5.2. Image and Inverse Image

而若 x∈ B, 則得 y = f (x) ∈ f (B). 因此得 y ∈ f (A) 或 y ∈ f (B). 此即表示 y ∈ f (A) ∪ f (B), 得 證 f (A∪ B) ⊆ f (A) ∪ f (B). 因此我們推得了以下性質.

Proposition 5.2.4. 假設 f : X→ Y 為 function 且 A,B 為 X 的 subsets. 則 f (A)∪ f (B) = f (A ∪ B).

至於交集, 由於 A∩ B ⊆ A 以及 A ∩ B ⊆ B, 因此由 Lemma 5.2.3, 可得 f (A ∩ B) ⊆ f (A) 以 及 f (A∩B) ⊆ f (B). 故由 Corollary 3.2.4, 得 f (A∩B) ⊆ f (A)∩ f (B). 不過要注意 f (A)∩ f (B) 並不一定包含於 f (A∩B). 因為若 y ∈ f (A)∩ f (B), 表示 y ∈ f (A) 且 y ∈ f (B), 亦即存在 a ∈ A 以及 b∈ B 滿足 y = f (a) 及 y = f (b). 但這並不表示 a = b, 因此我們無法推得 a ∈ A∩B. 例如 考慮函數 f :{1,2} → {0} 定義為 f (1) = f (2) = 0. 若令 A = {1}, B = {2}, 我們有 A ∩ B = /0, 故 f (A∩ B) = /0. 但 f (A) = f (B) = {0} 因此 f (A) ∩ f (B) = {0}. 由此例知 f (A) ∩ f (B) 有可 能不包含於 f (A∩ B). 不過 f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) 永遠是對的.

對於差集, 我們要考慮的是 f (A\ B) 和 f (A) \ f (B) 的關係. 首先若 y ∈ f (A) \ f (B), 表 示存在 a∈ A 使得 y = f (a) 但 y ̸∈ f (B). 現若 a ∈ B, 會造成 y = f (a) ∈ f (B) 之矛盾. 故 知 a∈ A \ B, 即 y = f (a) ∈ f (A \ B). 得證 f (A) \ f (B) ⊆ f (A \ B). 不過反過來並不成立, 因為若 y∈ f (A \ B), 表示存在 a ∈ A \ B. 因為 (A \ B) ⊆ A, 我們當然有 f (a) ∈ f (A). 但 a̸∈ B, 並不表示 y = f (a) ̸∈ f (B), 因為很有可能存在 b ∈ B 滿足 f (a) = f (b). 例如前面 f :{1,2} → {0} 定義為 f (1) = f (2) = 0 的例子. 若令 A = {1},B = {2}, 我們有 A \ B = A, 因 此有 f (A\ B) = f (A) = {0}. 但 f (A) = f (B) = {0}, 所以 f (A) \ f (B) = /0. 由此例知 f (A \ B) 有可能不包含於 f (A)\ f (B). 不過 f (A) \ f (B) ⊆ f (A \ B) 永遠是對的.

Question 5.3. 假設 X 為宇集, A⊆ X 且 f : X → X 為 function. 試問 f (A^c)⊆ f (A)^c 是否 成立? 又 f (A)^c⊆ f (A^c) 是否成立?

接下來, 我們來探討所謂的 inverse image. 簡單來說, 給定一個 function f : X→ Y 以及 Y 的 subset C, 所謂 C 在 f 的作用之下所得 inverse image 就是收集那些經由 f 會落在 C 中的元素所成的集合. 我們有以下的定義.

Definition 5.2.5. 假設 f : X→ Y 為 function 且 C ⊆ Y. 定義 f⁻¹(C) ={x ∈ X : f (x) ∈ C}, 且稱 f⁻¹(C) 為 the inverse image of C under f .

從 f⁻¹(C) 的定義, 我們知道 f⁻¹(C) 是定義域 X 的 subset. 這個 inverse image 的定義 已充分描繪其元素, 所以我們可以直接利用這個定義處理 inverse image 的性質. 以下的定 理, 我們會發現, inverse image 比起 image 更能保持集合之間的運算關係.

Proposition 5.2.6. 假設 f : X→ Y 為 function 且 C,D 為 Y 的 subsets.

(1) 若 C⊆ D, 則 f⁻¹(C)⊆ f⁻¹(D).

(2) f⁻¹(C∪ D) = f⁻¹(C)∪ f⁻¹(D).

(3) f⁻¹(C∩ D) = f⁻¹(C)∩ f⁻¹(D).

(4) f⁻¹(C\ D) = f⁻¹(C)\ f⁻¹(D).

Proof. (1) 假設 x∈ f⁻¹(C), 表示 f (x)∈ C. 故由 C ⊆ D, 得 f (x) ∈ D, 亦即 x ∈ f⁻¹(D). 得 證 f⁻¹(C)⊆ f⁻¹(D).

(2) 由於 C⊆C∪D 且 D ⊆C∪D, 故由 (1) 知 f⁻¹(C)⊆ f⁻¹(C∪D) 且 f⁻¹(D)⊆ f⁻¹(C∪D).

因此由 Corollary 3.2.4 可得 f⁻¹(C)∪ f⁻¹(D)⊆ f⁻¹(C∪ D). 反之, 假設 x ∈ f⁻¹(C∪ D), 表 示 f (x)∈ C ∪ D, 亦即 f (x) ∈ C 或 f (x) ∈ D. 依定義得 x ∈ f⁻¹(C) 或 x∈ f⁻¹(D), 也就是 說 x∈ f⁻¹(C)∪ f⁻¹(D). 證明了 f⁻¹(C∪ D) ⊆ f⁻¹(C)∪ f⁻¹(D), 也因此證得 f⁻¹(C∪ D) =

f⁻¹(C)∪ f⁻¹(D).

(3) 由於 C∩D ⊆C 且 C∩D ⊆ D, 故由 (1) 知 f⁻¹(C∩D) ⊆ f⁻¹(C) 且 f⁻¹(C∩D) ⊆ f⁻¹(D).

因此由 Corollary 3.2.4 可得 f⁻¹(C∩ D) ⊆ f⁻¹(C)∩ f⁻¹(D). 反之, 假設 x∈ f⁻¹(C)∩ f⁻¹(D), 表示 x∈ f⁻¹(C) 且 x∈ f⁻¹(D), 亦 即 f (x)∈ C 且 f (x) ∈ D. 因此得 f (x) ∈ C ∩ D, 依定 義即為 x∈ f⁻¹(C∩ D). 證明了 f⁻¹(C)∩ f⁻¹(D)⊆ f⁻¹(C∩ D), 也因此證得 f⁻¹(C∩ D) =

f⁻¹(C)∩ f⁻¹(D).

(4) 假設 x∈ f⁻¹(C\D), 表示 f (x) ∈ C\D, 亦即 f (x) ∈ C 且 f (x) ̸∈ D. 得知 x ∈ f⁻¹(C). 現 若又 x∈ f⁻¹(D), 表示 f (x)∈ D, 此與前面 f (x) ̸∈ D 相矛盾, 故知 x ̸∈ f⁻¹(D). 由 x∈ f⁻¹(C) 且 x̸∈ f⁻¹(D), 我們得 x∈ f⁻¹(C)\ f⁻¹(D). 得證 f⁻¹(C\ D) ⊆ f⁻¹(C)\ f⁻¹(D). 反之, 假 設 x∈ f⁻¹(C)\ f⁻¹(D), 表示 x∈ f⁻¹(C) 且 x̸∈ f⁻¹(D). 得知 f (x)∈ C. 現若又 f (x) ∈ D, 表示 x∈ f⁻¹(D), 此與前面 x̸∈ f⁻¹(D) 相矛盾, 故知 f (x)̸∈ D. 由 f (x) ∈ C 且 f (x) ̸∈ D, 我們得 f (x)∈ C \ D, 即 x ∈ f⁻¹(C\ D). 得證 f⁻¹(C)\ f⁻¹(D)⊆ f⁻¹(C\ D), 也因此證明了

f⁻¹(C\ D) = f⁻¹(C)\ f⁻¹(D). 

Question 5.4. 假設 X 為宇集, A⊆ X 且 f : X → X 為 function. 試問 f⁻¹(A^c)⊆ ( f⁻¹(A))^c 是否成立? 又 ( f⁻¹(A))^c⊆ f⁻¹(A^c) 是否成立?

當 f : X→ Y 為 function 且 A 為 X 的 subset 時, 既然 f (A) 為 Y 的 subset, 我們當 然可以考慮 f⁻¹( f (A)). 現假設 a∈ A, 我們有 f (a) ∈ f (A), 故依 inverse image 的定義得 a∈ f⁻¹( f (A)), 得證 A⊆ f⁻¹( f (A)). 反之, 若 x∈ f⁻¹( f (A)), 表示 f (x)∈ f (A), 但這並不表 示 x∈ A. 例如前面 f : {1,2} → {0} 定義為 f (1) = f (2) = 0 的例子. 若令 A = {1}, 我們有 f (A) ={0}, 但 f⁻¹( f (A)) = f⁻¹({0}) = {1,2} ̸= A. 由此例知 f⁻¹( f (A)) 有可能不包含於 A.

不過 A⊆ f⁻¹( f (A)) 永遠是對的.

Question 5.5. 假設 f : X→ Y 為 function. 試證明 f⁻¹( f (X )) = X .

同樣的當 C 為 Y 的 subset 時, 既然 f⁻¹(C) 為 X 的 subset, 我們當然可以考慮 f ( f⁻¹(C)).

現假設 y∈ f ( f⁻¹(C)), 表 示 存 在 x∈ f⁻¹(C) 使 得 y = f (x). 然 而 依 inverse image 的 定 義 x∈ f⁻¹(C) 表 示 f (x)∈ C, 故得 y = f (x) ∈ C. 得證 f ( f⁻¹(C))⊆ C. 反之, 若 y ∈ C, 不見 得 會 有 y∈ f ( f⁻¹(C)), 這 是 因 為 不 一 定 存 在 x∈ X 使得 y = f (x). 例如考慮函數 f :{1,2} → {3,4} 定義為 f (1) = f (2) = 3. 若令 C = {3,4}, 我們有 f⁻¹(C) ={1,2}, 但 f ( f⁻¹(C)) = f ({1,2}) = {3} ̸= C. 由此例知 C 有可能不包含於 f ( f⁻¹(C)). 不過若 y∈ C 且 存在 x∈ X 使得 y = f (x), 則情況就不一樣了. 我們有下面的結果.

Proposition 5.2.7. 假設 f : X→ Y 為 function 且 C 為 Y 的 subset, 則 f ( f⁻¹(C)) = C∩ f (X).

Proof. 前 面 已 證 得 f ( f⁻¹(C))⊆ C, 又因 f⁻¹(C)⊆ X, 故有 f ( f⁻¹(C))⊆ f (X), 因此得 f ( f⁻¹(C))⊆ C ∩ f (X). 另一方面若 y ∈ C ∩ f (X), 表示 y ∈ C 且存在 x ∈ X 使得 y = f (x). 因 此知, 此 x 滿足 f (x) = y∈ C, 亦即 x ∈ f⁻¹(C). 所以 y = f (x)∈ f ( f⁻¹(C)), 得證 C∩ f (X) ⊆

f ( f⁻¹(C)). 因此證明了 f ( f⁻¹(C)) = C∩ f (X). 

Proposition 5.2.7, 有許多應用. 例如給定函數 f : X → Y 以及 X 的 subset A. 我們有 f (A) 為 Y 的 subset, 且 f (A)⊆ f (X). 故套用 Proposition 5.2.7 (C = f (A) 的情況), 可得

f ( f⁻¹( f (A))) = f (A)∩ f (X) = f (A).

Question 5.6. 假設 f : X→ Y 為 function 且 C 為 Y 的 subset. 試利用 Proposition 5.2.7, Proposition 5.2.6 以及 Question 5.5 證明

f⁻¹( f ( f⁻¹(C))) = f⁻¹(C).

5.3. Onto, One-to-One and Inverse

Onto 和 one-to-one 是函數中兩種特殊的性質. 有這兩種特殊性質的函數就會有所謂 的反函數. 這些都是將來在進階數學課程中會遇到的性質. 我們將學習如何辨認 onto 及 one-to-one 的函數, 以及它們基本的性質.

所謂 onto (映成) 的函數, 簡單來說就是對應域裡每個元素, 都可由定義域裡的元素映射 而得. 也就是說一個函數的 range (值域) 恰為 codomain (對應域) 就是 onto 的函數. 其正 式定義如下:

Definition 5.3.1. 假設 f : X→ Y 為 function. 若 f (X) = Y, 則我們稱 f 為 onto. 也就是 說對任意 y∈ Y 皆存在 x ∈ X 使得 f (x) = y. 有時也稱 onto 的函數為 surjective function.

用 inverse image 的觀點來看 f : X→ Y 為 onto 也等同於對於任意 y ∈ Y, f⁻¹({y}) ̸= /0.

不過當要證明一個函數為 onto, 一般常用的方法還是如前一節找 image 的方法處理. 我們 看以下的例子.

Example 5.3.2. (A) 在 Example 5.2.2 中我們考慮函數 f :R \ {3} → R 定義為 f (x) = (x + 1)/(x− 3), ∀x ∈ X. 我們找出 f 的 range 為 R \ {1}. 因此 f 不是 onto. 但若考慮 “新”

的函數 g :R \ {3} → R \ {1} 定義為 g(x) = (x + 1)/(x − 3), ∀x ∈ X, 則 g(x) 為 onto.

(B) 考慮函數 f :Z → N ∪ {0} 定義為 f (n) =

{ 2n, if n≥ 0;

−2n − 1, if n < 0.

我們說明 f 為 onto. 首先由 f 的映射規則我們大致知道可以將 f 的對應域元素分成 偶數與奇數. 現若 k∈ N ∪ {0} 為偶數, 表示 k/2 ∈ Z 且 k/2 ≥ 0. 故此時取 n = k/2, 我 們有 f (n) = 2n = k. 而若 k∈ N ∪ {0} 為奇數, 表示 k + 1 ∈ Z 為偶數且 k + 1 > 0. 此時取

n =−(k+1)/2, 我們有 n ∈ Z 且 n < 0, 故依定義有 f (n) = −2n−1 = (−2(−(k+1)/2)−1 = k.

得證 f 為 onto.

當遇到抽象的函數 (即函數沒有具體的形式) 時, 有時用定義證明它是 onto 有點麻煩.

接下來我們介紹一個很好用來證明一個抽象函數為 onto 的方法.

Theorem 5.3.3. 假設 f : X→ Y 為 function. 則 f 為 onto 若且唯若存在 g : Y → X 為 function 滿足 f◦ g = idY.

Proof. (⇒) 當 f : X → Y 為 onto 時, 我們要利用 f 找到一個函數 g : Y → X 滿足 f ◦g = idY. 這一個證明其實嚴格來說是要用 Axiom of Choice 來處理, 不過由於我們尚未介紹過它, 所 以這裡的證明嚴格來說並不是很完善. 希望大家知道它的證明大致上的意思即可. 首先由 f 為 onto, 我們知道對任意 y∈ Y, f⁻¹({y}) ̸= /0. 因此對於任意 y ∈ Y, 我們定義 g(y) 為非空集 合 f⁻¹({y}) 中的某一個特定元素. 由此我們定義了一個從 Y 到 X 的函數 g. 依此定義我 們有 f◦ g : Y → Y 且對於任意 y ∈ Y, 若 g(y) = x, 則因 x ∈ f⁻¹({y}), 知 f (x) = y. 也就是說

f◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y. 得證 f ◦ g = idY.

(⇐) 現假設 g : Y → X 為 function 且滿足 f ◦ g = idY, 我們要證明 f : X→ Y 為 onto, 也 就是說對任意 y∈ Y, 要找到 x ∈ X 使得 y = f (x). 然而因 y ∈ Y, 我們有 g(y) ∈ X. 因此若考 慮 x = g(y)∈ X, 則 f (x) = f (g(y)) = f ◦g(y) = idY(y) = y. 得證確實存在 x∈ X 使得 y = f (x),

故知 f : X→ Y 為 onto. 

Example 5.3.4. 考慮 X ={1,2,3}, Y = {a,b} 以及 f : X → Y, 定義為 f (1) = f (2) = a, f (3) = b. 依此定義 f : X → Y 為 onto. 我們要找到 g : Y → X 使得 f ◦ g = idY. 由於要定義 從 Y 到 X 的函數, 所以每個 Y 中的元素都要定義其如何映射. 現由於 f⁻¹({a}) = {1,2}, 我們任取 f⁻¹({a}) 中的一個元素, 比方說取 2, 因此定義 g(a) = 2. 又由於 f⁻¹({b}) = {3}

僅有一個元素, 所以我們定義 g(b) = 3. 依此定義我們有 g : Y → X 為一個 function 且滿足 f◦ g(a) = f (g(a)) = f (2) = a 以及 f ◦ g(b) = f (g(b)) = f (3) = b. 故得 f ◦ g = idY.

Theorem 5.3.3 可以幫我們不必用 onto 的定義處理有關 onto 的證明. 例如我們有以下 的性質.

Proposition 5.3.5. 若 f1: X → Y, f2: Y → Z 皆為 onto function, 則 f2◦ f1: X → Z 亦為 onto.

Proof. (方法一) 我們可以用 onto 的定義處理, 對於任意 z∈ Z, 要找到 x ∈ X 使得 f2◦ f1(x) = z. 然而 f2: Y→ Z 為 onto, 故對此 z ∈ Z, 存在 y ∈Y 使得 f2(y) = z. 又因 f1: X→Y 為 onto, 所 以對此 y∈ Y, 存在 x ∈ X 使得 f1(x) = y. 現利用此 x, 我們有 f₂◦ f1(x) = f₂( f₁(x)) = f₂(y) = z.

因此得證 f₂◦ f1: X → Z 為 onto.

(方法二) 利用 Theorem 5.3.3, 要證明 f₂◦ f1: X → Z 為 onto, 我們僅要找到 g : Z → X 使得 ( f₂◦ f1)◦ g = idZ 即可. 然而已知 f₁: X → Y, f2: Y → Z 皆為 onto, 故由 Theorem 5.3.3 知存在 g₁: Y→ X, g2: Z→ Y 滿足 f1◦ g1= id_Y 以及 f₂◦ g2= id_Z. 現令 g = g₁◦ g2: Z→ X,

我們有 ( f₂◦ f1)◦ g = ( f2◦ f1)◦ (g1◦ g2). 利用合成函數的結合律 (Proposition 5.1.6) 以及 Lemma 5.1.5, 我們有 ( f2◦ f1)◦ (g1◦ g2) = f₂◦ ( f1◦ g1)◦ g2= f₂◦ (idY◦ g2) = f₂◦ g2= id_Z.得

證 ( f₂◦ f1)◦ g = idZ. 

要注意 Proposition 5.3.5 的反向不一定成立, 也就是說 f₂◦ f1 為 onto 並不表示 f₁, f2皆 為 onto. 例如在 Example 5.3.4 中 g :{a,b} → {1,2,3} 定義為 g(a) = 2,g(b) = 3, 不是 onto.

但 f◦ g = id_{a,b} 為 onto. 不過我們有以下之結果.

Corollary 5.3.6. 若 f₁: X → Y, f2: Y→ Z 皆為 function 且 f2◦ f1: X → Z 為 onto, 則 f2

為 onto.

Proof. 由 f₂◦ f1: X→ Z 為 onto, 利用 Theorem 5.3.3 知存在 g : Z → X 滿足 ( f2◦ f1)◦g = idZ. 因此利用合成函數結合律得 f₂◦ ( f1◦ g) = idZ. 現令 g2= f1◦ g, 我們有 g2: Z→ Y 且滿足 f₂◦ g2= f₂◦ ( f1◦ g) = idZ. 所以再次利用 Theorem 5.3.3 得證 f₂: Y → Z 為 onto.  Question 5.7. 試利用 onto 的定義證明 Corollary 5.3.6.

要注意 Corollary 5.3.6 的反向也不一定成立, 也就是說單僅假設 f₂ 為 onto 並不能保證 f₂◦ f1 為 onto.

Question 5.8. 考慮 X ={a,b}, Y = {1,2,3}, 試找到例子 f1: X→ Y, f2: Y→ X 為 functions 其中 f₂ 為 onto, 但是 f₂◦ f1 不是 onto.

接下來我們探討所謂 one-to-one (一對一) 的函數, 簡單來說就是定義域裡相異的的元素 都會被映射對應域裡相異的元素. 其正式定義如下:

Definition 5.3.7. 假設 f : X → Y 為 function. 若對於 X 中任兩相異元素 x1̸= x2, 皆有 f (x1)̸= f (x2),則我們稱 f 為 one-to-one. 有時也稱 one-to-one 的函數為 injective function.

用 inverse image 的 觀 點 來 看 f : X → Y 為 one-to-one 也 等 同 於 對 於 任 意 y ∈ Y,

#( f⁻¹({y})) ≤ 1 (有可能 f⁻¹({y})) = /0). 另外一般來說要處理不等號較為困難, 所以當 要證明 one-to-one 時, 我們大都用 Definition 5.3.7 的 contrapositive 處理. 也就是說證明對 任意 x₁, x2∈ X 滿足 f (x1) = f (x2), 則 x₁= x2. 我們看以下的例子.

Example 5.3.8. 我們探討 Example 5.3.2 中的函數是否為 one-to-one.

(A) 考慮函數 f :R\{3} → R 定義為 f (x) = (x+1)/(x−3), ∀x ∈ X. 現若 x1, x₂∈ R\{3} 滿 足 f (x₁) = f (x2),表示 (x₁+ 1)/(x1−3) = (x2+ 1)/(x2−3), 即 (x1+ 1)(x2−3) = (x2+ 1)(x1−3).

化簡得 x₂− 3x1= x₁− 3x2, 即 x₁= x₂. 因此得證 f 為 one-to-one.

(B) 考慮函數 f :Z → N ∪ {0} 定義為 f (n) =

{ 2n, if n≥ 0;

−2n − 1, if n < 0.

現假設 n₁, n2∈ Z 滿足 f (n1) = f (n2). 由於若 n₁, n2 其中有一個為大於等於 0 另一個為小 於 0, 則依 f 的定義 f (n₁) 和 f (n₂) 必為一奇一偶, 此與 f (n₁) = f (n₂) 相矛盾. 因此我們