以模型樣版為基礎之建物三維點雲建模演算法

Volume 15, No.2, June 2010, pp. 189-199

1國立成功大學測量及空間資訊學系 碩士 收到日期:民國 99 年 08 月 27 日

2國立成功大學測量及空間資訊學系 博士生 修改日期:民國 99 年 10 月 15 日

3國立成功大學測量及空間資訊學系 助理教授 接受日期:民國 99 年 12 月 10 日

＊通訊作者, 電話: 8886-6-2757575#63836, E-mail: linhung@mail.ncku.edu.tw

以模型樣版為基礎之建物三維點雲建模演算法

賴泓瑞

¹

陳俊元

²

林昭宏

^3＊

摘 要

近年來光達掃瞄儀已廣泛的使用在量測領域上，光達可快速獲取高精度且高解析度點雲資料，因此 相關點雲模型建置的技術也越來越受到重視。點雲資料模型重建面臨到的共同問題是如何處理點雲資料 隱含的誤差，此外模型的邊角特徵突顯也會是一個重要的挑戰與問題。本研究提出一新的點雲建模技術，

本技術是以階層式模型樣版為基礎對三維點雲資料進行模型重建，此樣版是由三個主要基本幾何元件構 成，分別為平面、圓球以及圓柱，基本幾何元件皆以代數式描述。階層式模型樣版的第一層為自訂的基 本幾何元件，接著利用基本幾何元件組合出下一層簡單形狀的模型樣版，然後進一步結合前層模型樣版 以建立更高階複雜模型。其作法首先從點雲資料萃取出數個基本幾何點雲群集，再利用模型樣版進行點 雲擬合，此模型樣版以線性代數式描述來取代非線性函式，因此在計算效率與演算法的強鈍性上有十足 提升。此外，在每一模型樣版階層加入幾何約制條件以提高建模品質。實驗結果顯示本方法比利用隱性 面函式建模方法在資料誤差的抵擋與建模品質上有更佳的表現，且比一般最小二乘法相關的重建方法在 視覺上擁有更佳的建模品質。

關鍵詞：點雲重建、點雲特徵萃取、最小二乘法擬合、代數型態模型樣版

1. 前言

目前數位三維城市模型已廣泛使用在各種不 同領域上，例如災害緊急應變規劃、三維汽車導航、

虛擬實境等。而使用雷射掃瞄來獲取地面點雲資料 建置數位城市模型是目前熱門的研究方向。雷射掃 瞄(或稱光達掃瞄)是一項使用雷射光束進行掃描 測距之設備與系統，其主要優點在於可大量且精確 獲取地面離散點三維坐標，利用掃描所獲得的城市 區域點雲資料，可進行三維建物建模。點雲資料包 含了三維坐標、反射強度以及回波值資訊，但點雲 資料並沒有連接資訊，因此如何將離散點位組織成 面資訊在點雲建模演算法中是一個關鍵問題，且光 達掃瞄所產生的點雲資料必包含量測誤差，因此會 對建模過程造成一定程度的影響。

在討論點雲誤差或品質所造成的問題之前，先

討論一個在影像處理領域中近期常被討論的影像 品質評估方式(Wang et al., 2004)，其內容是探討誤 差大小與實際成果好壞的關連性。以圖1 為例，測 試了五種不同影像處理方法，這五種方法的均方誤 差(Mean Square Error, MSE)皆相同，但在五張影像 中以視覺的角度去觀察，會覺得經過對比拉伸處理 的影像品質最好。在有隱含誤差的點雲資料中，使 用最小二乘法解算也會遇到類似問題。比如當空載 光達掃瞄建物牆面時，牆面點雲資料有時會包含窗 戶、陽台或其他幾何細節資訊，利用此資料計算平 面最小二乘法時，雖然以誤差量最小做為最佳解是 合理的想法，但有時成果並不理想，其擬合出來的 牆面與地面並不是和預期一樣呈現垂直關係(如圖 2)。此外，部分非線性解使用最小二乘法並無法直 接求解，而必需給予良好初始值並進行重複迭代程 序，造成演算法效率不佳。因此本文提出以樣板為 基礎之建模方法建立建物模型，以圓球、圓柱與平

面為階層式架構中的基本元件，依照不同點雲資料 擬合最適合之基本元件，進而建構出複雜建物模型，

而每個基本元件是以代數方程式來描述，進行最小 二乘計算求解最佳解，此方法不需初始值與迭代程 序，可提高建模的穩定度與速度。此外，再加上以 各種元件間的幾何關係做為約制條件，以產生良好 的建物模型，而建物細節部分以建物材質貼圖方式 來描述之。相較於目前的點雲建模方法(Amenta, 1999; Kuo and Yau, 2005; Ohtake et al., 2003; Wu et al., 2005; Guennebaud and Gross, 2007; Kazhdan et al., 2006)，本文共有下列幾項貢獻：

 提出一個新的點雲建模觀點：以最小二乘法進 行點雲擬合時可能在視覺上會產生較大的誤差，

因此，提出在擬合階層式模型樣版時在基本幾 何元件之間加入幾何約制。

 提出一個以階層式模型樣版為基礎的三維點雲 建模架構，在此架構下，解算最小二乘法不需 初始值且不需迭代程序，因此加快建模速度與 提高建模穩定度。

2. 相關研究

現今已有許多點雲建模方法被提出，每種方法 各有其優缺點，本文將這些方法分成三大類：相位 關係、隱性面(implicit function)與樣板模型。以相 位 關 係 方 法 建 模 有 迪 勞 尼 三 角 形(Delaunay Triangulation)(Kuo and Yau, 2005)、Voronoi diagram (Amenta, 1999) 與 區 域 成 長 法 (Bernardini et al., 1999) 等方式進行模型重建，上述方法皆對離散點

雲資料進行三角網重組，但重組網格時皆會受到雜 訊影響。以隱性面方式建模的研究，最大不同點在 於所使用的是那種隱性面，Morse et al. (2001)與 Wu et al. (2005)所使用的是放射基底函式 (Radial Basis Function, RBF)，此方法需整體求解，因此在 許多細節精度的展示上並不如預期且求解時間冗 長；而Ohtake et al. (2003)提出使用二階曲面，利 用八分樹方式分割點雲，將分割後的點雲資料進行 曲面方程式估算，最後利用布林運算將各個區域模 型合併起來；Guennebaud and Gross (2007)則使用 移動式最小二乘法(moving least squares)來進行建 模工作，此方法可以正確計算表面之中值曲率以及 點雲法向量，對於重建後模型邊界以及特徵部分依 舊能忠實呈現；Kazhdan et al. (2006)提出以解算 Poisson 式子方式來進行點雲模型重建。上述的隱 性面重建方法皆會受到點雲雜訊的影響，造成重構 模型不正確，且建物模型在邊角部分皆會有過度平 滑現象產生，使建物特徵不能明顯展現。最後一類 是利用模型式樣版式進行建物建模(王聖鐸，2007)，

此方式是利用實體構造幾何概念組合出數個基本 元件，利用影像資訊求出基本元件的姿態參數以及 縮放比例，再利用點雲資料獲得正確的高程資訊，

從這簡單形狀實體以階層式架構構成一棟建物的 複合模型。本文方法是屬於樣板模型建模，其優點 是解算最小二乘法不需初始值且不需迭代程序，且 在基本幾何元件之間加入幾何約制，以提高建模品 質與穩定。

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

圖1 傳統影像品質指標。(a)為原始影像(MSE=0)；(b)對比拉伸影像(MSE=210) ；(c)灰階值平均影像 (MSE=210)；(d)壓縮影像(MSE=210)；(e)模糊影像(MSE=210)；(f)加入椒鹽雜訊影像(MSE=210) (Wang et al., 2004)

(a) (b)

圖2 最小二乘法平面擬合結果。(a)為牆面點雲資料；(b)為使用最小二乘法擬合之結果

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

圖3 本研究方法流程。(a)原始點雲資料；(b)法向量計算；(c)基本幾何元件分類；(d) 建物主體萃取；(e) 各基本幾何元件(以不同顏色表示)；(f)各基本元件做最小二乘法運算結果；(g)合併所有元件；(h)模 型貼圖。

3. 階層式模型樣版建模

本文方法主要分成三大步驟：點雲法向量計算、

點雲分類與模型建置。整體方法流程以圖例方式顯 示在圖3，所處理的資料為空載或地面光達儀器掃 瞄所獲取之建物點雲 (圖 3(a))。首先，利用 k 鄰近 點法或球鄰近點法搜尋鄰近點並求解各點幾何法 向量(圖 3(b))，其計算方式可參考(Hoppe et al., 1992; Chen and Lin, 2009)，接著使用 RANSAC 演 算法將附有法向量資訊之點雲資料進行基本幾何 物件分類(圖 3(c)，3.1 節)，保留屬於建物主體部分 的物件(圖 3(d))並找出模型所對應基本幾何元件樣 版(圖 3(e))，利用階層式架構加入各元件樣版幾何 約制條件，並針對各不同元件進行代數式最小二乘 法計算(圖 3(f)，3.3 小節)，對計算出的各基本元件 進行合併並組成完整模型(圖 3(g))，最後進行模型 牆面貼圖(圖 3(h))。

3.1 點雲分類與基本幾何元件 萃取

本研究採用 RANSAC 方法(Schnabel et al., 2007)進行點雲分類，此方法主要是從點雲資料中 以隨機方式搜尋最小的點雲群集，並且找出最小點 雲群集所對應之基本元件，此對應之基本幾何元件 稱為形狀候選人，將所有點雲資料帶入形狀候選人 中，判斷出那些點雲是符合形狀候選基本元件。利 用得分函式評估最符合之基本元件並且將剩餘未 萃取之點雲重複進行演算法分類，找出其符合的基 本元件，最終完成萃取工作。目前所設定的基本幾 何元件為平面、圓柱及圓球，分類成果如圖4 所示，

以不同顏色來代表分類出來的幾何物件。

(3)

(8) (4) 圖4 點雲分類成果。(a)成功大學結構試驗館；(b)成功大學光一宿舍；(c)台南大遠百；(d)成功大學測量及

空間資訊學系系館，每個分類出來的基本元件以不同顏色呈現。

3.2 基本元件代數式以及其解 算方法

考慮到文章的篇幅長度，此小節僅說明圓球的 代數式及其最小二乘擬合解算方式，至於其他基本 幾何元件，讀者可依相同方式推導或參考(賴泓瑞，

2008)。圓球為一種對稱之三維幾何體，其幾何代 數式可以利用二階多項式描述 Fitzgibbon et al.

(1999)：

(1)

其中 為符合此圓球面之三維點雲坐標；

為圓球面幾何代數式之係數，多項式 稱為代數距離(algebraic distance)。為了 簡 單 的 描 述 幾 何 代 數 式 ， 定 義 了 兩 個 向 量 ：

與 ，

其中向量 代表圓球代數式之係數而向量 為所 對應係數之參數，因此圓球基本幾何代數可以改寫 成下面向量形式：

(2) 在求解代數最小二乘法時，可以確定的是所有符合 此圓球的點雲點位



(xi,yi,zi)



_i^N_1(N 表示點個數)到 圓球多項式之代數距離平方合為最小，且為了確保 擬合出來的幾何體為圓球，必須加入一約制條件，

因此式子可寫成：

約制條件

接著，將式子(3)以矩陣方式重新描述：

約制條件 (5) 其中 為設計矩陣，其大小為 ， 為約制 矩陣，大小為 ，其內容分別為：

,

由 於 式(5) 有 約 制 條 件 ， 因 此 加 入 拉 格 朗 乘 數 (Lagrange multipliers)以求得最佳解，其推導過程如 下：

令 , (6) 其中 為 ，即圓球代數距離平方； 為圓 球約制條件，加入拉格朗其乘數 ：

(7) 結合式(6)與(7)可推得：

將式(8)移項並整理，可得：

2 2 2

( , , )_{i i i} ( _{i i i} ) _{i i i} 0 f x y z A x y z Dx Ey Fz  G



x y zi^{, ,}i i



, , , , A D E F G

( , , )_{i i i} f x y z

[ , , , , ]A D E F G

 ^T

a x[x²y²z x y z², , , ,1]

a x

( ) 0

f

_a

x    x a

2 2

1 1

( , , ) ( ( ))

min min

N N

i i i i

i i

f x y z f

 

 

 

^a

a a x

2 1

( )

min

N i i





a x a

2 2 2 4 1

D E F  AG

min || ||2

a Da a Ca^T 1

D N6 C

6 6

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2 2

1

= 1

1

i i i i i i

N N N

N N N

x y z x y z

x y z x y z

x y z

x y z

   

 

 

   

 

 

   

 

 

D

    



   

0 0 0 0 2 0 1 0 0 0

= 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0

  

 

 

 

 

 

  

 

C

f a D Da^{T T} g 1 a Ca^T

f

||Da||²

g



0

f  g

 

 

a^T a^T

( )  (1 ) 0 ( ) 0

        

 

T T T T

T a D Da T a Ca D Da Ca

a a

(9) 最後將式(9)以下列式子表示：

,需考慮 (10) 加入拉格朗乘數後可以推導出式(10)，其中 為大 小為 的矩陣( )，式(10)可直接利用特 徵值與特徵向量方法計算求解，可以得到五組特徵 值與特徵向量 ，其中最小正數的特徵值所 對應的特徵向量即為最佳解。

3.3 階層式樣版模型

構造實體幾何是三維計算機圖形學與電腦輔 助設計(Computer-aided design, CAD)中經常使用 的一個程序化建模技術，在構造實體幾何中，可以 使用邏輯運算符將不同物體組合成複雜的曲面或 者物體，構造實體幾何呈現非常複雜之模型或者曲 面皆是由非常簡單的物體組合形成，因此，可以利 用點雲建置出一些簡單物體，再組合成複雜模型，

這也是構造實體幾何的優點所在。最簡單的實體表 示叫作基本元件，通常是形狀簡單的物體，如立方

體、圓柱體、稜柱、稜錐、球體、圓錐等。在此研 究中主要是利用立方體、圓柱體以及圓球當作簡單 的基本元件模型，再利用階層式架構組合成最終房 屋模型。階層式架構即為將複雜之建物模型分類成 許多基本元件，以基本元件組成此階層最底層，再 利用最底層架構之基本元件當作模型樣版，組合出 複雜之幾何模型作為此階層第二層架構，依此類推，

將整體複雜建物模型階層架構建構出後，最後可以 得到複雜的建物模型。以大遠東百(台南市遠東百 貨)模型為例(如圖 5)整體大遠百模型分成三個階 層，第一層(最底層)是由兩個方形、兩個圓柱以及 一個平面組成，第二層則是利用階層一之最基本物 件所合併組合成，將兩個方形組合成一個複雜方形 元件、兩個圓柱合併為更複雜的一個圓柱體，最後 第三層則是再將階層二的元件全部合併在一起，建 構出最終大遠百模型。因此階層式架構可以依照建 物的複雜程度作擴充，若建物越複雜，則此階層架 構層級也越多，擴充性十分容易，在建立各種模型 使用此階層架構均非常便利。

圖5 階層式樣版模型示意圖



 D DaT Ca



Sa Ca a Ca^T 1

S

5 5 S D D ^T

( , )_j a_j

原始點雲資料

第一層

第二層

第三層 最終成果

(11)

3.4 約制條件

階層式架構除了可建構出複雜模型外，還可利 用不同階層元件之幾何關係建立約制條件。以階層 式架構第一層為例，共有兩個以平面構成的方形，

組合成方形時，利用側面點雲其平面法向量與底面 法向量之垂直關係(如圖 6)，將此關係列為約制條 件，並加入平面代數式計算中。在圖6 中，地表平 面法向量以黑色箭頭表示，而其他方形側面法向量 以藍色箭頭表示，圖中可以清楚看出側面法向量與 地表平面法向量為垂直關係，因此將地表平面法向

量設定為 ，並利用平面法向量垂直

關係加入側面點雲平面代數式中求解，求解方程式 就如同式子(5)，將幾何約制條件加入設計矩陣 中，因此設計矩陣 (大小為 )改寫為：

其中權重( )的設定為點雲的點數 。最後 將附加有約制條件的設計矩陣 ，利用平面代數 最小二乘法計算，以得到最後擬合結果。

圖6 側面點雲平面法向量與底部點雲平面法向量 垂直示意圖

4. 實驗結果與分析

此部分測試資料有兩種資料，第一種為空載光 達點雲真實資料，第二種為模擬資料。模擬資料是 透過電腦模擬出地面光達掃描儀器所建立的建物 點雲資料，此模擬資料依據地面光達掃描儀器所掃 描產生之誤差量真實加入到所建立的點雲資料中。

此外，在重建模型方面使用兩種重建方式，分別是 有加入強制約制條件以及沒有約制條件兩種重建 方式。強制約制方法是設定地表平面法向量為 (0,0,1)，再利用其他模型與底部面的幾何關係當作 彼此的約制條件，進行模型重建工作。本實驗資料 中，台南大遠百建物、成功大學光一宿舍以及成功 大學水質館結構館為空載光達點雲真實資料，而成 功大學測量及空間資訊學系系館、成功大學統一大 樓以及儀器設備中心則為模擬資料，成果顯示在圖 7 至圖 10。另外，進行了有無幾何約制條件之比較，

其結果顯示在圖 11，可以清楚的看出，無幾何約 制條件之建模結果(圖 11 第一列)，部分牆面呈現 不合理的傾斜或穿透，而加入強制約制條件後則沒 有這些問題(圖 11 第二列)。

最後在分析比較部分，分別計算真實資料與重 建模型兩者之間的均方根誤差(RMSE) (表 1)。此外，

本文還加入了與Kazhdan et al. (2006) 點雲重建方 法比較，Kazhdan et al. (2006)的方法為目前以隱性 面(implicit function)建模的最佳方法，因此選擇與 他比較，圖12 為使用 Kazhdan et al. (2006)方式對 本次實驗四種測試資料建模結果，而圖13 顯示了 三種不同重建方式之比較結果。首先，從表1 可看 出有無加入約制條件其結果的均方根誤差都差不 多，但從圖11 可知其視覺上的品質有些許差異。

而隱性面重建方法比較部分，不管有無加入約制條 件，本文的方法表現明顯較佳，此外可以從圖 12 中看出隱性面方式在細節部分表現並不好，重建後 成大測量系館柱子快接近消失，但本文方式對此細 節則有顯示出來。

(0,0,1)

button

n 

D D (N 1) 4

1 1 1 1

1

1

0 0 1 0

i i i

N N N

x y z

x y z

x y z

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

D

   

   

weight



weight

N

D

(a) (b) (c) (d)

圖7 台南遠東百貨建物空載光達點雲重建成果(加入約制條件)，(a)原始點雲資料；(b)建模結果；(c)模型 與點雲的套合圖；(d)模型貼圖結果。

(a) (b) (c) (d)

圖8 成功大學光一宿舍資料重建(加入約制條件) ，(a)原始點雲資料；(b)建模結果；(c)模型與點雲的套合 圖；(d)模型貼圖結果。

(a) (b) (c) (d)

圖9 成功大學結構試驗館資料重建。(a)原始點雲資料；(b)建模結果；(c)模型與點雲的套合圖；(d)模型貼 圖結果。

(a) (b) (c)

圖 10 模擬資料重建成果。三筆資料皆為成功大學的建築物，分別是(a)測量及空間資訊學系系館；(b)統 一大樓；(c)儀器設備中心。

(a)

(b)

圖 11 有無約制條件比較。(a)無幾何約制結果；(b)有幾何約制結果。

表1 重建後成果精度比較

資料 點雲資料個數 重建方式 RMSE (單位 m) 107,914 未加入約制 0.4423

加入約制條件 0.4442

177,945

未加入約制 0.0822 加入約制條件 0.0838

199,972

未加入約制 0.0186

加入約制條件 0.0176

圖12 Kazhdan et al. (2006)方法重建結果

圖13 不同重建方式對於測量系館成果展示。左圖：Kazhdan et al. (2006)方法；中圖：本文方法(未加入幾 何約制)；右圖：本文方法(加入幾何約制)

表2 兩種平面擬合方式成果比較(單位：公尺)

資料 點雲個數 演算方法 距離總合 RMSE 迭代次數

68,780

本研究方法 404.6456 0.07670 1

間接平差方法 402.5865 0.07651 20

32,539

本研究方法 460.5899 0.1190 1 間接平差方法 591.8433 0.1349 19

14,965 本研究方法 667.8490 0.2112 1 間接平差)方法 670.7432 0.2117 14

另外，比較了代數式最小二乘法與以約制條件 的間接平差，實驗的資料為成功大學內鐘樓點雲、

圖書館牆面點雲以及成功大學光一宿舍之屋頂點 雲資料，擬合的幾何物件為平面，結果顯示在表2，

於表中觀察 RMSE 值可以得知兩者所解算之平面 精度差異不大，但代數式最小二乘法求解平面參數 過程中不需迭代，因此可以在不失精度的前提下，

提升解算效率與穩定度。

5. 結論

本研究提出一個新的點雲資料模型重建方式，

此方法是以基本幾何元件樣板為主軸，建立出階層 式架構，可以將複雜建物光達點雲資料依照不同基 本模型樣版作模型重建工作，再依賴階層式架構的 建立，最終可以建立出複雜模型。此外在進行最小 二乘法運算時，不需加入迭代動作，在求解方面運 算處理速度快速許多。還可以加入各基本元件之間 的幾何關係當作求解的約制條件，可以獲得更精確 的建物模型。相較於利用隱性面函式建模方法而言，

本研究方法基於幾本元件間的幾何約制條件能過 獲得比使用隱性面函式建模方法更佳的建模成果。

最後由實驗結果得知，本研究方法可以正確的建立 出點雲資料建物模型，只要善加利用階層式架構，

此方法可以運用處理在各種點雲建物模型資料。

參考文獻

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1Master, Department of Geomatics, National Cheng-Kung University Received Date: Aug. 27, 2010 2 PhD Student, Department of Geomatics, National Cheng-Kung University Revised Date: Oct 15, 2010 3 Assistant Professor, Department of Geomatics, National Cheng-Kung University Accepted Date: Dec. 10, 2010

*.Corresponding Author, Phone:8886-6-2757575#63836, E-mail: linhung@mail.ncku.edu.tw

Template-based Point Cloud Modeling for City Buildings

Hung-Ruei Lai

¹

Jiun-Yuan Cheng

²

Chao-Hung Lin

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ABSTRACT

Digital scanning devices such as LiDAR have recently become affordable and available. They are capable of acquiring high-accuracy and high-resolution point clouds. Thus, the techniques for point cloud modeling have received increasingly attentions in the last decade. As the approaches reconstruct the point clouds, they face a common problem: how to handle point clouds with inherent noises.

Moreover, it will be especially challenge in handing point clouds that contains sharp features, e.g., city buildings. In the paper, a novel template-based modeling approach for 3D point clouds sampled from unknown city buildings is introduced. A hierarchy algebraic template, comprising of three types of primitive geometries (that is, plane, sphere, and cylinder), is used to fit point clouds. The algebraic template is organized in a hierarchical manner. The first-level, i.e., the lowest-level, consists of the primitive geometries which are represented in algebra form. These primitive geometries are merged into 3D objects with simple shapes in the next level. These 3D objects are further joined to form the final template model in the last level. After the point clouds are partitioned into several geometric sets, the constructed template model is used to fit them. The point cloud fitting is archived by solving a least-square linear system instead of solving a non-linear one, making the approach efficient and robust in the modeling. The experimental results show that the approach is better, in terms of sharp feature fitting and noise withstanding, than the approaches based on implicit surfaces. In addition, comparing to the general least-square fitting approaches, the template-based fitting with geometry constraints improves modeling quality with respect to human visual system.

Keywords:

Point Cloud Reconstruction, Feature Extraction, Least-Square Fitting, Algebraic Template-Based Modeling