搜尋

國立聯合大學 資訊管理學系 陳士杰老師

Course 4

搜尋

Search

▓

Outlines

‹

„ Search

{ 分類觀點

{ Linear Search

{ Binary Search

{ Interpolation Search

{ Hashing

‹

‹

‹

Partial Key Partial Key v.s. Whole Key v.s . Whole Key

‹

Actual Key Actual Key v.s v.s . Transformation Key . Transformation Key

▓

Search 分類觀點

Internal Search v.s. External Search

‹

‹

„ Def: 資料量少，可以一次全部置於 Memory Memory 中進行 search之工作

‹

„ Def: 資料量大，無法一次全置於Memory中，須藉助 輔助儲存體 (E.g. Disk)，進行分段search之工作

{ B-tree

{ M-way Search tree

‹

被搜尋的資料集合、資料的搜尋範圍、或資料所存在的表 格，其內容是否經常異動

„ 否: Static

{ 紙本的字典、電話簿

„ 是: Dynamic

{ 日常交易資料、電腦字典

Static Search v.s. Dynamic Search

‹

Def:

„ 又稱

Sequential Search Sequential Search

„ 自左到右 (或右到左)，逐一比較各個記錄的鍵值與搜尋鍵值是

否相同。

„ 若有找到，則Found (成功搜尋); 若Search完整個資料範圍仍未 找到，謂之失敗 (Not found)。

‹

特質:

„ 檔案記錄不須事先排序不須事先排序

„ 可由

Random Access Random Access

Sequential Access Sequential Access

„ Time Complexity:

O(n) O(n )

▓

Linear Search (線性搜尋)

‹

„ Non-Sential (無崗哨) Linear Search

„ Sential Linear Search

Non-Sential Linear Search

//記錄個數

//Array of records (file of records) //欲搜尋的鍵值

//輸出的結果

├ FoundFound: location指出記錄的所在位置

└ Not FoundNot Found: location重設為0

4

2 3 5 … n 1

S

location

1 2

分析

‹

平均比較次數

: (1+2+3+…+n)/n

= n(n+1)/2×1/n = (n+1)/2

>Time: O(n O(n ) )

Sential Linear Search

//記錄個數

//Array of records (file of records) //欲搜尋的鍵值

//輸出的結果

├ FoundFound: location表示出記錄的所在位置

└ Not FoundNot Found: location為0

location

1

‹

觀念: 多一個S[0]記錄，其鍵值設定為x

4

2 3 5 … n 1

S

x

分析

‹

以實際的執行時間

„ 由於少了 “測試測試

Search Search

location <= n)

½ 的比較時間。 ½

‹

以 Time Complexity Time Complexity

„ 由於仍然是線性搜尋，所以時間複雜度還是

O(n) O(n )

▓

‹

實施前提:

„ 檔案中記錄須事先由小到大由小到大排序過

„ 須由

Random ( Random (

Direct) access Direct) access

‹

觀念:

„ 每次皆與Search範圍的中間記錄中間記錄進行比較!!

while ( l ≤ u )

比較 (k, S[m])

case “=”: found, i = m, return i;

case “<”: uu^{= m-1;}

case “>”: ll^{= m+1;}

recurn 0;

… …

小 大

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢ +

= 2 middle

l u

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢ +

= 2

m l u

l m umiddle l m u

S

//找到了

//要找的資料在左半部 //要找的資料在右半部

‹

Recursion Version:

Algorithm

‹

Iteration Version:

分析

‹

利用Time function T(n) = T(n/2) + O(1)

= T(n/2) + c

= (T(n/4 + c)) + c = T(n/4) + 2c

= (T(n/8) + c) + 2c = T(n/8) +3c

= …

= T(n/n) + log

n×c

= T(1) + c log

n

= 1 + c log

n

∴ T(n) = O(log

n)

▓

‹

比較符合人類Search之行為

‹

實施前提:

„ 檔案中記錄須事先由小到大由小到大排序過

„ 須由

Random ( Random (

Direct) access Direct) access

‹

作法:

while ( l ≤ u && i == 0)

比較 (x, S[mid])

case 1 “=”: found, i = mid, return i;

case 2 “<”: uu^{= mid-1;}

case 3 “>”: ll^{= mid+1;}

recurn 0;

小 大

⎥ ⎦

⎢ ⎥

⎣

⎢ × − +

−

= − ( 1 )

] [ ] [

]

[ u l

l S u S

l S m x

⎥⎦

⎢ ⎥

⎣

⎢ × − +

− + −

= ( 1)

] [ ] [

]

[ u l

l S u S

l S l x

mid

l u

S

//找到了

//要找的資料在左半部 //要找的資料在右半部 l + mm

m

( m 是一個比較的距離)

Algorithm

//若S數列中只有一個數字時，防止分母為0

Case 1 Case 2 Case 3

分析

‹

其時間分析的效能是與鍵值分佈有關。一般而言，

Uniform Distribution有Best effect.

‹

Time Complexity:

~

„ 最佳情況: 同Binary Search– O(logO(log₂₂ n)n)

{ 每一次都切一半

„ 最差情況: 同線性Search– O(nO(n))

{ 第一次切割後，會剩下 (n-1); 第二次切割後，會剩下 (n-2)筆; …依 此類推。

{ 即每一次切割後，只有一筆資料被摒除於下一次的搜尋資料之

外。

▓

‹

Def: 為一種資料貯存與搜尋的技術。若要存取某筆資料x，

則先將x經過

再到 Hash Table對應的

Bucket中進行存取x的動作。

‹

Hash Table的結構

„ 由一組Buckets所組成，每個Buckets由一組Slot所組成，每個Slot可 存一筆記錄。

„ 圖示:

> Hash Table Size = b × s

Hash Table

Bucket (桶子)

Slot (槽)

b 個

s 個

x Hashing

Function H(x)

(Hash Address)

‹

„ 資料搜尋時，記錄不需要事先排序

„ 在沒有collision及overflow情況下，資料搜尋的Time為 O(1)

{ 與資料量 n 無關

„ 保密性高

{ ∵若不知Hashing function，則無法存取資料

„ 可作資料壓縮之用

相關術語

‹

„ Def: 令T為identifier總數，n為目前使用者的identifier個 數，b為Hash Table之Bucket數目，S為Bucket中之Slot 數目，則:

{ Identifier Density = n/T

{ Loading Density = n/(b×S) = α

‡ α 愈大，則表示Hash Table Utilization高，但相對地Collision / Overflow機率也變高。

‹

„ Def: 不同的資料 (e.g., x與y) 在經由Hashing Function計

算，竟得出相同的Hashing Address (即 H(x) = H(y)) 稱

之。

‹

„ Def: 當Collision產生，且Bucket中無多餘的Slot可存資料 稱之。

„ 有Collision並不一定有Overflow，但有Overflow，則必 有Collision發生。

„ 若Bucket只有一個Slot，則Collision = Overflow

w → H(w)

x → H(x) w x

y → H(y)

y z → H(z)

z: Overflow

Hashing Function設計

‹

一個良好的Hashing Function須滿足下列三個準則:

„„ 計算簡單計算簡單

„„

Collision Collision

{ Ex: x mod 2就是不好的Hashing Function!!

(∵不是0就是1，會經常發生Collision)

„

„ 不要造成不要造成

Hashing Table Hashing Table

( (

) )

{ 會引發 “空間利用度差” 與 “Collision上升” 的缺失

‹

上述準則導引出兩個名詞:

„

„ Perfect Hashing FunctionPerfect Hashing Function (完美的雜湊函數)

{ Def: 此Hashing Function 絕對不會有Collision發生

{ 前提: 須先知道所有資料 (for Static Search)

„„ Uniform Hashing FunctionUniform Hashing Function (均勻的雜湊函數)

{ Def: 此種Hashing Function計算所得出的Hashing Address，對應到每 個Bucket No.的機率皆相等。(不會有局部偏重的情況)

4種常見的Hashing Function

‹

‹

‹

‹

‹

„ e.g., 假設有1000個Bucket，範圍編號為000~999，若有 一數值x = 8125，試利用Middle Square求其適當之Hash Address

„ Sol:

x = 8125 66015625

取中間三位 > 156

= Hash Address (取015

Middle Square (平方值取中間位數)

(取平方(取平方))

‹

‹

„ m不宜為 “2”

{ 求得的位址僅有0或1，collision的機會很大

„ m的選擇最好是質數 (除盡1和除盡自已)

Mod (餘數，或 Division)

‹

‹

„ Shift (移位)

„ Boundary (邊界)

‹

Folding Addition (折疊相加)

‹

Sol:

„ x=12320324111220 are partitioned into three decimal digits long.

P1 = 123, P2 = 203, P3 = 241, P4 = 112, P5 = 20.

„ Shift folding:

„ Folding at the boundaries:

∑

= +

+ +

+

=

=

1

699 20

112 241

203 123

) (

i

P

x h

123 203 241 112 20 123

302

211 241 h(x) = 123 + 302 + 241 + 211 + 20 = 897

020

Digits Analysis (位數值分析)

‹

„ 若很

„ 若很

Hashing Address。

‹

4種常見的Overflow處理方式

‹

‹

‹

‹

Linear Probing (線性探測)

‹

Def: 又稱Linear Open Addressing。當H(x)發生overflow，則 循著H(x)+1, H(x)+2, …, H(x)-1順序，逐步搜尋，直到:

„ 遇見有空的Bucket

„ 已搜尋完一圈為止 (表示Hash Table Full，無法store)

‹

圖示:

x

‹ Hash Table有11個buckets (編號: 0~10)，每個bucket只有一個slot，假設 Hashing Function =

x mod 11 x mod 11

5, 16, 33, 21, 22, 27, 38, 17

‹ Sol:

‹ 缺點: 易形成資料群聚資料群聚

(Clustering) (Clustering)

0 33

1 22

2 3 4

5 5

6 16

7 27

8 38

9 17

10 21

C H(33)C H(22)

C H(5) C H(16) C H(27) C H(38) C H(17)

C H(21)

•

• 屬於“屬於“55”的部落”的部落。原

本應該屬於位置 “6”

的資料17，被擠到很 遠的地方，要翻山 越嶺才能找到它!!

• Search Time增加!!

Quadratic Probing (二次方探測)

‹ Def: 為改善Clustering現象而提出。當H(x)發生overflow

時，則探測

‹

圖示:

C H(x) 空位的探測次序:

1 2 3

4

‹ 承接上題，並改採 “Quadratic Probing”處理overflow。則Hash Table內 容為何?

5, 16, 33, 21, 22, 27, 38, 17

‹ Sol:

0 33

1 22

2 3

4 27

5 5

6 16

7 17

8

9 38

10 21

C H(33)C H(22)

C H(5) C H(16) C H(27) C H(38) C H(17)

C H(21)

0 33

1 22

2 44

3

4 27

5 5

6 16

7 17

8

9 38

10 21

‹ 承接上題，44 ⇒ ?

‹ Sol:

H(44) = 0 > (0+1²) mod 11 = 1

>(0-1²) mod 11 = 10

> (0+2²) mod 11 = 4

> (0-2²) mod 11 = 7

> (0+3²) mod 11 = 9

> (0-3²) mod 11 =

2 2

負值需先加上1111的的 適當倍數，再取適當倍數 mod!!

Rehashing (再雜湊)

‹

₁

₂

₃

_n

₁

₂

„ 沒有overflow發生

„ 全部function用完

‹ 將具有相同Hashing Address的資料，以

Link list Link list

‹ 承接上題，並改採 “Quadratic Probing”處理overflow。則Hash Table內 容為何?

5, 16, 33, 21, 22, 27, 38, 17

‹ Sol:

0 33

1 2 3 4

5 5

6 17

7 8 9

10 21

H(33)>

H(22)>

H(5)>

H(16)>

H(27)>

H(38)>

H(17)>

H(21)>

Link List (鏈結串列，或稱Chain)

16 22

27 38

補 補 充 充

補 1: Decision Tree for Binary Search

‹

目的:

„„ 用以描述與了解用以描述與了解

Binary Search Binary Search

„ 一定是二元樹二元樹

‹

給出n = 31筆記錄之Binary Search的決策樹

‹

Sol:

‹

欲搜尋記錄在第18筆，則比較 4 次才能找到

‹

最多之比較次數為何 (比較幾次後，即知失敗)? 5 次

‹

n筆記錄，最多的比較次數 = ⎡log

(n+1)⎤ = 高度

1 31

l m u

16

[16]

u’

8

[8]

l’

24

[24]

[4] [12] [20] [28]

[2] [6] [10] [14] [18] [22] [26] [30]

[1] [3] [5] [7] [9] [11] [13] [15] [17] [19] [21] [23] [25] [27] [29] [31]

範例練習

‹

繪出n=12筆記錄，執行Binary Search之Decision Tree

‹

有下列資料，26, 55, 77, 19, 13, 2, 5, 49

„ 以Binary Search找 “55” 須比較幾次?