5.3 n 维向量空间的正交化

5.3 n

维向量空间的正交化

一、内积 一、内积

二、标准正交基 二、标准正交基

三、施密特正交化方法 三、施密特正交化方法 四、正交矩阵

四、正交矩阵





: .

1 _{定义 设}   _{1 2}    _{1 2} 

^{ , }  ^{ a}₁^b₁ ^{ a}₂^b₂ ^_^{ a}_n^b_n

内积 . 的

与 称为  

: .

2 性质

  ^{1  , }  ^{  ,}  ^;

  ^{2    ,}  ^{  ,}  ^{  ,} 

^{k , }  ^{ k}^{ , }  ^;

  ^{3 ,}  ^{ 0,}_{当且仅当 }^{ 0}_{时等号成立} ^.

一 . 内积

3. 长度

 ¹ _定义 ^{  a}₁^{2  a}₂^{2 }_^{ a}_n^{2 } ^, 

 ² _性质

；

非负性 0

1^o  

; 2^o 齐次性 k  k 

三角不等式 3o

 .





   

 



 

： 内积还满足以下关系

^{, l}  ^{ l , }  ^{, l  R ;}

^{ ,   }  ^{  , }  ^{  , }  ^.

(3) 单位向量

. :

1  为单位向量

 

则 令

，

设 1 ,

0 

 

  _e 

 ^,  ^{ 1} ₂





  

 



_{e e e} 夹角

. 4

 

. , :

arccos

,  与  的夹角







 

 

^，^  _

： 问题

柯西不等式 ^{ , }  ^{   ,}

线性相关时等号成立 . 与

当且仅当 

 ¹ ， 线性无关：^t^ R ^, t ^  ^{ 0 ,} 证

^{t   , t  }  ^{ t2}^{ ,}  ^{ 2t}^{, }  ^{  , }  ^{ 0 ,}

 

^{2 ,} ^{2  4} ^,  ^,  ^{ 0 ,}

      

 ^,   ² < ^{ 2  2 ,}  ,   < ^{  .}

 2  ,  线性相关：设   k , 则

， ²  ， k ²  k², ²  , k, k 

2 ,

2 





^{, }  ^{   .}

二 . 规范正交基 1. 正交向量组

^{ }  ^{ 0 .}



 _{与 正交： ，}

. ,

, , ₂

1

两两正交且不含零向量

： 为正交向量组

s



 _

^{1 1 1} ₂  ^{1 2 1} ₃  ^{1 0 1}

1 ，， ， ，， ， ，，

：

如         

^₁^,₂  ^{ }₁^,₃ ^{ }₂^,₃ ^{ 0}

. ,

, _{2 3}

1   为正交向量组



例 1 设 A 是 n 阶反对称矩阵， x 是 n 维列 向量，且 Ax=y , 证明： x 与 y 正交 .

 ^{x, y} ^{ xT y  xT Ax}

： 证

 ^{y, x} ^{ yT x }  ^{Ax T x  xT AT x  xT Ax ,}

    _可知：

由 x, y  y, x

 ^{x, y} ^{ 0 .}

定理 1 正交向量组线性无关 .

且

， 为正交向量组

，

，

， 设

证 ₁ _{2 } _s

2 0

2 1

1  k   k_{s s} 

k   _ 

^₁，^k₁^₁ ^{ k}₂^₂ ^_^{ k}_s^_s 

则

  ^k   ^k_s _s 

k₁ ₁,₁  ₂ ₁,₂   ₁,

 

 ₁^, ₁ ^{0 ,}

1 

 k  

^₁^,₁ ^{ 0 ,  k}₁ ^{ 0 ,}



,

3 0

2  k   k_s 

k 

： 同理

. ,

, , ₂

1  _s 线性无关

 _



线性无关向量组未必是正交向量组 .

^{1 0 0} ₂ ^{1 1 0} ₃ ^{1 1 1}

1 ，， ， ，， ， ，，

：

如      

 _，，_，  _{， ，}_，

例2 ₁  1 1 1 ₂  1  2 1

3 .

2 1

3，使 ， ， 为正交向量组 求    

  _则

设

解 ₃  x₁, x₂, x₃ ,

^₁^,₃ ^{ x}₁ ^{ x}₂ ^{ x}₃ ^{ 0}

^₂^,₃ ^{ x}₁ ^{ 2x}₂ ^{ x}₃ ^{ 0}

^{1, 0, 1} ^.

3  



2. 规范正交向量组

 ^11,









 _{ 满足 ：}

 ^{2 }_i ^{ 1,} ^{i  1, 2,}_^{, s}

  ^.

2

1， ， ， 为规范 标准 正交向量组 则称   _ _s

^{1 0 , 0}^, ₂ ^{0, 1, , 0}^{, ,} ^{0, 0, , 1}

1       _n  

 _，， 如

的规范正交基 . 是 Rⁿ

^{0 1 0}

2 0 1

2 1 2

0 1 2 1

3 2

1 ，， ， ，， ，  ，，



 

 

 



 



   



3 的规范正交基 . 是 R

三 . 施密特正交化方法

任一线性无关向量组都可规范正交化 . .

, ,

, ,

, ,

3 2

1

3 2

1 3

2 1



















正交向量组

等价的 确定与

， 线性无关 设

  即

使 选择适当的

， 令

, 0 ,

, ,

2 1

1 2

2 1

1





















 k k

^₂ ^{ k}₁^{, }₁ ^{ }₂^{, }₁ ^{ k} ^₁^{, }₁ ^{ 0 ,}

 

 ₁^2,, ₁¹ ^,



 

 k

 

 ^{2,, 1} ^{1 .}

2

2 







 

  

为使 令 ₃  ₃  k₁₁  k₂₂ ,

 ₁^, ₃ ^ ₂^, ₃ ^{ 0 ,} _{则 可推出}

 

   

 ^,,  ^,

, , ,

2 2

2 2 3

1 1

1

1 3  











 _{ }



 k

k

 

   

 ^,,  ^,

, ,

2 2

2

2 1 3

1 1

1 3 3

3 







 







 

   

于是

. ,

, ,

, _{2 3 1 2 3}

1   是与   等价的正交向量组



把线性无关向量组 ₁, ₂,,^s 规范正交化

 

 ₁² ₁¹ ¹

2

2 ,

, 







 

  

 

   

 ³₂ ²₂ ²

1 1

1

1 3 3

3 ,

, ,

, 







 







 

   

1

1 

 

 

   

   

 ^,,  ^.

, , ,

,

1 1

1 2 1

2 2

1 2 1

1

1 





 







 _s

s s

s s

s s s

s 







 







 







 

 _









 ^{1, 2, ,} ^,

1 _i i s

i

i    

  再令

. ,

,

,   为规范正交向量组

 _

例 3 设  

.

, ,

, ,

, , 1 , 1 ,

1 _{2 3 1 2 3}

1

正交向量组

为 使

求     

 

  _则

正交的向量为 设与

解 ₁   x₁, x₂, x₃ ,

^₁^,  ^{ x}₁ ^{ x}₂ ^{ x}₃ ^{ 0}

^{1, 0, 1} ^, ₂ ^{0, 1, 1}

1   X  

X

其基础解系为

^{1, 0, 1} ^,

,

1 2

2 1





 X X X



： 正交化 将

 

    ^{1, 0, 1}

2 1 1

, 1 , , 0

,

2 2

2

2 2 2

3       





 X ^X 

例 4 将 ^₁ ^ ^{1, 1, 1} ^,₂ ^ ^{1, 2, 1} ^,₃ ^ ^{0,  1,1}

规范正交化 .

^{1, 1, 1} ^,

1 1    设 

解  

     

 ^{1, 2, 1} ^,

3 1

1 , 1 , 3 1 1 4

, 2 , , 1

,

1 1

1

1 2 2

2













 







 



 

   

 ³₂ ²₂ ²

1 1

1

1 3 3

3 ,

, ,

, 







 







 

   

 ^{1, 0, 1} ^,

1 2

  

^{1, 1, 1}

3 1 1

1 1

1   

 

 ^{1, 2, 1}

6 1 1

2 2

2     

 

 ^{1, 0, 1} ^.

2 1 1

3 3

3    

 

1 .

单位化即可 只需将

， 单位化 将

：

注意   

 k

为什么 ？

1 . 1

1 , 1

1 1

1 

 

 





 

   







 k

k k

四 . 正交矩阵

： 的列向量组 作矩阵

中的

将例4  ₁,  ₂, ₃ A

 































2 1 6

1 3

1

6 0 2 3

1 2

1 6

1 3

1

3 2

1  

 A

 AAT























1 1

1

6 0 2 3

1 2

1 6

1 3

1























0 1

1 6

1 6

2 6

1 3

1 3

1 3

1

 I

1. 定义 若实矩阵 A 满足 AA^T=A^TA=I , 则 称 A

为正交矩阵 . 2. 性质  ^{1 A1  AT ,}

 ^{2 A  1 ,}

.

2 1







 A A A I A

A^{T T}

 ³ _{正交矩阵的乘积也是正交矩阵} ^.

则 设 A^T A  AA^T  I B^T B  BB^T  I ,

 ^AB ^{T AB} ^{ BT AT AB  BT B  I .}

   

. 4

都是规范正交向量组

向量组 列

的行

为正交矩阵 A

A 

 

设

证 ² _{1 2} ,

1

T n T

T T

n

A

A   







  























I AA

T n n T

n T

n

T n T

T

T n T

T

T 









































































2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

  ^.

0 ,

1 _{i j}^T i j

T i

i   

    

 _i ^, _i  ^{ 1 ,}





    

例 5 设 ₁,₂,₃ 都是3维实列向量 ，且

^₁ ^₂ ^₃  _{为正交矩阵 ，}

 A

^{2 2}  ^,

3 1

3 2

1

1   

   

^{2 2}  ^,

3 1

3 2

1

2   

   

 ^{2 2}  ^,

3 1

3 2

1

3   

   





：

证明 B    





： 分析

证 _ ^{A } ^₁ ^₂ ^₃ _{为正交矩阵 ，}





 _i  _j i j _i _i i

  _



 



    

 _{1 2 3 1 2 3}

2

1 3

2 3

1 3

, 2 3

1 3

2 3

,  2     



     ^,  ^{0 ,}

9 , 2

9 , 2

9 4

3 3

2 2

1

1   

      

 ^₁^{, }₃  ^{ }₂^{, }₃ ^{ 0 .}

同样，

 

     ^,  ^{1 ,}

9 , 1

9 , 4

9 4

,

3 3

2 2

1 1

1 1

1





























.

 1

 

， 同样

例 6 设 A 是奇数阶正交矩阵且 detA=1 . 证明 ： 1 是 A 的特征

 ¹ 是否存在向量值 .  ^, 使 A  ¹ ^?

： 分析

 ^{2 1I  A  0 ?}

 ^T

T

T A A A I A I

AA A

I       

1 证 :

  ^{I A I A}

I

A    ⁿ    

 1 1

. 0

1  

 I A