國立高師大附中 103 學年度第 2 學期第二次段考高二數學科社會組試題

(1)

國立高師大附中103 學年度第 2 學期第二次段考高二數學科社會組試題

一、多重選擇題：30 分（每題全對得 6 分，只錯一個選項得 3 分，其餘不給分）

. 若一平面 E (

1)平面 E 的方程式為³^x^²^{y z}^{ }¹　(2)四面體O ABC 的體積為 1　(3) ABC 的面積為 7　 ( 4)原點 O 到平面 E 的距離為³7　(5)平面 E 與 xy 平面的夾角餘弦值為鋭 ⁶₇。

2. 在空間中﹐下列選項中的方程組﹐何者圖形是一直線？　

(

1) ₄ ₂

1 3

x  y



﹐ 1 z 

　(2)

3x2y1

　(3) ² ⁰

3 6 3 2

x y z x y z

  

   



　 (4) 0

2 x y t z

 

 

  



﹐ 0 t

(

5)

11 3 2 5 0

x z

y z

z

  

  

 



。

3. 討論下列空間中三直線的關係：

^L

¹

^: ^x _ ^ ₁ ¹ ^ ^y ₁ ^ ¹ ^ ₂ ^z

，

^L

²

^: ^x ₂ ^ ¹ ^ ^y ₄ ^ ¹ ^ ^z _ ^ ₁ ¹

，

^L

³

^: ₂ ^x ^{ } ₄ ^y ^z _ ^ ₁ ²

，則下列何者正確？

(1)

L

¹ 與

L

²

垂直　(2)

L

² 與

L

³

平行　(3)

L

¹ 與

L

³

相交於一點　(4)

L

¹

，

L

²

，

L

³

三直線共平面　

(5)

L

¹

平行^E^{: 3}^{x y}^{ }²^z^⁴。

4. 若實係數方程組

L

的增廣矩陣為

1 2 3 1 1 1 1

3 2 1

b a

   

   

 

   

 

，則下列敘述何者正確？

(1)　若

a

4

b

 ，則方程組無解3

(2)　若

a

4

b

  ，則方程組恰有一組解1 (3)　若方程組 L 有解，則

a

4

b

 1

(2)

(4)　若適當的選取數對^{( , )}^{a b} ，可使方程組

L 恰有一組解

(5)　若方程組 L 有解，則^a²^b²的最小值為

₁₇ ¹

。

5. 已知A B C, , 均為2 階方陣，又 ²

0 0

O

0 0

  

  ， ²

1 0

I

0 1

  

  ，則下列敘述何者正確？

( 1)若

A

2 

A

，則

A O

 ²

或

A I

 ²

( 2)若

AB I

 ²

，則

2 2

B A  I

2

( 3)若 AB

AC

且 A O ，則 B C

( 4)若^{A B C}^{, ,} 是轉移矩陣，則 AB AC 也是轉移矩陣

( 5)若^{A B}^, 的反方陣存在，則 AB 的反方陣存在且

1 1 1

(

AB

)^ 

A B

^ ^

。

二、填充題：70 分（配分如下表，全對才給分）

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

得分 6 12 18 24 30 35 40 45 50 54 58 62 66 70 1. 空間坐標系中有一平面鏡 E ，有一雷射光線經過點^A^{(1,3, 2)}射向鏡面

E 上的點

(0,1, 0)

B ，反射又經過點^C^{( 4,5, 2)}^ ，則平面

E 方程式為。

2. 已知一平面_{E x}_: _₃_y_₂_z_{ }_{4 0}與一直線 L ：

2 ¹ 3 ⁶ 5 ¹ x  y  z 

 



，則在空間中包含 L 且與

E 垂直的平面方程式為。

3. 設點^{P x y z}^{( , , )}為平面^E^{: 2}^{x y}^{ }³^z^{ }^{1 0}上的任一點，則(

x

1)²(

y

2)² (

z

3)²的最小值為。

4. 空間坐標系中， ABC 的三頂點^A^{(2, 3,5)}^ ，^B^(3,0,10)，^{C x y}^{( , ,0)}，求當 ABC 的周長為最小值時，此時

^C

點坐標為。

(3)

5. 若甲乙兩螞蟻分別沿著空間中相交於一點的兩直線

L ：

¹

^x ^ ³ ² ^ ^y ^ ^ ¹ ² ^ ^z ^ ^ ² ³

與

L ：

²

2 0

2 5 1

x y z ax y z

  

   

 移動，若兩螞蟻相遇在點^{( , , )}^{p q r} ，則序組^{( , , , )}^{a p q r} ^ 。

6. 若

3 2 2 13 3

5 2 1

x y z x y z a

x y z

  

   

   

 與

2 6

2 3 12

3 4

x y bz x y z cx y z

   

    

   

 均表

, ,

x y z

的三元一次聯立方程組﹐若兩方程組為

同 義方程組﹐且恰有唯一解﹐則 a b c  之值為。

7. 若矩陣 A 與 B 滿足

1 2 0 2 3 1 2

A B

 

     ﹐

0 1 2 3 1 0 1

B A

  

   

  ﹐則5B A 

。

8. 設

A a

^{i j} ^{10 5}

  

   ，

B b

^{i j} ^{5 10}

 

   ，其中

^a

^{i j}

^{ } ⁱ ^j

且

^b

^{i j}

^{ } ⁱ ^j

，令

^{AB C} ^{   } ^{ } ^c

^{i j} ，則

c

55 

。

9. 設

1 0 0 1 1 1 0 1 0 , 1 1 1 0 0 1 1 1 1

I J

   

   

   

   

   。若

₍ ¹ ₎

¹⁰

I  3 J  aI bJ 

（ ,

a b R）, 則數對

( , )a b 

。

10. 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。

統計發現高收入的人口一直是低收入人口的三倍，且知在高收入的人口中，每年有兩成會轉變為低收入。請問在低收入的人口中，每年有幾成會轉變為高收入？答：。

11. 設

2 1 1

A t

t

 

    ， 3

B t

t

 

    ，其中t 為實數，若一次方程組

A x B y

 

   有無限多組解，

(4)

則

t 之值為。

12. 設實係數二階方陣 A 滿足

9 1 4 5

A

      

    ，

7 2 3 1

A

      

    。若

1 2 5 1

A a c

b d

   

    

    ，則

方陣

a c b d

 

 

  。

13. 設

1 0 2 5 1

, ,

0 2 1 3

A

 

P

 

B PAP

 ^

    ，則

B

⁵  。

4. 已知

5 2 7 3

a b e f

c d g h

     

     

     

國立高師大附中103 學年度第 2 學期第二次段考高二數學科社會組答案卷 高二班座號: 姓名:

1. 2. 3. 4. 5.

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

得分 6 12 18 24 30 35 40 45 50 54 58 62 66 70

1. 2. 3. 4. 5.

(5)

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

國立高師大附中103 學年度第 2 學期第二次段考高二數學科社會組答案卷 高二班座號: 姓名:

1.

25

2.

1

3.

23

4.

135

5.

2

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

得分 6 12 18 24 30 35 40 45 50 54 58 62 66 70

1.

4 3 4 0

x y z  2.

+ 4

x y z 

3.

18 7

4.

( , 2,0)7 3 

5.

(4,1,1, 1)

6. 7. 8. 9. 10.

(6)

5 2 3 2 7 2 5

 

  

 

 70 ^{(1, 341)} 6

11.

2

12.

3 7 4 9

 

  

 

13.

154 310 93 187

 

  

 

14.

(2,-2)

國立高師大附中 103 學年度第 2 學期第二次段考高二數學科社會組試題

L

: x   1 1  y 1  1  2 z

L

: x 2  1  y 4  1  z   1 1

L

: 2 x   4 y z   1 2

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

1 2 3 1 1 1 1

3 2 1

b a

   

   

 

   

 

a

b

a

b

a

b

L 恰有一組解

17 1

O

I

A

A

A O

A I

AB I

B A  I

AC

AB

A B

E 上的點

E 方程式為 。

2 1 3 6 5 1 x  y  z 

 



E 垂直的平面方程式為 。

x

y

z

C

L ：

x  3 2  y   1 2  z   2 3

L ：

x y z ax y z

x y z x y z a

x y z

x y bz x y z cx y z

x y z

A B

B A

A a

B b

a

  i j

b

  i j

AB C       c

c

I J

( 1 )

I  3 J  aI bJ 

A t

t

B t

t

^L

^: ^x _ ^ ₁ ¹ ^ ^y ₁ ^ ¹ ^ ₂ ^z

^L

^: ^x ₂ ^ ¹ ^ ^y ₄ ^ ¹ ^ ^z _ ^ ₁ ¹

^L

^: ₂ ^x ^{ } ₄ ^y ^z _ ^ ₁ ²

₁₇ ¹

E 方程式為。

2 ¹ 3 ⁶ 5 ¹ x  y  z 

E 垂直的平面方程式為。

^C

^x ^ ³ ² ^ ^y ^ ^ ¹ ² ^ ^z ^ ^ ² ³

^a

^{ } ⁱ ^j

^b

^{ } ⁱ ^j

^{AB C} ^{   } ^{ } ^c

₍ ¹ ₎

t 之值為。