大學入學考試中心 指定科目考試 數學科 預試卷 解答
(卷2)
一、選擇題答案
題號 答案
1 1234 2 12345 3 1234
4 23
5 145 6 1345
二、非選擇題答案
第一題
在一個監獄裡有
n
名囚犯被手銬銬住排成一列等待偵訊。偵訊的過程中，由於避 免串供，要在這n
名中取出若干不相鄰的囚犯。舉例而言，若共有 6 名囚犯，編 號為1, 2,3, 4,5,6 ，則可取1,3,6 等三人，亦可取 2, 4 等兩人。單單取其中任何一人 亦可。考慮在n
個囚犯的情形下，共有F n 個取法。請問： ( )(1)F(1)+F(2)+F(3)是多少？
(2)已知F n( )= ⋅a F n( − + ⋅1) b F n( − + ，其中2) c
n ≥ 3
，且a b c 為整數，求 , ,, , a b c 之值。(3)請算出F(6)的值。
參考解答：
(1)
1
n =
，F(1) 1=2
n =
，有 1、2 三種情形 ∴F(2) 2=3
n =
，有 1、2、3、1,3 四種情形 ∴F(3) 4= (1) (2) (3) 1 2 4 7F F F
∴ + + = + + = (2)
法一：
4
n =
，選一個人的有 4 種情形，兩個人的有 3 種情形，總共有 7 種情形。5
n =
，選一個人的有 5 種情形，兩個人的有 6 種情形，三個人的有 1 種情 形，總共有 12 種情形。( ) ( 1) ( 2) F n =aF n− +bF n− +c
∵
(3) (2) (1) 4 2
F aF bF c a b c
∴ = + + ⇒ = + + （根據第一小題）
(4) (3) (2) 7 4 2
F aF bF c a b c
∴ = + + ⇒ = + +
(5) (4) (3) 12 7 4
F aF bF c a b c
∴ = + + ⇒ = + +
解聯立方程式得
a b c = = = 1
法二：
考慮
n
個囚犯的情形，分三種情形討論。若第
n
個囚犯被選取，則第n − 1
個囚犯不可被選取，所以此時的選取方法共 有F n( − 種。（至少選取兩個囚犯） 2)若第
n
個囚犯不被選取，此時的選取方法共有F n( − 種取法。 1)若第
n
個囚犯被選取，考慮僅選取一個囚犯的情形。共有n
個選取方法，其 中的n − 1
個選取方法已列於第二種情形。僅需加上「只取第n
人，其餘都不 取的情形」。所以
a b c = = = 1
(3)法一：
由上式可得
(4) (3) (2) 1 4 2 1 7 F =F +F + = + + =
(5) (4) (3) 1 7 4 1 12 F =F +F + = + + =
(6) (5) (4) 1 12 7 1 20 F =F +F + = + + = 法二：
