新北市104學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽數學科筆試一試題

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新北市 104 學年度

高級中學數理及資訊學科能力競賽數學科筆試(一)試題

編號：____________(學生自填)

注意事項：

1. 本試卷共四題計算證明題，滿分 49 分。

2. 考試時間：2 小時。

3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。

4. 將過程填寫在答案卷內。

【問題一】

已知圓O 和₁ O₂相切於一點 E ，且一直線 L 切圓O₂於一點 D 。過點O 作垂直 L 的直₁ 線交圓O 於 P 、Q 兩點，且交直線 L 於₁ G 點(如圖)。過 P 點任作一直線交圓O₂於 A 、

B 兩點，試證：

(1) P 、 E 、 D 三點共線；

(2) A 、 B 、Q 、G四點共圓。

(12 分)

<背面尚有試題>

(2)

【問題二】

試求 49 47 45    3 1的末三位數字是多少？

(12 分)

【問題三】

若a、b、c恰為x³ax²bx c 0的三個有理根，求此時a、b、c分別為何？

(12 分)

【問題四】

已知有一個 n n (n1)的方格表，其方格如西洋棋盤般黑白相間塗色，且最左上角的格子為黑色。每一次的操作可以任意選擇一個 2 2 的田字形四格方格，然後把這四格的顏色各自變成相反的顏色。

(1)一開始是 8 8 的方格表，能否將所有方格變成白色？

(13 分)

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