全國高中 105 學年度 學科能力測驗 第 1 次 模擬考試 (105.7.26) 第壹部份：選擇題(占 55 分)
一、單選題(占 30 分)
說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。 各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1.若 a＜b 且 c＜d，又(c－a)(c－b)＞0 且(d－a)(d－b)＜0，則實數 a，b，c，d 的大小關係為下列哪一個選項？
(1) c＜a＜d＜b (2) a＜c＜b＜d (3) c＜d＜a＜b (4) c＜a＜b＜d (5) c＜b＜d＜a 解：1. a＜b 且(c－a)(c－b)＞0， c＞a，c＞b 或 c＜a，c＜b，如下二圖
2.a＜b 且(d－a)(d－b)＜0，a＜d＜b，但是 c＜d，上左圖不合，即上右圖為 得知 c＜a＜d＜b
答：(1)
出處：第一冊，Ch 1 數與式(數線)
2.已知 f (z)＝1＋z ，z ＝3＋2i，1 z2＝1－4i，則 f(z1z2)＝？
(1) 3－6i (2) －3＋6i (3) 3＋6i (4) 6－3i (5)－6＋3i 解：z －1 z2＝(3＋2i)－(1－4i)＝2＋6i，z1z2＝26i＝2－6i
) (z1 z2
f ＝f (2－6i)＝1＋26i＝1＋2＋6i＝3＋6i 答：(3)
出處：第一冊，Ch 2 多項式函數(複數的運算)
3.請問5log20×
5 . 0 log
21
的值為下列哪一個選項？
(1) 1 (2) 5 (3) 10 (4) 10 (5)2 10 解：5log20×
5 . 0 log
21
＝5log20×(0.5)log0.5＝5log20×(5101)log0.5＝5log20×5log0.5×10log0.5
＝5log20log0.5×10log0.51＝5log200.5×10log2＝5log10×2＝5×2＝10 答：(4)
出處：第一冊，Ch 3 指數、對數函數(指對數之運算)
4.設x，y，z 為整數，且 x，y，z 滿足 xlog ＋y2 log ＋z6 log ＝5 log1200，則 xyz 為下列哪一個選項？
(1) 6 (2) 8 (3) 9 (4) 10 (5) 12
解：原左式＝log2x＋log6y＋log5z＝log2x6y5z＝log2x(23)y5z＝log2xy3y5z＝log1200＝log 24352
x＋y＝4，y＝1，z＝2，得知 x＝3，xyz＝3×1×2＝6 答：(1)
出處：第一冊，Ch 3 指數、對數函數(指對數之運算)
5.若(x－1)2除多項式 x4＋ax3－3x2＋bx＋3 所得的餘式為 x＋1，則 ab＝？
(1) 9 (2) 2
5 (3) 1 (4) 0 (5)－3
解：根據題意，設 x4＋ax3－3x2＋bx＋3＝(x－1)2Q(x)＋(x＋1)＝(x2－2x＋1)Q(x)＋(x＋1) 利用綜合除法，如右圖，得知餘式
1 2 3
1 2 3
a b
a ，
0 1 b a
ab＝1×0＝0 答：(4)
出處：第一冊，Ch 2 多項式函數(多項式除法、綜合除法)
a b c c a b
a b c d
1 ＋a －3 ＋b ＋3
2－1 1 ＋(a＋2)
＋2 －1 －(a＋2) －2a
＋2(a＋2) ＋ 4a
＋2a ＋(3a＋b－2)＋(3－2a)
105 模擬考 CJT
6.設函數f (x)＝logax，a＞0 且 a 1，若 f (x)的值在範圍 a x 2a 上的最大值比最小值大 3
1，則 a 的所有可能值的總和 為下列哪一個選項？
(1) 8 (2) 8
65 (3) 9 (4) 9
82 (5) 4 17 解：(1)當 a＞1，f (x)＝loga x是遞增函數
∵a x 2a，loga alogaxloga2a，得
1 log
1 2 log 2
log a
a
a
a a
最小值 最大值
∵最大值比最小值大 3
1，loga2＋1＝1＋
3
1，loga2＝ 3
1，得知 3
1
a ＝2，得 a＝8 (2)當 0＜a＜1，f (x)＝logax是遞減函數
∵a x 2a，loga alogaxloga2a，得
1 2 log 2
log 1 log
a a
a
a a 最小值
最大值
∵最大值比最小值大 3
1，1＝loga2＋1＋
3
1，loga2＝－
3
1，得知 3
1
a ＝2，得 a＝
8 1
a 的所有可能值的總和＝8＋
8 1＝
8 65 答：(2)
出處：第一冊，Ch 3 指數、對數函數(指對數運算、遞增、遞減性質)
二、多選題(占 25 分)
說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，
得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7.已知數線上三點 A(a)、B(b)、C(c)，則下列敘述哪些是正確的？
(1)若 a＝ 9 45 ，則 A 點落在 3 與 4 之間 (2)若 a 為無理數，b 為無理數，則 ab 必為無理數 (3)若 a＜b，則
4 3ab
＜ 5 4ab
(4)若 a＝ 5 ＋ 12，b＝ 6 ＋ 11，c＝3＋ 8 ，則 a＜b＜c (5)a＋1＋a－2的最小值為 1
解：(1)∵ 9 45＝ 96.＜ 16 ＝4， 9 ＝3＜ 9 45＜4 (正確) (2)存在 a＝ 2，b＝－ 2，得 ab＝－2 為有理數 (不正確)
(3)∵ 5 4ab
－ 4 3ab
＝ 20 b a
＜0，得 5 4ab
＜ 4 3ab
(不正確) 另解：利用數線上的內分點公式，如右圖，得
5 4ab
＜ 4 3ab (4)相加相同，利用平方
a ＝2 ( 5 12)2＝17＋2 60 ，b ＝2 ( 6 11)2＝17＋2 66 ，c ＝2 (3 8)2＝( 9 8)2＝17＋2 72
∴c ＞2 b ＞2 a ，又 a，b，c＞0， a＜b＜c (正確) 2
(5)利用三角不等式a＋1＋a－2＝a＋1＋－a＋2( a＋1)＋(－a＋2)＝3 即當－1 a 2 時，a＋1＋a－2有最小值為 3 (不正確)
另解：作圖如右，a＋1＋a－2 3 答：(1)(4)
出處：第一冊，Ch 1 數與式(無理數、數線上的幾何、比較大小)
0 2
－1 3
x y
4 3ab
5
4ab b a
8.解下列個不等式，則下列哪些選項 x 的範圍在數線上所占的長度為 8？(不用考慮端點) (1)x 4 (2) 2x－1 8 (3) 1 x＋1 9 (4) x2－2x－15 0 (5)
2 8
x ＋1＜0 解：(1)x 4，－4 x 4，長度為 4－(－4)＝8 (正確)
(2) 2x－1 8，－8 2x－1 8，－
27 x 2
9，長度為 2 9－(－
2
7)＝8 (正確) (3) 1 x＋1 9，1 x＋1 9 或 1－x－1 9，∴ 0 x 8 或－10 x －2，
0 x 8，長度為 8－0＝8；－10 x －2，長度為－2－)－10)＝8，總長度＝8＋8＝16 (不正確) (4) x2－2x－15 0，分解得(x＋3)(x－5) 0，－3 x 5，長度為 5－(－3)＝8 (正確)
(5) 2 8
x ＋1＜0，
2 6
x
x ＜0，(x＋6)(x－2)＜0，－6 x 2，長度為 2－(－6)＝8 (正確) 答：(1)(2)(4)(5)
出處：第一冊，Ch 1 數與式，Ch 2 多項式函數 (絕對值、分式與二次不等式)
9.下列哪些選項，其方程式有實數解？
(1) x＝log2(x1) (2)10 ＝x x3 (3)x ＝2 2x － 2 1 (4) x5－7x4＋x3＋2x2－5x＋1＝0 (5) x4＋7x2＋5＝0
解：(1)視為聯立式
) 1 ( log2 x y
x
y ，分別作圖如下圖左，得知圖形無交點，即無實數解
(2)視為聯立式
3
10 x y y x
，分別作圖如上圖中，得知圖形無交點，即無實數解
(3)x ＝2 2 x － 2
1，x ＋2 2
1＝2x ，視為聯立式
y x
x y
2 2
2 1
，分別作圖如上右圖，因圖形交 2 點，即有 2 實數解
(4)∵x5－7x4＋x3＋2x2－5x＋1＝0 為實係數 5 次(奇數次)方程式，根據需根成雙定理，得知至少有 1 實數根 (5)令 y＝x2，原式變為 y2＋7y＋5＝0，得解 y＝
2 29 7
或
2 29 7
即 x2＝ 2
29 7
＜0，有 2 共軛複數根；又 x2＝ 2
29 7
＜0，也有 2 共軛複數 即原方程式有 4 個複數根，得知無實數解
答：(3)(4)
出處：第一冊，Ch 2 多項式函數，Ch 3 指數、對數函數(指對數作圖、性質，複數根之判別)
10.設 kn 10 ＜
15
1 6
＜k n 10
1
，其中 n，k 皆為正整數，則下列敘述哪些是正確的？
(1) n＝11 (2) k＝2 (3)
15
1 6
在小數點後第 11 為始出現不為 0 的數字
(4)
15
61
在小數點以下開始出現不為 0 的數字是 3 (5) n＋k＝14 x
y y＝x
y＝log2(x1)
x y
y＝10x y＝x 3
O x
y
y＝x ＋2 2 1
y＝2 x O
1
交點
105 模擬考 CJT
解：根據題意，意即
15
61
寫成小數時，小數點後第 n 位始出現不為 0 的數，又此數為 k？
令 x＝
15
61
，取log ＝logx
15
61
＝(－15)log ＝(－15)(6 log ＋2 log )＝(－15)(0.3010＋0.4771)＝－11.6715 3
log ＝－11.6715＝－12＋0.3285，即首數＝－12，尾數＝0.3285，且x log ＜0.3285＜2 log ，知 0.3285＝3 log2.
∴log ＝x log1012＋log2.＝log2.1012， x＝2.1012， 12 10
2 ＜x＜ 12 10
3
表示
15
61
寫成小數時，小數點後第 12 位始出現不為 0 的數，又此數為 2，n＝12，k＝2
答：(2)(5)
出處：第一冊，Ch 3 指數、對數函數(首數、尾數的應用)
11.設二次函數 f (x)＝x2－2ax＋b 的圖形過點(1，1)，且和 x 軸有兩個相意交點，若此兩個交點都在－1＜x＜1 的範圍內，
則下列敘述哪些是正確的？
(1) b＝2a (2) f (－1)＜0 (3)－1＜a＜1 (4) f (a)＞0 (5)－
4
1＜a＜0 解：(1)∵f (x)＝x2－2ax＋b 的圖形過點(1，1)，∴f (1)＝1－2a＋b＝1，2a－b＝0，即 b＝2a (1)正確
(2) f (x)為開口向上之拋物線，根據題意，如右圖，得知 f (－1)＞0 (2)不正確 (3)∵f (x)＝x2－2ax＋b＝x2－2ax＋2a＝(xa)2＋(2a－a2)
頂點為(a，2a－a2)，根據題意，x 分量：－1＜a＜1 (3)正確 (4)如右圖，得知對稱軸 x＝a， f (a)＜0 (4)不正確
(5)由
0 4 1 ) 1 (
0 2
1 1
2
a f
a a y
a x
分量 頂點
分量 頂點
，
4 1
2 0
1 1
a
a a
a
或 ，得知－
4
1＜a＜0 (5)正確
答：(1)(3)(5)
出處：第一冊 Ch2 多項式函數(二次函數性質)
第貳部份：選填題(占 45 分)
說明：1.第 A 至 I 題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(12－26)。
2.每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。
A.一道絕對值不等式題目mx＋1＜n。阿燦看錯 m，解得 x 的範圍為－4＜x＜2；小銘看錯 n，解得 x 的範圍為－3＜x＜2，
則在正確的題目中，m＋n 應為______
解：阿燦：－4＜x＜2，－3＜x＋1＜3，x＋1＜3，看錯 m，∴得知 n＝3 小銘：－3＜x＜2，，－
2 5＜x＋
2 1＜
2
5，x＋
21 ＜
2
5，2x＋1＜5，看錯 n，∴得知 m＝2
∴m＋n＝2＋3＝5 答：5
出處：第一冊 Ch 1 數與式(絕對值不等式)
○12
－1 1
x y (1,1)
x＝a
B.設二次函數 y＝x2－3x＋k 的圖形與直線 y＝x－1 交於 P，Q 兩點，若 PQ ＝4 2，則 k＝______。
解：P，Q 兩交點
1
2 3 x y
k x x
y ，得 x2－3x＋k＝x－1， x2－4x＋(k＋1)＝0，解得 x＝2 k3
當 x＝2＋ k3，y＝x－1＝1＋ k3，令 P(2＋ k3，1＋ k3) 當 x＝2－ k3，y＝x－1＝1－ k3，令 Q(2－ k3，1－ k3)
PQ ＝ [2 k3]2 [2 k3]2 ＝ 8(k3)＝4 2，得 k＝－1
另解：(1)P，Q 兩交點
1
2 3 x y
k x x
y ，得 x2－3x＋k＝x－1， x2－4x＋(k＋1)＝0
(2)令 x2－4x＋(k＋1)＝0 的兩根為、，
1 4
k
兩根積
兩根和 且設 P(，－1)，Q(，－1)
PQ ＝ ()2 [(1)(1)]2 ＝ 2( )2 ＝ 2[()24]＝4 2
平方，4[( )2－4]＝32，∴( )2－4＝8，16－4(k＋1)＝8，得 k＝－1 答：－1
出處：第一冊 Ch 2 多項式函數(距離；根與係數的關係)
C.已知 a，b，c，d 皆為大於 1 的正數，且a ＝2 b ＝3 c ＝4 d ，則5 logadbc＝ 。(化為最簡分數) 解：令a ＝2 b ＝3 c ＝4 d ＝5 k60，a＝k30，b＝k20，c＝k ，d＝15 k ，得 ad＝12 k42，bc＝k35
logadbc＝logk42 k35＝ logkk 42
35 ＝ 42 35＝
6 5 答：6
5
出處：第一冊 Ch 3 指數、對數函數 (指對數運算之應用)
D.已知實係數四次方程式x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝0 有實數，其中某兩根和為 3－i，另外的兩根乘積為 8＋4i，
則 d＝_____ 。
解：(1)根據題意，實係數四次多項式方程式恰有四根，又某兩根和為 3－i，得知此兩根為一實數根，一虛根 可假設此兩根為、k－i，、k 為實數
(2)根據實係數方程式虛根成共軛性質，假設另兩根為、k＋i，為實數
(3)
i i
k
i i
k
4 8 ) (
3 ) (
，
i i
k
i i k
4 8
3 ) (
，
4
8 3
k
k
，
4 2 1
k
d＝()(k－i)()(k＋i)＝1×(2－i)×4×(2＋i)＝20 答：20
出處：第一冊 Ch 2 多項式函數 (實係數方程式虛根成共軛性質)
E.設f (x)，g(x)為多項式，若(x2＋1) f (x)除以 x－1 的餘式為 6，而(4x－3)g(x)除以 x2－4x＋3 的餘式為 2x＋1，
則(x2＋x＋1)f (x)g(x)除以 x－1 的餘式為______。
解：根據題意，設(x2＋1) f (x)＝(x－1)Q1(x)＋6 ……(1)，(4x－3)g(x)＝(x2－4x＋3)Q2(x)＋(2x＋1) ……(2) 令(x2＋x＋1)f (x)g(x)＝(x－1)Q(x)＋k ……(3)
當 x＝1，代入(1)，得 2 f (1)＝6， f (1)＝3 代入(2)，得 g(1)＝3
代入(3)，得 3 f (1) g (1)＝3×3×3＝k， k＝27 即(x2＋x＋1)f (x)g(x)除以 x－1 的餘式為 k＝27
答：27
出處：第一冊 Ch 2 多項式函數 (除法原理、餘式定理)
○13○14
○15
○16
○17○18
○19○20
105 模擬考 CJT
F.小萱想用竹籬沿著河邊圍出面積為 288 平方公尺的長方形菜圃，並在其中一邊留下 4 公尺的入口，另外一邊留下 2 公尺的入出口(相鄰河的一邊不圍竹籬)，僅圍三個邊)，
如右圖所示，則小萱最少可用______公尺的竹籬就能夠完成目標 解：(1)如右圖，設長為 x 公尺，寬為 y 公尺，面積 xy＝288
使用竹籬長＝周長＝(x－4)＋y＋(y－2)＝x＋2y－6 (2)利用算幾不等式，先求x＋2y 的最小值
2 2y
x x( y2 )＝ 2xy ＝ 576 ＝24
∴x＋2y 48，周長＝x＋2y－6 48－6＝42 另解：(1)如右圖，設長為 2x＋4 公尺，寬為 2y＋2 公尺，
面積(2x＋4)(2y＋2)＝288，(x＋2)(2y＋2)＝144
使用竹籬長＝周長＝2x＋2y＋(2y＋2)＝2x＋4y＋2＝2(x＋2y)＋2 (2)利用算幾不等式，先求x＋2y 的最小值
2
) 2 2 ( ) 2
(x y (x2)(2y2)＝ 144＝12
(x＋2)＋(2y＋2) 24，得知 x＋2y 20，∴周長＝2(x＋2y)＋2 2×20＋2＝42 答：42
出處：第一冊 Ch 1 數與式 (利用算幾不等式求最大、最小值)
G.已知x＞1 且 y＞1，若logyx－3logx y4＝
4
log 2 1，則 x2－6y2＋4 的最小值為______。
解：(1)方程式左式＝logyx－3logx y4＝logyx－12logx y；右式＝
4
log 2 1＝ 2
2
2 log
2 1
＝－4
即方程式 logyx－12logx y＝－4
(2)令logx y＝A，(∵x＞1 且 y＞1，∴A＞0)，則logyx＝ A 1 方程式
A
1 －12×A＝－4，化簡為 12A －4A－1＝0，分解(2A－1) (6A＋1)＝0，得 A＝2 2
1或 A＝－
6
1(不合)
∴A＝2
1＝logx y，得關係式 2
1
x ＝y，即 x＝y 2
(3)所求x2－6y2＋4＝x2－6x＋4＝(x3)2－5 －5，即得最小值為－5 答：－5
出處：第一冊 Ch 3 指數、對數函數 (指對數運算、配方法求最小值)
H.「GO 黑勳」錢莊貸款一律採「九出十三歸」法則計算：貸款者借 10000 元，實拿 9000 元(1000 元為貸款手續費)，一 期(10 天)後須償還 13000 元，並且採複利計息。今阿拓跟「GO 黑勳」貸款 20000 元，(實拿 18000 元)，且其間未償還 任何借款，則最少經過_____個月後阿拓須償還超過 4000000 元。(log1.30.1139，一個月以 30 天計，不足一個月者以 一個月計算)
解：(1)根據題意：本金 10000 元，一期後得本利和 13000 元
設利率為 r，利用公式 10000(1r)1＝13000，得知利率 r＝0.3 (2)設阿拓貸款 20000 元，x 期後須償還超過 4000000 元
利用公式 20000(10.3)x4000000，(10.3)x 200 取 log (10.3)xlog200＝2＋log ＝2.3010 2
x( log1.3) 2.3010， x
1139 . 0
3010 .
2 20.2，x 20.2×10 天＝202 天 6.7 月
∴最少 7 個月後阿拓須償還超過 4000000 元 答：7
出處：第一冊 Ch 3 指數、對數函數 (指對數運算、解複利計息問題)
○21○22
○23○24
○25
x y
x
y
x 2x＋4
y 2y＋2
I.若1：x－3＝log7 y與2： y x3
＝49
1 在第一象限交於 P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，其中x1＜x2，且 k＜x2＜k＋1，
k 為正整數，則 k＝_____。
解：1：y＝7x3代入2：x ＝3 49
1 y＝
49
1 ×7x3＝7x5，即解x ＝3 7x5的 x 值 圖解之示意圖，如右圖
x 5 6 7 8 9
x ＝3 7x5 x ＞3 7x5 x ＞3 7x5 x ＞3 7x5 x ＞3 7x5 x ＜3 7x5 得知 8＜x＜9 時，使x ＝3 7x5，即 k＝8
答：8
出處：第一冊 Ch 2 多項式函數(勘根定理)，Ch 3 指數、對數函數
○26
x y
x2
x1 O
y＝x 3 y＝7x5
