正比與反比正比與反比

全文

(1)

自我評量 正比

反比

正比與反比

(2)

在國小時已經學過了正比例,例如要調配 出家用消毒水,必須將漂白水與清水按照 1 : 99 的比例調配。如下表所示:

正比

搭配頁數 P.136

正比與反比

(3)

搭配頁數 P.136

 在上表中,漂白水與清水的比例為

1 : 99 = 2 : 198 = 3 : 297 = ,皆⋯⋯

為相等的比 ( 即二者的比值成定值 ) ,當 漂白水的量變為原來的 a 倍時,清水的量 必須也跟著變為原來的 a 倍,像這種情況

,就稱漂白水的量和清水的量成正比。

(4)

搭配頁數 P.136

當 x 改變時, y 也隨著改變,且 y : x 的比值為定值 k (k ≠ 0) ,就稱 y 與 x 成 正比,也可以寫成關係式 y = kx , k ≠ 0

正比

如果調配出的家用消毒水中,漂白水有 x 毫升,清水有 y 毫升,因為漂白水與

水的調配比例是 1 : 99 ,所以 x : y = 1

: 99 。由內項乘積等於外項乘積可知, x 與 y

的關係式寫為 y = 99x 。

(5)

a 分鐘騎了 0.25×a = 0.25a( 公里 ) 關係式為 y3 分鐘騎了 0.25×3= 0.25 x= 0.75( 公里 )

4 分鐘騎了 0.25×4 = 1( 公里 ) 由上表可以看出 y : x = 0.25 : 1

固定速率,距離與時間的關係

距離=速率 × 時間,

小安騎自行車,以每分鐘 0.25 公里的速率行進,如果以 x( 分鐘 ) 表示他 騎乘的時間,以 y( 公里 ) 表示他所騎乘的距離,完成下列各題:

(1) 將正確的數填入下表:

搭配頁數 P.137

x( 分鐘 ) y( 公里 )

10 2

0.5 5

3 20

0.75

4

(2) 列出 x 與 y 的關係式,並判別 y 與 x 是否成正比。

時間=距離 ÷ 速率 騎 2.5 公里需要 2.5÷0.25 = 10( 分 鐘 )

騎 5 公里需要 5 ÷0.25 = 20( 分鐘 ) 因此 y 與 x 成正比

2 分鐘騎了 0.25×2 = 0.5( 公里 )

(6)

正比關係

(1) 設 x 與 y 關係式為 y = kx , k ≠ 0

得 - 6 = 2k

已知 y 與 x 成正比,且 x = 2 時, y =- 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 y = 2 時, x 是多少?

搭配頁數 P.138

將 x = 2 , y =- 6 代入 y = kx

⇒ k =- 3

關係式為

y =- 3x

(2) 將 y = 2 代入 y =- 3x

得 2 =- 3x

(7)

(1) 設 x 與 y 關係式為 y = kx , k ≠ 0

得 8 = 5k

已知 y 與 x 成正比,且 x = 5 時, y = 8 。

(1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 3 時, y 是多少?

搭配頁數 P.138

將 x = 5 , y = 8 代入 y = kx

(8)

(1) 如果 x 與 y 滿足關係式 x + y

= 0 ,則 y 與 x 是否成正比?

(2) 如果 x 與 y 滿足關係式 x - y

= 1 ,則 y 與 x 是否成正比?

(1) x + y = 0 ⇒ y = - x

y 與 x 成正比

(2) x - y = 1 = 0 ⇒ y = x - 1

y 與 (x - 1) 成正比 y 與 x 不是成正比

不是

搭配頁數 P.138

(9)

物重與彈簧秤伸長量的關係

物重 y 公克時,彈簧的伸長量 x 公分 已知 y = 15 時, x = 2 ,

已知彈簧秤在彈性限度 ( 可正確秤得的最大重量 ) 內,所掛物重與彈簧伸長量成正比。假設一彈簧秤 的彈性限度為 40 公克,已知秤 15 公克重的物體 時,彈簧的伸長量是 2 公分,則此彈簧秤秤 9 公 克重的物體時,彈簧的伸長量是多少公分?

搭配頁數 P.139

則 y 與 x 成正比,設 y = kx , k ≠ 0

代入 y = kx 得 15 = 2k

(10)

假設物體在火星上的重量為 y 公斤時,

在地球上的重量為 x 公斤,

得 24 = 60k

已知物體在火星上的重量與在地球上的重量成正比

。一個在地球上重量 60 公斤的人,在火星上的重 量是 24 公斤,則在地球上重量 900 公斤的火星探 測車 「 好奇號」,在火星上的重量是多少公斤?

搭配頁數 P.139

可設 y = kx , k ≠ 0

所以在火星上的重量是 360 公斤

(11)

繪製面積為 120 平方公分的長方形,會有 非常多的畫法,這些長方形的長與寬之長度關 係,如下表所示:

反比 搭配頁數 P.140

(12)

搭配頁數 P.140

當 x 改變時, y 也隨著 x 改變,且 x

與 y 的乘積為定值 k( k ≠ 0) ,就稱 y 與 x 成反比,也可以寫成關係式 xy = k , k

≠ 0 。 反比

(13)

固定速率,距離與時間的關係

時間=距離 ÷ 速率,

時速 3 公里,需時 24÷3 = 8( 小時 )

甲、乙兩村相距 24 公里,士哲以每小時 x 公里 的速率從甲村到乙村,所需的時間為 y 小時,完 成下列各題:

(1) 將正確的數填入下表:

搭配頁數 P.141

x( ) y( 小時 )

8

2

1.5

16

3

8

4

(2) 寫出 x 與 y 的關係式,並判別 y 與 x 成正比或反比?

時速 4 公里,需時 24÷4 = 6( 小時 ) 速率=距離 ÷ 時間

花 3 小時走完,速率為 24÷ 3 = 8 ( 公里 / 小

時 )花 1.5 小時走完,速率為 24÷1.5 = 16 ( 公里 /

小時 )

x 與 y 的關係式為 xy = 24 , y 與 x 成反比

公里 小時

(14)

一天有 24 小時,分成白晝與黑夜,夏天 晝長夜短,冬天晝短夜長,則白晝與黑夜的 時間長短是否成反比?為什麼?

否。

設白晝的時間為 x 小時,

黑夜的時間為 y 小時,

因此不成反比。

可得關係式為 x + y = 24 ,

搭配頁數 P.141

(15)

反比關係

(1) 設 x 與 y 關係式為 xy = k , k ≠ 0 。

得 2×6 = k

已知 y 與 x 成比,且 x = 2 時, y = 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 8 時, y 是多少?

搭配頁數 P.142

將 x = 2 , y = 6 代入 xy = k

⇒ k = 12

關係式為

xy = 12

(2) 將 x = 8 代入 xy = 12

得 8y = 12

(16)

(1) 設 x 與 y 關係式為 xy = k , k ≠ 0 。

得 3×( - 6) = k

已知 y 與 x 成反比,且 x = 3 時, y =- 6 。

(1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 2 時, y 是多少?

搭配頁數 P.142

將 x = 3 , y =- 6 代入 xy = k

得 2y =- 18

(17)

反比關係的應用

(1) 設 x 與 y 的關係式為 xy = k , k ≠ 0 可得 80×1.5 = k

已知路程固定時,汽車的車速與行車時間成反比。如果王 老師每次開車回娘家所行駛的路程皆相同,且在車速是每 小時 80 公里時,行車時間是 1.5 小時

(1)假設王老師的車速是每小時 x 公里,行車的時間   是 y 小時,寫出 x 與 y 的關係式。

(2) 如果王老師的車速是每小時 100 公里,則王老師   的行車時間是多少小時?

搭配頁數 P.143

將 x = 80 , y = 1.5 代入 xy = k

⇒ k = 120

(2) 將 x = 100 代入 xy = 120 ,

x 與 y 的關係式為 xy= 120

得 100y = 120⇒ y = 1.2

行車時間是 1.2 小時

(18)

(1) 長方形 A 的面積為 12×14 = 168 (2) 將 x = 21 代入 xy = 168

已知面積相同的長方形,其長與寬的長度成反比。如果 長方形 A 、 B 的面積相同,且長方形 A 的長是 12 公 分,寬是 14 公分。

(1) 假設長方形 B 的長是 x 公分,寬是 y 公分,

寫出 x 與 y 的關係式。

(2) 如果長方形 B 的長是 21 公分,則寬是多少公 分?

搭配頁數 P.143

x 與 y 的關係式為 xy = 168 得 21y = 168⇒ y = 8

寬是 8 公分

(19)

正比:

當 x 改變時, y 也隨著改變,且 y: x 的 比值為定值 k ( k ≠ 0 ) ,就稱 y 與 x 成正 比,也可以寫成關係式 y= kx , k ≠ 0 。

搭配頁數 P.144

y 與 x 成正比, y = 10 時, x = 2 ,則 y 與 x 的關係式為 y = 5x

(20)

搭配頁數 P.144

反比:

當 x 改變時, y 也隨著改變,且 x 與 y 乘積為定值 k ( k ≠ 0 ) ,就稱 y 與 x 成反 比,也可以寫成關係式 xy= k , k ≠ 0 。

y 與 x 成反比, y = 10 時, x = 2 ,則 y 與 x 的關係式為 xy = 20

(21)

搭配頁數 P.144

(22)

已知 y 與 x 成正比,且 x = 91 時, y = 7 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 52 時, y 是多少?

搭配頁數 P.145

(1) 設 x 與 y 關係式為 y = kx , k ≠ 0

得 7 = 91k

將 x = 91 , y = 7 代入 y = kx

1

(23)

已知物體的重量與其體積成正比,有一個體積是 100 立方公分的鐵塊,它的重量是 790 公克。

(1) 假設有一個體積是 x 立方公分的鐵塊,它的重 量是 y 公克,寫出 x 與 y 的關係式。

(2) 如果有一個鐵塊體積是 50 立方公分,則它的重 量是多少公克?

(3) 如果有一個鐵塊重量是 1580 公克,則它的體積 是多少立方公分?

搭配頁數 P.145

(1) 設 y = kx , k ≠ 0 , 得 790 = 100k

將 x = 100 , y = 790 代入,關係式為 y = 7.9x

(2) 將 x = 50 代入 y = 7.9x , ,重 395 公克

(3) 將 y = 1580 代入 y = 7.9x

體積 200 立方公分

2

(24)

已知 y 與 x 成反比,且 x = 15 時, y = 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 4 時, y 是多少?

搭配頁數 P.145

(1) 設 x 與 y 關係式為 xy = k , k ≠ 0

得 15×6 = k

將 x = 15 , y = 6 代入 xy = k

3

(25)

設賣出 x 個時,賣出單價為 y 元,

可得 k = 160×40000=6400000

某種商品賣出的個數與賣出單價的平方成反 比,如果賣出單價為 200 元時,可賣出 160 個,則賣出單價為 400 元時,可以賣出多少 個商品?

搭配頁數 P.145

已知 y = 200 時, x = 160 ,代入 xy2 = k

依題意可設 xy2 = k , k ≠ 0

關係式為 xy2= 6400000

當 y = 400 時,代入 xy2= 6400000

可得 160000x = 6400000

: 40 個

4

(26)

小偉的遊戲機充滿電後,可

 用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題:

搭配頁數 P.146

(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後,小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點,並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電,則遊戲機會在何時沒電?請完整寫出你的解題過 程。

若遊戲機充滿電後,可用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時,故

在同樣的電量下,播放音樂的時間:玩遊 戲的時間= 36 : 6 = 6 : 1 。

續下頁

(27)

小偉的遊戲機充滿電後,可

 用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題:

搭配頁數 P.146

(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後,小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點,並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電,則遊戲機會在何時沒電?請完整寫出你的解題過 程。

設下午 3 點後,繼續玩遊戲 x 小時後 沒電。

小偉從早上 7 點到下午 3 點播放音樂

,共經過 8 個小時,

續下頁

(28)

小偉的遊戲機充滿電後,可

 用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題:

搭配頁數 P.146

(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後,小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點,並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電,則遊戲機會在何時沒電?請完整寫出你的解題過 程。

續下頁

(29)

小偉的遊戲機充滿電後,可

 用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題:

搭配頁數 P.146

(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後,小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點,並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電,則遊戲機會在何時沒電?請完整寫出你的解題過 程。

:下午 7 點 40 分。

(30)

設經過 x 小時沒電

(2) 隔天小偉將遊戲機充滿電開始使用,直到沒電,且 播放音樂的時間:玩遊戲的時間= 2 : 1 ,則遊戲 機共使用了多少時間?請完整寫出你的解題過程。

搭配頁數 P.146

又播放音樂的時間:玩遊戲的時間= 2 1

⇒ 6x = 108 - 2x

(31)

搭配頁數 P.147

(32)

搭配頁數 P.147

(33)

搭配頁數 P.147

(34)

搭配頁數 P.147

(35)

搭配頁數 P.147

(36)

搭配頁數 P.147

利用此表格中弦長的比值關係所訂定的音階,稱為畢氏音 階,經由修訂就成為現在所用的音階調整規則。

(37)

結束播放

正比與反比

(38)

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