ) ，

因此基本電荷之間的計算若無特別聲明，一般計算只考慮庫

侖力。但若是一般的金屬球問題，還是要考慮重力。

170104 「牛頓萬有引力」與「庫侖靜電力」之比較 2：

庫侖力與萬有引力的比值為：

20 12 8 40 39

10 10 10 10 ( 10 ) F

F

= × × =

庫 萬

或

3. 庫侖定律的適用範圍－－點、球、球殼：

170201 靜電感應與感應起電

【備註】 ：

使單一導體帶電，接地時，為何另一端電荷沒有被導走？

被帶電體吸引

為何遠端電荷被導走？被帶電體

排斥

與接地線的位置

無關

170202 感應起電的基本特性：

(1)靠近帶電體的一端感應產生異性電，另一端感應產生同性電。

Why？

異性相吸，帶電體會吸引出(感應出)異性電荷。

(2)正、負電荷同時產生，電量相等。

Why？物體本是

電中 性、遵守電荷守恆定律。

(3)帶電體愈靠近，感應生成的電量愈多；愈遠離，感應生成的電量愈小。

Why？

帶電體會吸引出異性電荷，距離愈近，引力愈大。

(4)感應電荷之電量恆小於或等於原帶電體之電荷。

Why？

何時相等?

完全包含於其中

(5)原帶電體之電量不因靜電感應而改變。

Why？

通常帶電體為絕緣體。帶電體也會產生靜電感應嗎?

(6)帶電體除去，導體上的電荷立即恢復。

Why？帶電體消失，吸引力也隨之消失。

不適用

適用

適用

R

2

F = = = = kQq

R

2

F = = = = kQq

R

2

F = = = = kQq

x

ˇ

ˇ

170312 球殼問題的預備定理

定理 定理一 定理二 定理三

意義 均勻球殼對其內部物體 不施力

內部物體對均勻殼亦不 施力

電荷均勻分布的球殼對 其內部物體不施力

證 明 如下 作用與反作用力定律 如下

備註 定理一的逆定理 定理一的庫侖版

【證明】 ：

2

1 1

1 2 2

1 1

( )

GM m G KR m

F R R

= = ( M ∝ A = 4 π R

²

∝ R

²

)

2

2 2

2 2 2

2 2

( ) GM m G KR m

F R R

= =

→

wow

！

F

₁

= F

₂

結 論：均勻球殼對其內部物體不施力；均勻帶電球殼對其內部物體不施力。

170313 電荷均勻分布的導體球 單一球殼問題

位置 內 部 外 部

意義

內部，合力 =0

空心厚球殼

空心薄球殼

實心球 結果都相同

why

？

視為帶等量電，在球心處的點電荷

M

1

M

2

m F

1

F

₂

F

x

2

F kQq

= r

E

x

2

E kQ

= r

170314 多球殼問題： (Hint:分在內部或外部，一層一層看)

※ r

是該點到球心的距離，為避免出現太多的下標。故

r 為一變數！

A 在 Q ₁ 的內部、 Q ₂ 的內部： E _A = 0 + 0 = 0 B 在 Q 1 的外部、 Q 2 的內部：

_B

kQ

₂¹

0 kQ

₂¹

E = r + = r

C 在 Q 1 的外部、 Q 2 的外部： E

_C

^kQ

₂¹

^kQ

₂²

^{k Q (}

¹ ₂

^Q

²

⁾

r r r

= + = +

170413 球殼之電場與電位推導

電場推導 電位推導

※解題關鍵：內部不受力 → 內部庫侖力為 0 → 內部電場為 0

※解題關鍵：內部不受力

→ 在內部移動，作功最少 =0 → 內部各點，能量相等 → 內部各點，電位相等

→ 內部各點的電位與球面相等

※結論：內部電場為 0 ※結論：內部各點的電位與球面相等

E V

+Q 2

+Q 1

A B C

170414 多球殼的電位問題：

(Hint：分在內部或外部，一層一層看)

A 在 Q 1 的內部、 Q 2 的內部： E =

_A

0

^{1 2}

1 2

( ) ( )

A

k Q k Q

V R R

+ +

= +

B 在 Q 1 的外部、 Q 2 的內部：

_B

kQ

₂¹

0

E r

= +

^{1 2}

2

( ) ( )

B

k Q k Q

V r R

+ +

= +

C 在 Q 1 的外部、 Q 2 的外部： E

_c

^kQ

₂¹

^kQ

₂²

r r

= + (

¹

) (

²

)

c

k Q k Q

V r r

+ +

= +

170423 電荷金屬球的接觸

兩帶電金屬球，電量、半徑分別為 Q 1 、 R 1 、 Q 2 、 R 2 。以細導線連接，電 荷會移動至兩球電位相等為止。

^{1. 平衡的條件為：}

1 2 ^{1 2 1 1}

1 2 2 2

kQ kQ Q R

V V

R R Q R ( 成正比 )

= ⇒ = ⇒ =

^{2. 平衡時的電場：}

1 1

2

1 1 1 1 2

2 2

2 1

2

2 2 2

kQ kQ 1

E R R R R

= kQ kQ 1

E R

R R R

（成反比）

×

= =

×

^{3. 平衡時的面電荷密度：}

2 ^{1 2}

2 1

R

Q Q

A 4 E R ( )

R ^σ 成反比

σ = = ∝ ⇒ =

π σ

A B C Q 1

Q 2

R ₁ 、Q ₁ 、V ₁ ^{R 2 、Q 2 、V 2}

第十七章 詳 解

範例 01：

【解答】 ： 1. 正，負，及不帶電。 2. （見右表）

【解析】 ： 1. 金屬球視為頂點→ ○ ⁺ ○ ^- ○ ^{x 不帶電}

範例 02：

【解答】 ： －2

i
＋3

j

【解析】 ： 2

i

－3

j

＋ F



丙

＝０

⇒ F 

丙

＝－2

i

＋3

j

範例 03：

【解答】 ： 3F/8

【解析】 ：

電荷 _{A B C}

起始狀況 _{Q Q 0}

C 球先與 A 球接觸 _{Q/2 Q Q/2}

C 球再與 B 球接觸 _{Q/2 3Q/4 3Q/4}

'

2 2 2

3

3 3

2 4

, 8 8

Q Q

kQ Q k kQ Q

F F F

d d d

⋅ ⋅

⋅  ⋅ 

= = =   =

 

範例 04：

【解答】 ：一球帶電量是另一球的兩倍

【解析】 ：

2

2

2

8 4

( ) ( )( )

2 2 8

F kQ q

d Q q

Q q Q q

Q q F k

d

 =

 

 − − ⇒ =

 −

 =



^{2 2}

2 1

2 5 2 0 (2 )( 2 ) 0

1 2

Q Qq q Q q Q q Q or

q

− + = ⇒ − − = ∴ =

A B C D

＋ ＋ － 不

＋ ＋ 不 －

－ － ＋ 不

－ － 不 ＋

範例 05：

【解答】 ： 1.(A) 2. q=Q/2

【解析】 ： 1. 略 2.

2

( )

( )

2

( )

q Q q

q Q q kq Q q

F R

+ −

≥ −

= −

又

 ^{當 q Q}

= 2 時，F 最大

＊帶同性電相接觸後必變大，且兩者帶電量相等時，彼此庫倫力最大

＊＊進階思考答案為（全）

範例 06：

【解答】 ： (1) 4 (2) Q

_C

= 1.44 10 C ×

⁻⁴

【解析】 ： (1)

6 6

c c

2 2

k(1.6 10 )Q k(9 10 )Q d (d 1)

− −

× ×

= −

4 3

d 4

d d 1

⇒ = ∴ =

−

（與 Q

_c

無關，甚至於正負皆無關）

(2)

6

6 6

c

2 2

k(9 10 )Q k(16 10 )(9 10 )

1 3

−

− −

×

× ×

= （與 Q

_B

之帶電量 or 正負無關）

9 4

Q

C

= 16 10 ×

⁻

× = 9 1.44 10 C ×

⁻

+16 -9

x

d

d-1

Q Q Q Q cccc

+16 -9

x

+16 -9

x

+16 -9

引力大

x

斥力小

×

引力小

斥力大^×

×

c

0 Q >

×

^c

Q d

c

0 Q >

c

0 Q >

Q

c

1 d −

Q

c

Q

_c

+16 -9

c

x

Q

1

3

範例 07：

【解答】 ： q = 3 Q

_{帶 異 性 電}

【解析】 ：依題，則分析重心處之電荷必呈平衡，不論正負，但若分析頂點上之 電荷，則 Q,q 必異號

2 2

3 2 3

2 3 3 3

cos 30 2 3 2 3 3 3

2 ( ) 3 d

kqq kQq

F F q Q q Q

= × = =

′ =

^

× ⇒ × × = ∴ = ⇒ = ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

【牛刀小試】

【解答】：

(B)

【解析】：正三角形的正中央電場為零，故三頂點的電荷相同。若要計算

2 2

cos 60

^o

2 ' '

kQQ kQQ

Q Q

R R

× = ⇒ =

範例 08：

【解答】 ： (1) 3kQq

₂

R (2) 6kQq

₂

R (3) 3 3kQq

₂

R

【解析】 ： 1.

2

F kQq ( R )

3

= 2.

2

kQ(2q)

F R

( ) 3

=

-q-q=-2q

+

+q-q=0

R

R 3

+q-q=0 +2q=+q+q

+

+ +

R

R 3

Q q

Q

q llll q

d q

F F

F’

3.

2

F kQq cos 30 2 ( R )

3

=

^

×

範例 09：

【解答】 ： (A)

【解析】 ：

範例 10：

【解答】 ： 6 ^kQq

₂

d

【解析】 ：

2 2

kQ(3q) kQq

F 6

d d

( ) 2

= =

+2q-2q=0

+Q

+q-2q=-q

R

R 3

+3q-2q=q

2 2

2

9 19 2

10 2

8

8

cos 45 2 2 2 ( 2 ) 2

( 1 2) 2

1 9 10 (1.6 10 )

( 2)

2 (10 )

1.914 9 2.56 10 2 9 2.5 10

F F F

kee kee a a

kee a

−

−

−

−

∑ ⁼ ′ ^{+ ×}

= + × ×

= +

× × ×

= +

= × × ×

= × × ×



F′

F

F +e

+e +e

+e

45°

－ q+q=0 q

2q+q=3q

q

範例 11：

【解答】 ： ^2kQq

₂

L

【解析】 ： F ^{k 2Qq}

₂

L

= i

範例 12：

【解答】 ： (1) ^{3 1 2}

1

kq q L m g ⁽²⁾

2 2

1 1 2

3

2

m g kq q

L ⁽³⁾ m g ¹

【解析】 ：

1 1 2

2

3 1 2 1

2 2

1 2 1 2 3 1 1 2

2 2

1 2 2 3

1

1

, ( )

( )

m g kq q

T F

L L x F x

kq q L

x m g

kq q kq q m g kq q

F x kq q L L

m g T m g

= = =

=

= = =

=

範例 13：

【解答】 ： (C)

【解析】 ：

A

B F

X

L

mg L

T +Q+Q

-Q+Q +Q

+Q +Q

+Q

+q

T F

mg

-q T’=2T

2F

2mg +3q

mg T’’

-2q

範例 14：

【解答】 ： (A)(B)(C)(D)(E)

【解析】 ：

. .

stable equilibrium → S H M unstable eq .

unstable stable

範例 15：

【解答】 ： mr 2 r π 4kQq

【解析】 ：

2 2

3

2 2

3

4 ( ) ( ) ( ) (

. !

) )

'

(

4

4

kQq kQq kQq rx

F r x r x r x r x

x r r x r and r x r kQq x

r

Wow SHM k kQq r

∑ = − =

− + − +

∴

=

− +

→

∵ ≪ ≃ ≃

≃ _{（ 彈 力 彈 數 ）}

3

2 ' 2 4

2 4 T m

k m kQq

r r mr

kQq

π

π

π

=

=

=

+Q +Q

－ q +Q

+Q

+q

+Q +Q

吸力大 -q

吸力小 +Q

+Q

+q 斥大 斥小

x

r

－

x r+x

範例 16：

【解答】 ： 2 2 r mr

kQq

π

【解析】 ：

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3

cos 2

( )

2

( )

( )

2

! !

W

F kQq

r x

kQq x

r x r x

r x r x r

kQq x SHM r

ow

∑ =

θ

×

+

= ×

+ +

⇒

∴ +

=

∵ ≫ ≃

3

2 2

2 2

m mr

T r

kQq kQq

r

π π

= =

範例 17：

【解答】 ： (B)(C)(I)

【解析】 ：熱 ( 溫度高→低 ) ，水位高→低，氣體壓力大→小 (A) 摩擦生熱後轉移電子

(C) 人為不良導體

(D) 較小。游離能小者，易失去電子，故帶正電；游離能大者，難失電子，

易得電子，帶負電

(E) 同種物質也有可能起電 ( 導體也行 ) (F) 必小於或等於原電量

(G) 水氣為極性分子，易導電 (H) 絕緣體感應，無起電

(J) 從電位能高流向電位能低

熱 ( 溫度高→低 ), 水位高→低 , 氣體壓力大→小

x

r

2 θ

r + x

範例 18：

【解答】 ： (A)(C)(E)

【解析】 ：

箔片閉合

導去負電荷

範例 19：

【解答】 ： (A)(C)

【解析】 ：均勻電場→均勻電力→定力→等加速度運動 初速與電場平行

直線運動

初速與電場垂直（或夾一角度）

拋物線

範例 20：

【解答】 ： (C)(D)(E)

【解析】 ： (A)(B) 力與速度的方向無關→運動方向不一定為電場的方向

範例 21：

【解答】 ： 1. B 右方 4 公分處。 2. B 左方 0.8 公分處

【解析】 ： 1. k (9 )( 1) e

₂

k (4 )( 1) e

₂

x y

+ +

= 3 6

2 4

x cm

y cm

⇒ = =

A B

+9e － 4e

2 cm

x

y

Q Q O

ℓ

O

ℓ

ℓ

ℓ

3 ℓ

Q

2.

_{2 2}

2 0.8

x = y ⇒ y = = cm

範例 22：

【解答】 ： 1.

₃

2 2 3

2 2

( )

( )

kqd kqd

x d

d x x

>> →

+ 。 2. 4

_{2 2}

4

₄

( ) ( ) )

kqxd kqxd

x d

x d x d x

− −

>> →

+ − ，(

【解析】 ： 1.

2 2 2 2 2

2 2 3

3 3

( )( 1)

2

( )

2

( )

( )

2 1

k q d

E

d x d x

kqd

d x

x d

kqd

x x

+ +

= × ×

+ +

= +

>>

= ∝

2.

2 2 2 2

4 3

( )( 1) ( )( 1) 4

( ) ( ) ( ) ( )

4 1

( )

k q k q kqxd

E x d x d x d x d

x d kqxd

x x

+ + − + −

= + =

+ − + −

>> = − ∝

範例 23：

對 稱

【解答】 ： (B)

【解析】 ：

2 2

kQ( 1) 3kQ E

( ) 3

ℓ ℓ

= + =

A +9e 2 cm B +4e

x y

θ

d d

x

-q +q

θ

x

d d

+ -q

範例 24：

解題技巧：

數字次方分開算

【解答】 ： (C)

【解析】 ：

2 2

2

( )( 1) 2 2 9 1.6 ( ) 1

2

k e ke

E a a

+ × ×

= = =

範例 25：

解題技巧：

數字次方分開算

【解答】 ： (C)

【解析】 ：

2 2

( )( 1) 2

+ 2

= k e × = ke

E a a

範例 26：

【解答】 ： (C)

【解析】 ：

( ) 2

( 1) ( )

Q

E E KQ

−

d

= = + →

感

− + = e e 0

p ^a

− = 2 e e e

p p

p p

α P

P P

2

a a

2

= 4 H _e

-Q

d

R

O

電場KQ/d ²

範例 27：

【解答】 ： ( 見詳解 )

【解析】 ：

1.

A 2

B

C 2 2

E kQ ( )+O+O( )

r E =O

k(Q Q Q) kQ

E = ( )

r r

向心 不能防內賊

離心

=

+ − =

2.

A 2

B

C

E kQ ( )

r E =0

E =0( )

= 向心

類似金屬屏蔽

範例 28：

【解答】 ： (C)(E)

【解析】 ：載流導線內部電場必不為 0 。

－Q

＋2Q

－Q

＋Q(感應電荷)

＋2Q

－Q(感應電荷)

＋Q

A B C -Q

2.外球殼接地後

＋2Q -Q

A B C

＋Q 1.

-Q

範例 29：

【解答】 ： （略）

【解析】 ：

1. (i) 球體內 (0<x<R)

3

2 2

3

G( x ) Mm

GM m R

F= x x

GMm x x

R i

′ =

= ∝

1. (ii) 球體外 (R<x)

2 2

GMm 1

F= x ∝ x

2 (i) 球體內 (0<x<R)

3

2 2

3

k( x ) Qq

kQ'q R

F= x x

kQq x x R

i

=

= ∝

2. (ii) 球體外 (R<x)

2 2

kQq 1

F= x ∝ x

範例 30：

【解答】 ： (A)(B)(C)

【解析】 ：略，見講義。

R

M’ x M

F

x R

3 3

M ' ( x )M

= R

R

Q’ x Q

F

x R

3 3

Q ' ( x )Q

= R

範例 31：

【解答】 ： 1. 2 GMm

₂

4 R 2. 8 kQq

₂

2 2 kQ

₂

F , E

27 R 27 R

= =

【解析】 ： 1.

2

2

G Mm 2

F F F cos

( 2R) 2 2 GMm

4 R

= ∑ ∆ = ∑ ∆ θ = ∑ ∆ ×

=

2.

2

2

2

k( Q)q 8

F F F cos

(3R) 3

8 kQq 27 R 2 2 kQ

E 27 R

= ∑ ∆ = ∆ = ∑ ∆ θ = ∑ ∆ ×

=

=

∫

R R

θ

∆ F

∆ M

m cos 2

2 θ =

M M

∆ =

∑

Q Q

∆ =

∑

cos 8

3 θ =

R

θ

∆ Q

-q, m

∆ F

8R

範例 32：

【解答】 ： (1)

2 2 3

kQq x ( R x )

i

+ (2)0 (3) mR 2 R π kQq

【解析】 ： (1)

2 2 2 2 2

2 2 3

F F F cos

k Qq x

( R x ) R x

kQq x ( R x )

i i

= ∑ = ∑ θ

= ∑ ∆

+ +

= +

2 2 3

E E E cos

kQ x ( R x )

i

= ∑ = ∑ θ

= +

(2) E = ∑ ∆ = E 0 (3)

3

3

kQq x

R>>x F x Wow,SHM!

R

m m mR

T 2 2 2 R

k kQq kQq

R

若 ⇒ i ∝ ⇒

= π = π = π

≒

範例 33：

【解答】 ： (A)

【解析】 ： 2

E E cos 45 4 0.5 4 2 2

=



× = × × =

∑

－ q

∆ F

∆ F R

Q

∆

x

2 2

F F

E E

cos x

R x

= ∑ ∆

= ∑ ∆ θ = +

E

45 ° 45 °

－ q

範例 34：

【解答】 ： 2 ^m (mq qE) π ℓ

+

【解析】 ：等效重力場

mg qE mg

mq qE

g m

T 2

g ℓ

⇒ + = ′

′ +

∴ =

= π ′

範例 35：

【解答】 ： (1)1/2 (2)2 (3) 2 (4) 1 2

【解析】 ：

(1) F

^P

1

F qE q

F

_α

2

= ∝ ⇒ = (2)

^P

1 a

F 1 2

a m a 2 1

4

α

= ⇒ = =

(3)

²

u

^P

2

u 2as u a

u

_α

1

= ∝ ⇒ = (4) 1

²

1 t

^P

1

S at t

2 a t

α

2

= ∝ ⇒ =

範例 36：

【解答】 ： qE md L

【解析】 ：

m qE m

a = F = L

md v qE v )

)( L m ( qE 2 1 2 at d 2

S = 1

²

⇒ =

²

⇒ =

範例 37：

【解析】 ：見講義 範例 38：

【解答】 ： (B)(D)

【解析】 ： (A) 不一定。受力方向為電力線切線方向

(C) 靜電電力線始於 + ，終於－，故不封閉 ( 磁力線才封閉 ) (D) 有電力分量 ( 與表面不垂直 ) 則必有電荷流動

(E) 載流導線之電力線與表面平衡

＊發電機 ( 電磁感應 ) 的情況下，電力線可能封閉

mg qE

範例 39：

【解答】 ： (D)(E)

【解析】 ：

電力線是直線

And ( v

₀

= 0 Or v // E

₀

) [ 想想自由落體與鉛直上拋 ]

範例 40：

【解析】 ： E(2A) 4 kQ E ^{2 kQ} 2 k A

= π → = π = π σ

範例 41：

【解析】 ： 4 ⁴ kQ 4

EA kQ E k

A

π π π σ

= ∴ = =

範例 42：

【解答】 ： 1.

3kq

2

d 2.

3kq

2

− 2d

【解析】 ： 1.

W U

k( q)( q)

3 0 d

= ∆

+ +

= × −

2.

＊

∵力與位移反向∴必做負功

2

W U

k( q)( q) k( q)( q)

3 3

2d d

3kq 2d

= ∆

+ + + +

= × − ×

= −

－ － －

＋ ＋ ＋

－ － －

＋ ＋ ＋

＋ ＝

= 0 E

= 0 E

σ π

_K 4

+q

+q +q

F

+q S

範例 43：

【解答】 ： (1)

2kq

2

− a (2) kq

2

2a

【解析】 ：

(1) k( q)( q)

U 2

2a

+ −

∑ = × 只剩對角線兩組 (2)

2 2

2

kq kq

W U U U ( 2)

2a 2a

kq 2a

′ −

= ∆ = − = − − ×

=

＊電位能非向量，但可因正負而抵消

範例 44：

【解析】 ：

運 動 行星繞日 電子繞原子核

圖 示

位能 ^{U GMm}

= − r k( e)( e) ke

²

U r r

= + − = −

動能

k

E GMm

= 2r

²

k

E ke

= 2r 總能 ^{E U E}

_k

^GMm

= + = − 2r ke

²

E 2r

= − 游離能 ; 束縛能

碰撞：兩物體間有力之作用

k ki kC

E = E + E

ki e

1 2 2 1 2

12

1 2

E U

m m kq q

1 v

2 m m r

⇒ =

⇒ =

+

+q +q

-q -q

範例 45：

【解答】 ：

^{1 2 1}

2 1 2

2kq q m m (m + m )d

【解析】 ：

釋放前：動能

E _k 為零，位能 U 不為零

釋放後：動能

E _k 不為零，位能 U 趨近零

由能量守恆以及動量守恆，可得下式：

2 2 1 2 2 2 2

1 1 2 2 2

k

1 1 2 2

k( q )( q )

1 1

m v m v 0 1 m v P 1

E mv

2 2 d

2 2m 2m m m v m v

，且

 + +

 + − =

 = = = ∝

  =



2 2 1 2 1 1 2

2 2

1 2

1 2

1 1 2

2

2 1 2

1

m kq q m kq q 1 m v

1 1

2 d m m d

m m

2m kq q v m (m m ) d

= × = ×

+ +

⇒ = ×

+

進階挑戰

【解答】 ：

^{1 2 1 2}

1 2

2kq q (m m ) m m r

+

由靜止釋放， 質心速度 v

_C

= 0 ∴ 質心動能 E

_kc

= 0

k ki kC

E = E + E

ki e

1 2 2 1 2 1 2 1 2

12 12

1 2 1 2

E U

m m kq q 2kq q (m m )

1 v , v

2 m m r m m r

⇒ =

⇒ = = +

+

d

m ₁ ,q ₁ m 2 ,q 2

∞

V 1 V ₂

m ₁ ,q ₁ m ₂ ,q ₂

範例 46：

【解答】 ： 1. 2kQ E 0, V

= = d 2. 2kQ

₂

E , V 0

= d = 3. 電位為 0 處在 x 右方 2d/3 ，或 x 右方 2d 。電場為 0 在 x 右方 (1 + 2)d 處。

【解析】 ：

E 0

k( Q)( 1)

V 2

d

=

+ +

= ×

2

kQ( 1)

E 2

d

V 0

= + ×

=

※電場因方向相反而抵消；電場因正負相反而抵消。

3. 電位 =0 有兩解，電場 =0 有一解 ( 無窮遠處除外 )

k( 2Q)( 1) k( Q)( 1)

x y 0

2 1

x : y 2 :1 d : d

3 3

+ + − +

+ =

⇒ = =

k( 2Q)( 1) k( Q)( 1)

x y 0

x : y 2 :1 2d : d

+ + − +

+ =

⇒ = =

※ E=0 處， V 不一定 =0 ；反之， V=0 處， E 不一定 =0 內分點

外分點

+Q +Q

d d

1.

+Q -Q

d d

2.

+2Q -Q

d

x y

+2Q -Q

d

x

y

2 2

k( 2Q)( 1) k( Q)( 1)

x y 0

x : y 2 :1 (2 2 )d : (1 2)d

+ + − +

+ =

⇒ = = + +

0

0

V 0

E 0

=

=

範例 47：

【解答】 ： (C)

【解析】 ：

2 2

kq kQ

E cos 60 2

q Q



ℓ ℓ

∑ = × =

⇒ −

( q)( q) + − = + ( Q)( Q) − = − Q

2

所求

範例 48：

【解答】 ： (A)

【解析】 ：

0 A

9 7 6

W U U U

kQq kQq kQq

3 [ 2 ]

a a 2a

2

kQq 2

(3 2 2 )

a 2

9 10 5 10 3 10

0.2 1.5

− −

= ∆ = −

= × − × +

= − −

× × × × ×

= ×

+ q

− q

− q

+ q

l O x

l l

+q

E

-q E

A B

D C

O

Q +q

Q Q 中心點

+2Q -Q

d

x

y

範例 49：

【解答】 ： (B)

【解析】 ：電荷 Q 均勻分布在外表面，與金屬厚度無關！

範例 50：

【解答】 ： (1) kQ

3R (2) kQ R

【解析】 ： 1. V V ^{k( Q) kQ}

3R 3R

= ∑ ∆ = ∑ ∆ =

2. V V kQ R E 0

= ∑ ∆ =

=

範例 51：

【解答】 ： 4kQq 3mR

【解析】 ：增加的 E _k ＝減沙的 U _e

1

2

k( Q)( q) k( Q)( q)

2 mv 3R R

2 kQq 3 R v 4kQq

3mR

+ − + −

⇒ = −

=

∴ =

範例 52：

【解答】 ： ^Q 2

【解析】 ：

0

k( Q) k( q)

V Q

2R R

Q Q Q

2

− +

= + =

⇒ = <

＊ 感應電量≤原帶電量（當帶電體位於球內時等號成立）

R

3R

8 R

R

3R

8 R

－q +Q

V 0 =0 -Q

V=0 V

a b r

範例 53

【解答】 ： E ′ =

³

2E ， V ′ =

³

4ER

【解析】

2

3 3

2 2 3

3 3

E kQ R

k 2Q kQ

E 2 2E

( 2R) R

V k 2Q 4ER

2R

=

′ = ⋅ = =

′ = ⋅ =

範例 54：

【解答】 ： (E)

【解析】 ： *

零位面之變換

P

S

V 0

k( q) k( q) 2 kq V 3a a 3 a

=

+ −

= + = −

P

S

V ' 2 kq 3 a V ' 0

⇒ =

=

範例 55：

【解答】 ： (B)(C)(E)

【解析】 ： F = qE = α (q )x ⇒ Wow.SHM!

(A) 由簡諧運動 : 平衡點速率最大 (B) 由簡諧運動 : 振幅 =4m

(C)

6

4

F qE 2 10 ( 100) 1 2 10 N

−

−

= = × × − ×

= − ×

(D)(E) 端點： v=0 動能最小，位能最大 範例 56：

【解答】 ： (B)

【解析】 ： V

_a

^kQ

^a

V

_b

^kQ

^b

a b

= =

( )

a b a b

a

a a b

b

a a b a b

a

Q Q Q Q

Q a a

Q Q Q

b a b

Q

kQ kQ kQ aV bV

V

′ + ′ = +

′ = ⇒ ′ = +

+

′

′ + +

′ = = =

V R

＋ ＝

Q Q 2Q

V R

2V

3

2R

S

2 a

2

+ -

P

Q

範例 57：

【解答】 ： 1.(B) 2.(1)1:1 (2)1:2 (3)1:2

【解析】 ： 1.

1 2

1 2 1 1

1 2 2 2

V V

kQ kQ Q R

( )

R R Q R

=

⇒ = ⇒ = 成正比

2. (1) 電位相等電位比＝ ¹ ： 1

(2) 電場強度與半徑成反比電場強度比＝ ¹ ： 2

(3) 表面電荷密度與電廠成正比表面電荷密度比＝ ¹ ： 2

範例 58：

【解答】 ： 1. （略） 2. 9 10 m ×

⁹

3.

1 kQ

2

2 R

【解析】 ： 1. V ^kQ C ^{Q R}

R V k

= ⇒ = =

2. R R

₉ ^{9 6}

1 R 9 10 m(R 6400 6 10 m)

k 9 10

地

＝ 公里 ≐

= = ⇒ = × ×

×

＊若有一金屬球之 R ≒ 1500R

_地

時，可儲存 1 Ｆ之電量（ 1 庫侖）

⇒ 儲存電量之難

1 1 kQ 1 kQ

2

3. U QV Q

2 2 R 2 R

= = =

2

2 2

1 1 R RQ 1 kQ

U CV ( )

2 2 k R 2 R

= = × × =

或

範例 59：

【解答】 ： 1. （略） 2. 2 倍 3. 2 倍 4. 4 倍

【解析】 ： 1.

EA 4 kQ E 4 kQ W F S

A

4 kQd Q A A

V Ed C

A V 4 kd d

， π 。又 i

= π = =

⇒ = = π ⇒ = = ∝

π

2. Q A A A

C C ' 2C

V 4 kd d d

4 k 2 i

= = ∝ ∴ = =

π π

3. 2A

C ' 2C

= 4 kd =

π 4. 2A

C ' 4C

4 k d 2 i

= =

π

範例 60：

【解答】 ： 1. 電量變為一半，電位不變 2. 電量不變，電位變為 2 倍 3. 均不變

【解析】 ：

1. 電位不變， Q

C = V A

= 4 k π d

2. 電量不變， C = ^Q A V =

4 k π d

3. (1) 電量 2 倍是因為電位變為 2 倍。電容為材料特性，其值不變。同理， (2)

電流 2 倍，電阻不變。 (3) 電流兩倍，電動勢不變。