自我評量 正比
反比
正比與反比
在國小時已經學過了正比例，例如要調配 出家用消毒水，必須將漂白水與清水按照 1 ： 99 的比例調配。如下表所示：
正比
搭配頁數 P.136
正比與反比
搭配頁數 P.136
在上表中，漂白水與清水的比例為
1 ： 99 ＝ 2 ： 198 ＝ 3 ： 297 ＝ ，皆⋯⋯
為相等的比 ( 即二者的比值成定值 ) ，當 漂白水的量變為原來的 a 倍時，清水的量 必須也跟著變為原來的 a 倍，像這種情況
，就稱漂白水的量和清水的量成正比。
搭配頁數 P.136
當 x 改變時， y 也隨著改變，且 y ： x 的比值為定值 k (k ≠ 0) ，就稱 y 與 x 成 正比，也可以寫成關係式 y ＝ kx ， k ≠ 0
。
正比
如果調配出的家用消毒水中，漂白水有 x 毫升，清水有 y 毫升，因為漂白水與 清
水的調配比例是 1 ： 99 ，所以 x ： y ＝ 1
： 99 。由內項乘積等於外項乘積可知， x 與 y
的關係式寫為 y ＝ 99x 。
a 分鐘騎了 0.25×a ＝ 0.25a( 公里 ) 關係式為 y3 分鐘騎了 0.25×3＝ 0.25 x＝ 0.75( 公里 )
4 分鐘騎了 0.25×4 ＝ 1( 公里 ) 由上表可以看出 y ： x ＝ 0.25 ： 1
固定速率，距離與時間的關係
距離＝速率 × 時間，
小安騎自行車，以每分鐘 0.25 公里的速率行進，如果以 x( 分鐘 ) 表示他 騎乘的時間，以 y( 公里 ) 表示他所騎乘的距離，完成下列各題：
(1) 將正確的數填入下表：
搭配頁數 P.137
解
x( 分鐘 ) y( 公里 )
10 2
0.5 5
3 20
0.75
4
(2) 列出 x 與 y 的關係式，並判別 y 與 x 是否成正比。
時間＝距離 ÷ 速率 騎 2.5 公里需要 2.5÷0.25 ＝ 10( 分 鐘 )
騎 5 公里需要 5 ÷0.25 ＝ 20( 分鐘 ) 因此 y 與 x 成正比
2 分鐘騎了 0.25×2 ＝ 0.5( 公里 )
正比關係
(1) 設 x 與 y 關係式為 y ＝ kx ， k ≠ 0
得 － 6 ＝ 2k
已知 y 與 x 成正比，且 x ＝ 2 時， y ＝－ 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 y ＝ 2 時， x 是多少？
搭配頁數 P.138
解
將 x ＝ 2 ， y ＝－ 6 代入 y ＝ kx
⇒ k ＝－ 3
關係式為
y ＝－ 3x
(2) 將 y ＝ 2 代入 y ＝－ 3x
得 2 ＝－ 3x
(1) 設 x 與 y 關係式為 y ＝ kx ， k ≠ 0
得 8 ＝ 5k
已知 y 與 x 成正比，且 x ＝ 5 時， y ＝ 8 。
(1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x ＝ 3 時， y 是多少？
搭配頁數 P.138
解
將 x ＝ 5 ， y ＝ 8 代入 y ＝ kx
(1) 如果 x 與 y 滿足關係式 x ＋ y
＝ 0 ，則 y 與 x 是否成正比？
(2) 如果 x 與 y 滿足關係式 x － y
＝ 1 ，則 y 與 x 是否成正比？
(1) x ＋ y ＝ 0 ⇒ y ＝ － x
y 與 x 成正比 是
(2) x － y ＝ 1 ＝ 0 ⇒ y ＝ x － 1
y 與 (x － 1) 成正比 y 與 x 不是成正比
不是
解
搭配頁數 P.138
物重與彈簧秤伸長量的關係
物重 y 公克時，彈簧的伸長量 x 公分 已知 y ＝ 15 時， x ＝ 2 ，
已知彈簧秤在彈性限度 ( 可正確秤得的最大重量 ) 內，所掛物重與彈簧伸長量成正比。假設一彈簧秤 的彈性限度為 40 公克，已知秤 15 公克重的物體 時，彈簧的伸長量是 2 公分，則此彈簧秤秤 9 公 克重的物體時，彈簧的伸長量是多少公分？
搭配頁數 P.139
解
則 y 與 x 成正比，設 y ＝ kx ， k ≠ 0
代入 y ＝ kx 得 15 ＝ 2k
假設物體在火星上的重量為 y 公斤時，
在地球上的重量為 x 公斤，
得 24 ＝ 60k
已知物體在火星上的重量與在地球上的重量成正比
。一個在地球上重量 60 公斤的人，在火星上的重 量是 24 公斤，則在地球上重量 900 公斤的火星探 測車 「 好奇號」，在火星上的重量是多少公斤？
搭配頁數 P.139
解
可設 y ＝ kx ， k ≠ 0
所以在火星上的重量是 360 公斤
繪製面積為 120 平方公分的長方形，會有 非常多的畫法，這些長方形的長與寬之長度關 係，如下表所示：
反比 搭配頁數 P.140
搭配頁數 P.140
當 x 改變時， y 也隨著 x 改變，且 x
與 y 的乘積為定值 k( k ≠ 0) ，就稱 y 與 x 成反比，也可以寫成關係式 xy ＝ k ， k
≠ 0 。 反比
固定速率，距離與時間的關係
時間＝距離 ÷ 速率，
時速 3 公里，需時 24÷3 ＝ 8( 小時 )
甲、乙兩村相距 24 公里，士哲以每小時 x 公里 的速率從甲村到乙村，所需的時間為 y 小時，完 成下列各題：
(1) 將正確的數填入下表：
搭配頁數 P.141
解
x( ) y( 小時 )
8
2
1.5
16
3
8
4
(2) 寫出 x 與 y 的關係式，並判別 y 與 x 成正比或反比？
時速 4 公里，需時 24÷4 ＝ 6( 小時 ) 速率＝距離 ÷ 時間
花 3 小時走完，速率為 24÷ 3 ＝ 8 ( 公里 / 小
時 )花 1.5 小時走完，速率為 24÷1.5 ＝ 16 ( 公里 /
小時 )
x 與 y 的關係式為 xy ＝ 24 ， y 與 x 成反比
公里 小時
一天有 24 小時，分成白晝與黑夜，夏天 晝長夜短，冬天晝短夜長，則白晝與黑夜的 時間長短是否成反比？為什麼？
否。
設白晝的時間為 x 小時，
黑夜的時間為 y 小時，
因此不成反比。
可得關係式為 x ＋ y ＝ 24 ，
解
搭配頁數 P.141
反比關係
(1) 設 x 與 y 關係式為 xy ＝ k ， k ≠ 0 。
得 2×6 ＝ k
已知 y 與 x 成反比，且 x ＝ 2 時， y ＝ 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x ＝ 8 時， y 是多少？
搭配頁數 P.142
解
將 x ＝ 2 ， y ＝ 6 代入 xy ＝ k
⇒ k ＝ 12
關係式為
xy ＝ 12
(2) 將 x ＝ 8 代入 xy ＝ 12
得 8y ＝ 12
(1) 設 x 與 y 關係式為 xy ＝ k ， k ≠ 0 。
得 3×( － 6) ＝ k
已知 y 與 x 成反比，且 x ＝ 3 時， y ＝－ 6 。
(1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x ＝ 2 時， y 是多少？
搭配頁數 P.142
解
將 x ＝ 3 ， y ＝－ 6 代入 xy ＝ k
得 2y ＝－ 18
反比關係的應用
(1) 設 x 與 y 的關係式為 xy ＝ k ， k ≠ 0 可得 80×1.5 ＝ k
已知路程固定時，汽車的車速與行車時間成反比。如果王 老師每次開車回娘家所行駛的路程皆相同，且在車速是每 小時 80 公里時，行車時間是 1.5 小時
(1)假設王老師的車速是每小時 x 公里，行車的時間 是 y 小時，寫出 x 與 y 的關係式。
(2) 如果王老師的車速是每小時 100 公里，則王老師 的行車時間是多少小時？
搭配頁數 P.143
解
將 x ＝ 80 ， y ＝ 1.5 代入 xy ＝ k
⇒ k ＝ 120
(2) 將 x ＝ 100 代入 xy ＝ 120 ,
x 與 y 的關係式為 xy＝ 120
得 100y ＝ 120⇒ y ＝ 1.2
行車時間是 1.2 小時
。
(1) 長方形 A 的面積為 12×14 ＝ 168 (2) 將 x ＝ 21 代入 xy ＝ 168
已知面積相同的長方形，其長與寬的長度成反比。如果 長方形 A 、 B 的面積相同，且長方形 A 的長是 12 公 分，寬是 14 公分。
(1) 假設長方形 B 的長是 x 公分，寬是 y 公分，
寫出 x 與 y 的關係式。
(2) 如果長方形 B 的長是 21 公分，則寬是多少公 分？
搭配頁數 P.143
解
x 與 y 的關係式為 xy ＝ 168 得 21y ＝ 168⇒ y ＝ 8
寬是 8 公分
正比：
當 x 改變時， y 也隨著改變，且 y： x 的 比值為定值 k ( k ≠ 0 ) ，就稱 y 與 x 成正 比，也可以寫成關係式 y＝ kx ， k ≠ 0 。
搭配頁數 P.144
y 與 x 成正比， y ＝ 10 時， x ＝ 2 ，則 y 與 x 的關係式為 y ＝ 5x
搭配頁數 P.144
反比：
當 x 改變時， y 也隨著改變，且 x 與 y的 乘積為定值 k ( k ≠ 0 ) ，就稱 y 與 x 成反 比，也可以寫成關係式 xy＝ k ， k ≠ 0 。
y 與 x 成反比， y ＝ 10 時， x ＝ 2 ，則 y 與 x 的關係式為 xy ＝ 20
搭配頁數 P.144
已知 y 與 x 成正比，且 x ＝ 91 時， y ＝ 7 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x ＝ 52 時， y 是多少？
搭配頁數 P.145
解 (1) 設 x 與 y 關係式為 y ＝ kx ， k ≠ 0
得 7 ＝ 91k
將 x ＝ 91 ， y ＝ 7 代入 y ＝ kx
1
已知物體的重量與其體積成正比，有一個體積是 100 立方公分的鐵塊，它的重量是 790 公克。
(1) 假設有一個體積是 x 立方公分的鐵塊，它的重 量是 y 公克，寫出 x 與 y 的關係式。
(2) 如果有一個鐵塊體積是 50 立方公分，則它的重 量是多少公克？
(3) 如果有一個鐵塊重量是 1580 公克，則它的體積 是多少立方公分？
搭配頁數 P.145
解 (1) 設 y ＝ kx ， k ≠ 0 ， 得 790 ＝ 100k
將 x ＝ 100 ， y ＝ 790 代入，關係式為 y ＝ 7.9x
(2) 將 x ＝ 50 代入 y ＝ 7.9x ， ，重 395 公克
(3) 將 y ＝ 1580 代入 y ＝ 7.9x
體積 200 立方公分
2
已知 y 與 x 成反比，且 x ＝ 15 時， y ＝ 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x ＝ 4 時， y 是多少？
搭配頁數 P.145
解 (1) 設 x 與 y 關係式為 xy ＝ k ， k ≠ 0
得 15×6 ＝ k
將 x ＝ 15 ， y ＝ 6 代入 xy ＝ k
3
設賣出 x 個時，賣出單價為 y 元，
可得 k ＝ 160×40000=6400000
某種商品賣出的個數與賣出單價的平方成反 比，如果賣出單價為 200 元時，可賣出 160 個，則賣出單價為 400 元時，可以賣出多少 個商品？
搭配頁數 P.145
已知 y ＝ 200 時， x ＝ 160 ，代入 xy2 ＝ k
依題意可設 xy2 ＝ k ， k ≠ 0
關係式為 xy2＝ 6400000
當 y ＝ 400 時，代入 xy2＝ 6400000
可得 160000x ＝ 6400000
： 40 個
4
解
小偉的遊戲機充滿電後，可
用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題：
搭配頁數 P.146
(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後，小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點，並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電，則遊戲機會在何時沒電？請完整寫出你的解題過 程。
解 若遊戲機充滿電後，可用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時，故
在同樣的電量下，播放音樂的時間：玩遊 戲的時間＝ 36 ： 6 ＝ 6 ： 1 。
續下頁
小偉的遊戲機充滿電後，可
用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題：
搭配頁數 P.146
(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後，小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點，並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電，則遊戲機會在何時沒電？請完整寫出你的解題過 程。
解 設下午 3 點後，繼續玩遊戲 x 小時後 沒電。
小偉從早上 7 點到下午 3 點播放音樂
，共經過 8 個小時，
續下頁
小偉的遊戲機充滿電後，可
用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題：
搭配頁數 P.146
(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後，小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點，並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電，則遊戲機會在何時沒電？請完整寫出你的解題過 程。
解
續下頁
小偉的遊戲機充滿電後，可
用來連續播放音樂 36 個小時或連續玩遊戲 6 個小時。試回答下列問題：
搭配頁數 P.146
(1) 若遊戲機在某天早上 7 點充滿電後，小偉馬上使用遊戲機播 放音樂直到下午 3 點，並從下午 3 點繼續使用遊戲機玩遊戲 直到它沒電，則遊戲機會在何時沒電？請完整寫出你的解題過 程。
解
：下午 7 點 40 分。
設經過 x 小時沒電
(2) 隔天小偉將遊戲機充滿電開始使用，直到沒電，且 播放音樂的時間：玩遊戲的時間＝ 2 ： 1 ，則遊戲 機共使用了多少時間？請完整寫出你的解題過程。
搭配頁數 P.146
解
又播放音樂的時間：玩遊戲的時間＝ 2 ： 1
⇒ 6x ＝ 108 － 2x
搭配頁數 P.147
搭配頁數 P.147
搭配頁數 P.147
搭配頁數 P.147
搭配頁數 P.147
搭配頁數 P.147
利用此表格中弦長的比值關係所訂定的音階，稱為畢氏音 階，經由修訂就成為現在所用的音階調整規則。
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解
