新北市104學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽數學科筆試一試題

新北市 104 學年度

高級中學數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試(一)試題 ^參考解答

【問題一】

已知圓O 和₁ O₂相切於一點 E ，且一直線 L 切圓O₂於一點 D (如圖)。過點O 作垂直 L₁ 的直線交圓O 於 P 、 Q 兩點，且交直線 L 於₁ G 點。過 P 點任作一直線交圓O₂於 A 、

B 兩點，試證：

(1) P 、 D 、 E 三點共線；

(2) A 、 B 、 Q 、 G 四點共圓。

(12 分)

【參考解答】

(1)已知O 、₁ O₂、 E 三點共線，連線段O O_{1 2}、O D 、 PE 、₂ ED 。 因    、   

且由O D PQ₂ 得DO E₂  EO P₁ ，則    (    ) 故 , ,P D E 三點共線。 □

(2)因PGD PEQ90，故 , , ,

D E Q G 四點共圓。

得PQ PG PE PD 再由 , , ,A B E D 共圓，得

PE PD PB PA 所以可得

PQ PG PB PA ，此隱含 , , ,

A B Q G 共圓。 □

【問題二】

試求 49 47 45    3 1的末三位數字是多少？

(12 分)

【參考解答】625

末三位即為 modulo 1000 的餘數，又1000 8 125  ， 又1 3 5 7 1 (mod8)   

且 9 11 13 15 (8    k1)(8k3)(8k5)(8k 7) 8 ' 105 1 (mod8)k   而 !!n 在n25後都是125 的倍數。

從 25 後，每 4 個 1 循環， (49 24) 1 (mod 4)  ，所以 49!! 25!! 625 (mod1000)  。

【問題三】

若a、b、c恰為x³ax²bx c 0的三個有理根，求此時a、b、c分別為何？

(12 分)

【參考解答】 ( , , ) (1, 2,0),(0,0,0),(1, 1, 1)a b c     根據根與係數的關係

(1) (2) (3)

a b c a

ab bc ca b

abc c

   

   

  



若c0推得 2a b 0與 ab b ，得到兩組解a1，b 2或a0，b0。 若c0推得ab 1，代回 (2) 式 (c a b  ) b 1

討論，若a b 0，得到第 3 組解b 1，a1，c 1。 若a b 0， 1 ( 1) 1₂ 1

( ) 1 1

b a b a

c a b a a b a a

   

   

   

代回 (1) 得到 1 1

2 0

a 1

a a

  

 ，也就是3a³2a² 1 0，沒有有理根。

依以上討論，滿足條件的 ( , , )a b c 共有3組： ( , , ) (1, 2,0),(0,0,0),(1, 1, 1)a b c     。

【問題四】

已知有一個 n n (n1)的方格表，其方格如西洋棋盤般黑白相間塗色，且最左上角 的格子為黑色。每一次的操作可以任意選擇一個 2 2 的田字形四格方格，然後把這 四格的顏色各自變成相反的顏色。

(1)一開始是 8 8 的方格表，能否將所有方格變成白色？

(2)一開始是 7 7 的方格表，能否將所有方格變成白色？

(3)一開始是 6 6 的方格表，能否將所有方格變成白色？

(13 分)

【參考解答】(1)可以；(2)不行；(3)不行。

(1)可以。以( , )i j 表示選取之田字形之左上角之列與行座標。觀察4 4 可以經由以下 操作變為全部白色：

(1,1)(3,3)(2,1)(2,3)(1, 2)(3, 2)

同理 4 4 可以全部變成黑色，因為 8 8 可以分成四大塊 4 4 ，故必可所有方格變成 白色。

(2)不行。田字型內的黑色格子數經過操作後奇偶性不會改變。一開始有 25 個黑色，

不可能變成 0 個黑色。

(3)不行。來關注第一行、第三行、第五行的 18 格。任一操作剛好會用到其中兩格，

並變色。但這 18 格中一開始黑色格子共有 9 格；白色格子亦共有 9 格。故這些黑色 格子要變成全白，要經過奇數次操作。但白色格子要維持是白色，要經過偶數次操作，

因此不可能。