2-1

(1)

敘述：在數學的語言裡﹐能判斷其為對或錯的語句﹒

例如：對的敘述「三角形三內角和為180」錯的敘述「1 2 4  」

我們常用「且」與「或」來連接兩個敘述﹐並且規定如下：

(1)當兩個敘述^p與^q皆對時﹐「^p且^q」才是對的敘述﹐否則就是錯的敘述﹒常以符號「^{p q}^ 」表示「^p且^q」﹒

(2)當兩個敘述^p與^q至少有一為對時﹐「^p或^q」才是對的敘述﹐否則就是錯的敘述﹒常以符號「^{p q}^ 」表示「^p或^q」﹒

隨堂練習--- 設甲乙丙為三個敘述﹐且

甲：長方形都是正方形﹐

乙：正三角形都是等腰三角形﹐

丙：3 5 ﹒

在下列選項中選出對的敘述：

(1)甲 (2)乙 (3)甲且乙 (4)乙或丙 (5)甲或丙﹒

---

有些數學式的意思是指一個含有「且」與「或」的敘述﹐例如：

(1)「ab0」意思是指「a0且b0」﹒

(2)「ab0」意思是指「a0或b0」﹒

(3)「1 x 2」意思是指「1 x 且x2」﹒

(4)「^x^³」意思是指「^x⁼³或^x^>3」﹐因此「^{3 3}^ 」是對的敘述﹒

否定敘述

一個敘述^p的「否定」會形成另一個新的敘述﹐稱此新的敘述為^p的否定敘述﹐以符號^{~ p}

（讀作非^p）表示﹒

例如：若敘述^p為「2 是整數」﹐則其否定敘述^{~ p}為「2 不是整數」﹒

當^p為對的敘述時﹐^{~ p}就是錯的敘述；反之﹐

當^p為錯的敘述時﹐^{~ p}就是對的敘述﹒

笛摩根定律

(2)

(1)敘述「^p且^q」的否定敘述為「非^p或非^q」﹐記作 ^~ ^{p q}^  ^ ^~ ^p ^ ^~^q﹒

(2)敘述「^p或^q」的否定敘述為「非^p且非^q」﹐記作 ^~ ^{p q}^  ^ ^~ ^p ^ ^~^q﹒

例題1--- 寫出下列各敘述的否定敘述：

(1)大華是黑頭髮且黃皮膚﹒

(2)小明騎腳踏車或走路上學﹒

--- 原敘述的否定敘述為「大華不是黑頭髮或不是黃皮膚」

原敘述的否定敘述為「小明不是騎腳踏車且不是走路上學」

隨堂練習--- 寫出下列各敘述的否定敘述：

(1)x2或x3﹒ (2)1 x 2﹒

---

集合的簡介

集合的意義：由一些滿足某些條件之元素所組成的整體

例如：若a 是集合 S 中的一個元素﹐則我們用符號 a^S（讀作 a 屬於 S）表示 若a 不是集合 S 中的元素﹐則用符號 aS（讀作 a 不屬於 S）表示 空集合：不包含任何元素的集合稱為空集合﹐記作

集合的表示法有兩種：

1.列舉法：將集合 A 的所有元素一一在大括弧中列舉出來。舉例A1, 2,3, 4,5, 6

2.描述法：大括弧 內先寫出元素的一般形式﹐再加一直槓﹐並在直槓的右邊寫出能夠界定所有元素的屬性。舉例^C^^{2 1}^k ^{ }^k ^4, ^k^為正整數

(3)

(4)

例題2--- (1)利用列舉法表示所有 18 的正因數組成的集合﹒

(2)利用描述法表示所有小於 100 且被 3 整除的正整數組成的集合﹒

---

隨堂練習--- (1)利用列舉法表示集合^A^



^{x x}² ^⁹ ^﹒

(2)利用描述法表示所有小於 200 且被 4 整除的正整數組成的集合﹒

---

在19 世紀﹐德國數學家康托首先引進集合的概念﹐並利用集合的表示方式作為數學條件的敘述及關係的解釋：

全體正整數組成的集合記做 ；全體整數組成的集合記做 ；全體有理數組成的集合記做 ；全體實數組成的集合記做 ；全體複數組成的集合記做_ ﹒

子集：當集合A 中的每一個元素都是集合 B 的元素時﹐稱 A 是 B 的一個子集﹐

並用符號AB（讀作 A 包含於 B）或用符號 BA（讀作 B 包含 A）來表示 空集合：規定空集合為任一集合A 的子集﹐即A

子集的定義﹐我們可以將各數系的關係寫成  ^{   }    ﹐

(5)

(6)

例題3--- 列出集合^S ^^{1, 2,3} ^{的所有子集﹒}

---

隨堂練習--- 列出集合^S ^ ^{a b}^, ^{的所有子集﹒}

---

隨堂練習--- 設集合^A^ ^{1, 2} ^﹐^B^^{1, 2,3,6} ^﹐^C ^^{x x}^{為的正因數}⁶  ^{﹐選出正確的選項：}

(1)AB (2)AC (3)BC (4)CB (5)B C ﹒

---

交集與聯集

交集：把集合A 與集合 B 共同的元素組成的集合﹐稱為 A 與 B 的交集﹐以符號 AB 表示 聯集：把集合A 的所有元素與集合 B 的所有元素合起來組成的集合﹐稱為集合 A 與 B 的

聯集﹐以符號AB 表示

 

A B  x x A 且x B ^{A B}^{ }^{x x A}^ ^或^{x B}^ 

(7)

差集與補集

在集合A 中﹐但不在集合 B 中的元素組成的集合﹐稱為 A 對 B 的差集﹐以符號 A－B 表 示﹐ ^{A B}^{ }^{x x A}^ ^且^{x B}^ ^﹒

宇集：當所探討的集合都是某個集合U 的子集時﹐稱 U 為宇集

補集：當A 是宇集 U 的子集時﹐稱在 U 中所有不屬於 A 的元素組成之集合為 A 在 U 中 的補集（或餘集）﹐記作A ' 即^A^{ }^{x x U x A}^| ^ ^, ^  ^﹒

笛摩根定律

設U 為宇集﹐A與B為U 的兩個子集﹒

(1)^{A B }^  ^ ^A^^^B^

(2)^{A B }^  ^ ^A^^^B^

例題4---

(8)

設A 為所有 6 的正因數組成的集合﹐B 為所有 8 的正因數組成的集合﹒求 AB﹐A B﹐AB 及 BA﹒

---

隨堂練習--- 設 A 為所有 10 的正因數組成的集合﹐B 為所有 15 的正因數組成的集合﹒求A B ﹐A B

﹐AB 及 BA﹒

---

隨堂練習--- 設U 1, 2,3, 4,5 為宇集﹐集合^A^^{1, 2,3} 與^B^^{2,3, 4} 為U 的兩個子集﹒驗證笛摩根定律：

(1)^{A B }^  ^^A^^^B^^﹒ ⁽²⁾^{A B }^  ^ ^A^^^B^^﹒

---

集合元素的個數

當集合A 中所包含元素的個數為有限個（相同元素不重複計數）時﹐我們用符號^{n A}  來代表集合A 的元素個數﹒例如﹐若集合A1, 2,3, 4,5, 6 ﹐則^{n A}  ^⁶﹒

例題5---

(9)

﹒

---

隨堂練習--- 在1 到 300 的正整數中﹐不能被 4 整除的數有多少個？

---

積集合

當A﹐B為兩個集合時﹐集合 ^{A B} x y x A y B^,   ^,   稱為A﹐B兩集合的積集合﹒

A﹐^B兩集合的積集合﹐以符號^{A B}^ 表示﹐即

           

 ^1, ^{, 1, , 2,} ^{, 2, , 3,} ^{, 3,} 

A B  a b a b a b ﹒

當A﹐B是兩個元素個數為有限個的集合時﹐積集合A B 的元素個數等於A﹐B兩集合元素個數的乘積﹐即

     

n A B n A n B ﹒

基本的計數原理

窮舉法：將所有符合條件的方法一一列出的計數法樹狀圖：圖示方法﹐常有如樹枝狀的分枝

隨堂練習--- 從1 到 6 的六個正整數中﹐選取兩個和大於 6 的數﹐選法共有多少種？

---

(10)

例題6--- 甲乙兩人比賽桌球﹒約定：每局比賽必分出勝負﹐先勝三局者贏得比賽﹒今已比賽一局﹐結果由甲獲勝﹒

(1)利用樹狀圖描述往後比賽所有可能的情形﹒

(2)往後比賽共有多少種可能的情形？又其中甲贏得比賽的情形共有多少種？

---

隨堂練習--- 如圖﹐一隻螞蟻從_A點出發﹐在每個頂點

至多走一次的情形下﹐沿著正四面體ABCD 的稜線走到_B點﹒

(1)利用樹狀圖描述所有路徑﹒

(2)共有多少種路徑？

---

一一對應原理

設A與B是兩個元素個數為有限個的集合﹒若集合A與B之間可以建立一一對應的關係﹐

則這兩個集合的元素個數必相等﹐即^{n A}  ^^{n B}  ﹒

利用一一對應原理﹐可以透過較容易計算元素個數的集合﹐求得另一集合的元素個數

例題7--- 學校舉辦桌球單打比賽﹐每場比賽必分出勝負﹐採單敗淘汰賽（即任何一位選手只要輸一場比賽就被淘汰出局）﹒在每一輪比賽中﹐將選手儘可能的配對比賽﹐若遇該輪為奇數位選手時﹐則讓剩下的一位輪空﹒依下列參賽人數計算出總共要比賽幾場才能產生冠軍：

(1)7 人參賽﹒

(11)

隨堂練習--- 承上例﹐若51 人參賽﹐則共要比賽幾場才能產生冠軍？

---

用樹狀圖來呈現計數問題分類的情形時﹐如果分類很有規律性﹐那麼可以透過「加法原理」

及「乘法原理」來計算總數﹒而當問題分類會有重複計算的情形時﹐這時利用樹狀圖來表達並不容易﹐我們可以透過「取捨原理」來計算總數

加法原理

若完成某件工作的方法﹐依其性質可分成^k 類﹐且　　　第 1 類有m1種方法﹐

　　　第 2 類有m2種方法﹐

　　　 _

　　　第^k 類有^m^k 種方法﹐

則完成這件工作的方法共有 ^m1^^m2^^^m^k 種﹒

隨堂練習--- 同時擲兩粒大小不同的骰子﹐求點數和為5 的倍數之情形共有幾種

---

(12)

乘法原理

若完成某件工作要經過^k 個步驟﹐且

　　　第 1 個步驟中有m1種方法﹐

　　　第 2 個步驟中有m2種方法﹐

　　　 _

　　　第^k 個步驟中有^m^k 種方法﹐

則完成這件工作的方法共有　 ^m¹^^m²^^^^m^k 種﹒

例題8--- 餐廳有主菜﹑湯及飲料等三樣餐點﹒其中主菜有牛排﹑豬排﹑雞排與羊排4 種；湯則有海鮮湯與蔬菜湯2 種；飲料則提供咖啡與紅茶 2 種﹒每位客人只能從主菜﹑湯及飲料種類中各任選一種﹐請問有多少種點餐方式？

---

隨堂練習--- 書架上有3 種不同的中文書﹑5 種不同的英文書和 6 種不同的法文書﹒小英想從書架上選中文﹑英文和法文書各一本﹐共有多少種選法？

---

例題9--- 試問360 的正因數有多少個？

---

(13)

求240 的正因數個數﹒

---

例題10--- 醒獅團的6 個獅頭手中有 4 個老手 2 個新手﹐4 個獅尾手中有 3 個老手 1 個新手﹒今想選派獅頭手與獅尾手各一人表演一段舞獅秀﹐若選出的兩人中﹐至少要有一人是老手﹐則共有多少種選派方案﹖

---

隨堂練習--- 圍棋排名賽共有男生5 人﹑女生 4 人參賽﹒請問排名前二名的名單中﹐至少有一人是女生的情形共有多少種﹖

---

取捨原理

利用文氏圖﹐^{n A B} ^ =^{n A} ^^{n B}  ^^{n A B} ^ 

(14)

當A 與 B 的交集是空集合﹐即^{n A B} ^  ^⁰時﹐^{n A B} ^  ^^{n A} ^^{n B} 

例題11--- 學校舉辦班際籃球及排球比賽﹐某班級有12 名同學參加籃球比賽﹐10 名同學參加排球比賽﹐而兩種球類比賽均有參加的有4 人﹒請問此班有多少位同學至少參加一種球類比賽？

---

隨堂練習--- 學校舉辦象棋及圍棋比賽﹐某班級有42 位同學參賽﹐其中有 34 位同學參加圍棋比賽﹐而兩種棋賽都參加的同學有15 人﹒請問此班有多少位同學參加象棋比賽？

---

取捨原理：又稱排容原理

設A﹐B﹐C 是三個有有限個元素的集合﹒

(15)

例題12--- 某班舉行數學測驗﹐測驗題分A﹐B﹐C三題﹐結果答對A題者有15 人﹐答對B題者有19 人﹐答對C題者有20 人﹐其中A﹐B兩題都答對者有10 人﹐B﹐C兩題都答對者有12 人﹐C﹐A兩題都答對者有8 人﹐三題都答對者有 3 人﹒請問A﹐B﹐C三題中至少答對一題者有多少人？

---

隨堂練習--- 在1 到 300 的正整數中﹐是 2﹐3 和 5 中某一個數的倍數者共有多少個？

---

2-1 習題一、基礎題

1. 在下列選項中選出對的敘述：

(1)₁_ _{2 2}_

(16)

(2)5 5

(3)5整除15且5整除13 (4)5整除15或5整除13

(5)「x1且y2」的否定敘述為「x1或y2」﹒

2. 已知集合^A^^{1, 2, 4,5} ^﹐^B^^1,3,6 ^﹐求集合A B ﹐A B ﹐A B 及B A ﹒

3. 已知集合^A^



^{x x}² ^^{1 ,}



^B^



^{x x}²^²^x^{ }^{3 0}



^﹐求集合^{A B}^ ^與^{A B}^ ^﹒

4. 小明身上有 500 元﹐想購買單價為 60 元的光碟片與單價為 70 元的電腦連接線﹒根據需要﹐光碟片至少需3 片﹐連接線至少需 2 條﹒請問共有多少種選購方法？

5. 如圖﹐一隻螞蟻從 A 點出發﹐沿著正立方體ABCD EFGH 的稜線走捷徑到達G 點﹒

(1)利用樹狀圖描述所有路徑﹒

(2)共有多少種路徑？

6. 高速鐵路從臺北到高雄共設立 8 個車站﹐鐵路車票每張均標示起站與終站的站名（兩站之間往返的車票視為不同）﹒請問需要準備多少種不同的車票？

7. 某校羽球校隊是由 3 位高一學生﹑4 位高二學生及 6 位高三學生所組成﹒

(1)每年級各選一名組長﹐共有多少種選法？

(2)教練要從校隊中選兩名來自不同年級的學生參加雙打比賽﹐共有多少種選法？

(17)

道﹐另3 條是雙向道﹒今開車由甲地到乙地再回到甲地﹐且去程與回程不同路﹐請問共有多少種路線安排？

9. 某班舉行親師會﹐已知班上 40 位同學中﹐父親出席者有 20 位﹐母親出席者有 30 位﹐父母親皆出席者有15 位﹒請問班上有家長出席親師會的同學共有多少位？

10. 某班調查學生選修第二外語的情形﹐已知選修過日語﹑法語及西班牙語者分別有 20﹑10 及5 人﹐且其中選修過日語及法語者有 6 人；選修過法語及西班牙語者有 3 人；選修過日語及西班牙語者有3 人；而恰有 1 人曾選修過上述三種外語﹒請問班上同學至少選修過一種第二外語的同學共有多少位？

二、進階題

11. 已知集合^A^



^{2, 4,}^a²^{ }^a ^{3 ,}



^B^^^{3, ,}^{a a}^^2,^a^⁵^ ^滿足^{A B}^{ }^{ }⁵ ^﹐求實數^a^的值﹒

12. 已知集合^A^ ^{1 ,}^B^^{1, 2,3} ^{﹐列出所有滿足}A C B的集合C﹒

(18)

13. 在 1 到 100 的正整數中﹐是 2 的倍數但不是 3 的倍數者共有多少個？

14. 如圖﹐A 城到 B 城之間有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊五城﹐其間連結的道路如圖所示﹒今從 A 城出發走向B 城﹐要求每條道路都要經過並且只經過一次﹐則共有多少種走法﹖

15. 某公司生產多種款式的「阿民」公仔﹐各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同﹒其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色﹐球衣有白、綠、藍三種顏色﹐而球鞋有黑、白、灰三種顏色﹒公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子﹐而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子﹐至於其他顏色間的搭配就沒有限制﹒在這些配色的要求之下﹐最多可有多少種不同款式的

「阿民」公仔﹖