三、 對稱群及集合分割上的組合數

Fa´ a di Bruno 公式在恆等式及 計數上的應用

廖信傑

一、 引言

對合成函數做高次微分後會得到甚麼結果? 歷代的數學家們在賦予函數各種限制之下做過 很多討論, 而在 1855 年出現了第一位在沒有限制函數的情況下解決這個問題的數學家 — Francesco Fa´a di Bruno, 以下便是他得到的主要結果:

Fa´a di Bruno’s 公式: 假設函數 f (t) 及 φ(t) 皆 n 次可微, 則 f ◦ φ 的 n 次微分為 Dⁿ((f ◦ φ) (t)) =X

σ(n)

n!

k₁!k₂! · · · k_n!(D^kf ) Dφ(t) 1!

k1 D²φ(t) 2!

k2

· · · Dⁿφ(t) n!

kn

,

其中 D 代表 _dt^d, σ(n) 表示 n 的所有分割所成的集合, 即是聯立方程組 (k₁+ k₂+ · · · + k_n = k

k₁+ 2k₂+ · · · + nk_n = n (1 ≤ k ≤ n) 的所有非負整數解 (k₁, k2, . . . , kn)。

給定正整數 k, 我們以 σ(n, k) 表示將 n 分成 k 個部分的分割所成的集合, σ(n, k) 也可 以視為一個聯立方程組的所有非負整數解 (k₁, k2, . . . , kn) :

(k1+ k2+ · · · + kn = k k1+ 2k2+ · · · + nkn= n ,

顯然地 σ(n) = ⊎ⁿ_k=1σ(n, k)。 本文將 Fa´a di Bruno 公式簡稱為 FdB。

關於 FdB 的研究已經沉寂了好一段時間, 但近幾年因為發現 FdB 在其他領域上面的 應用, 這塊領域又漸漸復甦, Lukacs [7] 將 FdB 應用在數理統計上, Roman [9]用umbral

75

calculus 的理論重新證明 FdB 公式, Constantine [5] 用 FdB 推廣了與集合分割有關的 恆等式並給出其機率解釋, Chu [10]用FdB 得到許多表成行列式的恆等式, Chou, Hsu 及 Shiue [3] 由 FdB 造出一類互逆關係從而導出一系列的恆等式。 關於FdB 研究的簡史可以參 閱 Johnson [6]。

本文目的為利用 FdB 得到各種著名組合數的恆等式, 含括 Catalan 數, 第一類及第二類 Stirling 數, q-二項式係數 · · · 等, 及 FdB 在計數上的應用; 在第二節中, 我們利用 FdB 得 到了多種組合數的恆等式; 在第三節中, 我們由第一類及第二類 Stirling 數、 錯排數(number of derangements)、 Bell數的指數生成函數 (exponential generating function) 用 FdB 導出的恆等式獲得這些數的組合意義, 並得到一些限制置換 (permutation) 中圈結構 (cycle structure) 和限制集合分割 (set partition) 的子集大小的結果。

二、 用 FdB 求組合恆等式

對任意給定冪級數 φ(t) =P_∞

n=0antⁿ, 我們以 _φ

n 表示 tⁿ 的係數, 即 φ(t) =X

n≥0

φ n

 tⁿ。

假設 f 有反函數, 考慮合成函數 (f ◦ φ) (t) 和 (f⁻¹◦ (f ◦ φ)) (t), Chou, Hsu 與 Shiue 將 FdB 改寫, 得到下列兩個等式

f ◦ φ n



=X

σ(n)

D^kf

x=φ(0)

_φ

1

k1_φ

2

k2

. . ._φ

n

kn

k₁!k₂! . . . k_n! , (1)

φ n



=X

σ(n)

D^kf⁻¹

x=f ◦φ(0)

_{f ◦φ}

1

^k1_{f ◦φ}

2

^k2

. . ._{f ◦φ}

n

^kn

k1!k2! . . . kn! 。 (2) 因為 _{f ◦φ}

n  和 ^φ

n 在 (1) 及 (2) 中所處的地位恰好相反, 稱這兩條恆等式為一組互逆關係式。

特別地, 考慮 f (x) = e^x, φ(t) =P_∞

n=0antⁿ, 令 bn =_{f ◦φ}

n , 若 φ(0) = 0, 則由 (1) 及 (2) 有以下互逆關係[3]

bn=X

σ(n)

a1k1a2k2. . . ankn

k₁!k₂! . . . k_n! , (3) an=X

σ(n)

(−1)^k−1(k − 1)!b1k1b2k2. . . bnkn

k1!k2! . . . kn! 。 (4) 定理 1 (Catalan數). 對任意正整數 n, 有互逆關係

Cn= 1 n + 1

2n n



= 1 n + 1

X

σ(n)

2^2n−k

1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn!

及

4ⁿ= 2nX

σ(n)

(−1)^k−1(k − 1)!

n

Y

i=1 2i

i

ki

ki! 。

證明: 令 f (x) = e^x、 φ(t) = ln^√_1−4t¹ = −¹₂ln(1 − 4t) = ¹₂

4t +⁴²₂^t2 + ⁴³₃^t3 . . . , 從而

a_i =φ i



= 1 2

 4ⁱ i



; 又 (f ◦ φ) = f (φ(t)) = √¹

1−4t =P

i≥0 2i

i
tⁱ, 於是 bi =f ◦ φ

i



=2i i



。 故由FdB 的 (3) 可得

2n n



=X

σ(n)

₁

2 4 1

k1h

1 2

4² 2

ik2

. . .₁

2 4ⁿ

n

kn

k1!k2! . . . kn!

=X

σ(n)

4^{k1+2k2+···+nkn}

2^{k1+k2+···+kn}1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn!

=X

σ(n)

4ⁿ

2^k1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn! =X

σ(n)

2^2n−k

1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn!。 等號兩邊同除 ¹

n+1 可得第一條恆等式; 由 FdB 的 (4) 可得 4ⁿ= 2nX

σ(n)

(−1)^k−1(k − 1)!

n

Y

i=1 2i

i

ki

ki! 。 

定理 2. 對任意正整數 n, r, 有互逆關係 1ⁿ+ 2ⁿ+ · · · + rⁿ= nX

σ(n)

(−1)^k−1(k − 1)!

n

Y

i=1

S(r + i, r)^ki k_i! 及

S(n + r, r) =X

σ(n) n

Y

i=1

(1ⁱ+ 2ⁱ+ . . . + rⁱ)^ki i^kiki! , 或

S(n, r) = X

σ(n−r) n−r

Y

i=1

(1ⁱ+ 2ⁱ+ . . . + rⁱ)^ki i^kiki! 。

證明: 令 f (x) = e^x、 φ(t) = ln(1−t)(1−2t)···(1−rt)¹ , 顯然 φ(0) = 0。 第二類 Stirling 數的生成 函數為 (見[4, p.207])

(f ◦ φ(t)) = 1

(1 − t)(1 − 2t) · · · (1 − rt) =X

i≥r

S(i, r)t^i−r, 故

bi=f ◦ φ i



= S(r + i, r);

另一方面因為

φ(t) = ln 1

(1 − t)(1 − 2t) · · · (1 − rt)

=

r

X

i=1

(− ln (1 − it)) =

r

X

i=1

X

j≥1

i^j

jt^j =X

j≥1 r

X

i=1

i^j j t^j, 觀察 tⁿ 的係數可得

ai =φ n



=

r

X

i=1

iⁿ

n = 1ⁿ+ 2ⁿ+ · · · + rⁿ

n 。

利用FdB 的 (4) 我們可以得到 1ⁿ+ 2ⁿ+ . . . + rⁿ

n =X

σ(n)

(−1)^k−1(k − 1)!S(r + 1, r)^k1S(r + 2, r)^k2. . . S(r + n, r)^kn k₁!k₂! . . . k_n! , 等號兩邊同乘 n 即得第一條恆等式; 由 FdB 的 (3) 可得第二條恆等式

S(n, r) = X

σ(n−r) n−r

Y

i=1

(1ⁱ+ 2ⁱ+ . . . + rⁱ)^ki

i^kik_i! 。  註 1. 除了上述定理外, 連續整數的冪次和與 S(n, k) 還有以下關係 (見[4, p.221])

1ⁿ+ 2ⁿ+ . . . + rⁿ=

n

X

k=1

k!S(n, k)r + 1 k + 1



。 定理 3. 對任意整數 n, r, 有互逆關係

n r



=X

σ(r)

(−1)^r−kn^k 1^k1k1!2^k2k2! . . . r^krkr! 及

(−1)^r−1n r =X

σ(r)

(−1)^k−1(k − 1)!

n 1

k1 n 2

k2

. . . ⁿ_r
kr

k1!k2! . . . kr! 。

證明: 取 f (x) = e^x、 φ(t) = ln(1 + t)ⁿ = n ln(1 + t), 顯然 φ(0) = 0。 因為 f ◦ φ(t) = (1 + t)ⁿ=Pn

i=0 n

i
tⁱ, 可以推得

bi =f ◦ φ i



=n i



; 由 φ(t) = n ln (1 + t) =P

i≥1(−1)ⁱ⁻¹n

i tⁱ, 可以推得 ai =φ

i



= (−1)ⁱ⁻¹n i。 於是由FdB 的 (3) 可得

n r



=X

σ(r)

(−1)^{0 n}₁
k1

(−1)^{1 n}₂
k2

. . . (−1)^{r−1 n}_r
kr

k1!k2! . . . kr!

=X

σ(r)

(−1)^r−kn^k 1^k1k1!2^k2k2! . . . n^krkr!; 由 FdB 的 (4) 可得第二條恆等式

(−1)^r−1n

r =X

σ(r)

(−1)^k−1(k − 1)!

n 1

k1 n 2

k2

. . . ⁿ_r
kr

k1!k2! . . . kr! 。  接下來我們要討論與二項式係數有很多相似性質的組合數 — q-二項式係數 (q-binomial co- efficient) _n

r



q。 定義

n k



q

=







(1 − qⁿ)(1 − qⁿ⁻¹) . . . (1 − q^n−k+1)

(1 − q)(1 − q²) . . . (1 − q^k) , 當n ≥ k > 0;

1, 當n ≥ k = 0

定理 4. 對任意正整數 n, r, 有互逆關係

q(^r2)n r



q

=X

σ(r)

(−1)^r−k

r

Y

i=1

1−qⁿⁱ 1−qⁱ

ki

i^kik_i! 及

q^nr − 1

q^r− 1 = rX

σ(r)

(−1)^r−k(k − 1)!q^Pri=0ki(2ⁱ)Y^r

j=0





_n

j

kj

q

kj!



 。

證明: q-二項式係數有下列恆等式 (見[4, p.118])

n−1Y

j=0

(1 + q^jt) =

n

X

j=0

q(^j2)n j



q

t^j

令 f (x) = e^x、 φ(t) = lnn−1

Q

j=0

(1 + q^jt)

= ⁿ⁻¹P

j=0

ln (1 + q^jt) = P

m≥1 n−1P

j=0

(−1)^m−1q^jm m t^m, 則 φ(0) = 0 且

ai =φ i



= (−1)ⁱ⁻¹

n−1

X

j=0

q^ji

i = (−1)ⁱ⁻¹1 + qⁱ+ q²ⁱ+ . . . + q⁽ⁿ⁻¹⁾ⁱ i

= (−1)ⁱ⁻¹ i

1 − qⁿⁱ 1 − qⁱ ; 現在 (f ◦ φ) (t) = ⁿ⁻¹Q

j=0

(1 + q^jt) = Pⁿ

j=0

q(^j2)ⁿ

j



qt^j, 則對任意 i ≤ n 有 bi =f ◦ φ

i



= q(²ⁱ)n i



q

; 於是由 FdB 的 (3) 可得

q(^r2)n r



q

=f ◦ φ r



=X

σ(r)

(−1)^{Prj=1(j−1)kj}

1−qⁿ 1−q

k1

1−q²ⁿ 1−q²

k2

. . .

1−q^rn 1−q^r

kr

1^k1k1!2^k2k2! . . . r^krkr!

=X

σ(r)

(−1)^r−k

1−qⁿ 1−q

k1

1−q²ⁿ 1−q²

k2

. . .

1−q^rn 1−q^r

kr

1^k1k₁!2^k2k₂! . . . r^krk_r! ; 又由 FdB 的 (4) 可得第二條恆等式

q^nr− 1

q^r− 1 = rX

σ(r)

(−1)^r−k(k − 1)!q^Pri=0ki(2ⁱ)Y^r

j=0



_n

j

kj

q

kj!

。 

定理 5. 對任意正整數 n, 有互逆關係

n + r − 1 r



q

=X

σ(r) r

Y

i=1

1−qⁿⁱ 1−qⁱ

ki

i^kiki! 及

n−1

X

i=0

q^ir=1 − q^rn

1 − q^r = rX

σ(r)

(−1)^k−1(k − 1)!

r

Y

i=1

_n+i−1

i

ki

q

ki! 。 證明: q-二項式係數有下列恆等式(見[4, p.118])

n−1Y

i=0

1

1 − qⁱt =X

i≥0

n + i − 1 i



q

tⁱ。 (5)

令 f (x) = e^x、 φ(t) = lnn−1

Q

j=0 1 1−q^jt

=ⁿ⁻¹P

j=0

(− ln(1 − q^jt)) = P

m≥1 n−1P

j=0 q^mj

m t^m, 則 φ(0) = 0 且

ai =φ i



= Xn−1

j=0

q^ij i = 1

i · 1 − qⁿⁱ 1 − qⁱ ; (f ◦ φ) (t) = Q_n−1

i=0 1 1−qⁱt, 則

bi =f ◦ φ i



=n + i − 1 i



q

。 於是用FdB 的 (3) 可得第一條恆等式

n + r − 1 r



q

=X

σ(r)

1−qⁿ 1−q

k1

1−q²ⁿ 1−q²

k2

. . .

1−q^rn 1−q^r

kr

1^k1k1!2^k1k2! . . . r^krkr! ; 由FdB 的 (4) 可得第二條恆等式

Xn−1 i=0

q^ir = 1 − q^rn

1 − q^r = rX

σ(r)

(−1)^k−1(k − 1)!

r

Y

i=1

_n+i−1

i

ki

q

ki! 。  我們稱 a₁ + a₂ + . . . + a_m = n (a₁ ≥ a₂ ≥ . . . ≥ a_m ≥ 1) 的一組整數解 (a₁, a₂, . . . , a_m) 為正整數 n 的一個分割 (partition), 並將 n 的所有分割的個數記為 p(n)。

於是 p(n) 的生成函數為 (見[4, p.97]) X

n≥0

p(n)tⁿ=Y

i≥1

1

1 − tⁱ, (6)

令 α(n) =P

d|nd, 即 n 的所有正因數和。

定理 6. 對任意正整數 n, 有互逆關係 p(n) =X

σ(n)

α(1)^k1α(2)^k2. . . α(n)^kn 1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn! 及

X

d|n

1

d =α(n)

n =X

σ(n)

(−1)^k−1(k − 1)!p(1)^k1p(2)^k2. . . p(n)^kn k₁!k₂! . . . k_n! 。 證明: 令 f (x) = e^x、 φ(t) = ln(Q

j≥1(1 − t^j)⁻¹) = −P

j≥1ln(1 − t^j) =P

l≥0

P

j≥1 1 lt^jl, 則 φ(0) = 0 且

ai =φ i



=X

d|i

1 d;

又由 (6) 知 (f ◦ φ) (t) = _{(1−t)(1−t}2¹)...(1−tⁿ)... =P

n≥0p(n)tⁿ, 從而 bi =f ◦ φ

n



= p(n)。

注意到 P

d|n 1

d = P

d|n 1

n/d = _n¹P

d|nd = _n¹α(n), 從而 P

d|n1

d = _n¹α(n)。 現在用FdB 的 (3) 可推得

p(n) =X

σ(n)

P

d|1 1 d

k1 P

d|2 1 d

k2

. . . P

d|n 1 d

kn

k1!k2! . . . kn!

=X

σ(n) 1

1α(1)
k1 1

2α(2)
k2

. . . _n¹α(n)
kn

k₁!k₂! . . . k_n!

=X

σ(n)

α(1)^k1α(2)^k2. . . α(n)^kn 1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn! 。 由 FdB 的 (4) 可推得第二條恆等式

1

nα(n) =X

d|n

1

d =X

σ(n)

(−1)^k−1(k − 1)!p(1)^k1p(2)^k2. . . p(n)^kn

k1!k2! . . . kn! 。  註 2. Chou,Hsu和 Shiue [3]也有得到以上等式, 但用的方法與我們不同。

三、 對稱群及集合分割上的組合數

這一節, 我們將由已知的第一類及第二類Stirling 數、Bell 數、 錯排數 (number of de- rangements) 的指數生成函數出發, 利用 FdB 推導出這些數的組合意義, 從而可用 FdB求出 錯排數及 Bell 數加上更多限制的生成函數。 首先, 我們先考慮第一類 Stirling 數 s(n, k) 及 錯排數 Dn 。

對稱群 Sn (symmetric group) 中的每一個置換皆可唯一分解成互斥圈 (disjoint cycle) 的乘積。 若一個置換分解成互斥圈後, 長度為 i 的圈有 ki 個 (i = 1, 2, . . . , n), 則我們稱這個 置換是屬於 1^k12^k2. . . n^kn 型的置換。

下面是已知的事實 (證明請參閱 Charalambides [2, p.464]):

給定非負整數 k1, k2, . . . , kn, 則 Sn 中 1^k12^k2. . . n^kn 型置換的個數為 n!

1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn! 。 (7)

第一類Stirling 數的指數生成函數為 X

n≥r

s(n, r)tⁿ n! = 1

r!(ln(1 + t))^r。 (8) 錯排數 Dn 的指數生成函數為

X

n≥0

Dn

tⁿ

n! = 1

e^t(1 − t)。 (9)

定理 7. 對任意正整數 n 及非負整數 r (n ≥ r), s(n, r) = (−1)^n−r X

σ(n,r)

n!

1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn!。

證明: 取 f (x) = x^r、 φ(t) = ln(1 + t)。 因為 D^kf (x) = D^kx^k = r(r − 1)(r − 2) . . . (r − k + 1)x^r−k, 所以

D^kf (x)

x=φ(0)=0 = r(r − 1)(r − 2) . . . (r − k + 1)δr,k, 其中

δr,k=

(1 , 若r = k 0 , 若r 6= k ; φ(t) 中 tⁱ 係數為

φ i



= (−1)ⁱ⁻¹1 i; 將 (8) 改寫為 (ln(1 + t))^r =P

n≥rr!s(n, r)^t_n!ⁿ, 於是

f ◦ φ n



=(ln(1 + t))^r n



= r!

n!s(n, r)。

用FdB 的 (1) 可得 r!

n!s(n, r)

=X

σ(n)

r(r − 1)(r − 2) . . . (r − k + 1)δr,k

(−1)^{1−1 1}₁k1

(−1)^{2−1 1}₂k2

. . .(−1)^{n−1 1}_nkn

k1!k2! . . . kn!

=X

σ(n)

r(r − 1)(r − 2) . . . (r − k + 1)δ_r,k (−1)^n−k

1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn!

= X

σ(n,r)

(−1)^n−rr!

1^k1k1!2^k2k2! . . . n^knkn!,

等號兩邊同乘上 ^n!

r! 後可得

s(n, r) = (−1)^n−r X

σ(n,r)

n!

1^k1k₁!2^k2k₂! . . . n^knk_n!。  註 3. Comtet [4, p.232]也用不同的方法證得上述結果。

定理 8. 對任意正整數 n,

Dn= X

k2+k3+...+kn=k 2k2+3k3+...+nkn=n

n!

2^k2k2! . . . n^knkn!。

證明: 取 f (x) = ln(x)、 φ(t) = _et(1−t)¹ , 顯然 f ◦ φ(0) = 0。 由 (9) 知 φ(t) 的 tⁿ 項係數為

φ n



= Dn

n! ;

因為 f ◦ φ(t) = − ln(1 − t) − t = ^t₂² +^t₃³ + . . ., 對任意正整數 i

f ◦ φ i



=

(0, 當i = 1

1

i, 當i 6= 1 。 因為 _{f ◦φ}

1  = 0, 只有 k1 = 0 時 [^{f ◦φ}1 ]^k1[^{f ◦φ}2 ]^k2...[^{f ◦φ}n ]^kn

k1!k2!...kn! 6= 0, 故由FdB 的 (4) 可得 Dn

n! =X

σ(n)

_{f ◦φ}

1

k1_{f ◦φ}

2

k2

. . ._{f ◦φ}

n

kn

k1!k2! . . . kn!

= X

k2+k3+...+kn=k 2k2+3k3+...+nkn=n

1

2^k2k2! . . . n^knkn!,

即

Dn= X

k2+k3+...+kn=k 2k2+3k3+...+nkn=n

n!

2^k2k₂! . . . n^knk_n!。  註 4. 定理 8 的恆等式可直接由 (7) 及錯排數本身的定義得到, 但我們的做法是反過來從指數 生成函數出發, 利用 FdB 得到這個恆等式, 同時也得到錯排數的組合意義。

由 (7) 可知定理 7 及定理 8 中連加符號內的被加項分別為 1^k12^k2. . . n^kn 型置換及 1⁰2^k2. . . n^kn 型置換的個數。

我們先觀察定理 7 中的置換, 這些置換所對應的 (k₁, k2, . . . , kn) 為 σ(n, r) 內的元素, 從而 (k₁, k2, . . . , kn) 必須滿足

(k1+ k2+ · · · + kn = r k1+ 2k2+ · · · + nkn= n 。

另一方面, 對所有 1 ≤ i ≤ n, ki 代表長度為 i 的互斥圈的個數, 所以 k1+ k2+ · · · + kn= r 代表互斥圈的總數為 r, 而 k1+ 2k2+ · · · + nkn = n 則代表這個置換是 Sn 中的元素, 因此 P

σ(n,r) n!

1^k1k1!2^k2k2!...n^knkn! 可以解釋為 S_n 中互斥圈總數為 r 的置換的個數, 於是我們得到了 組合學中廣為人知的|s(n, r)| 的組合意義: S_n 中互斥圈總數為 r 的置換的個數。

而定理 8 中的置換對應的 (k₁, k₂, . . . , k_n) 需滿足





 k1 = 0

k₁+ k₂+ · · · + k_n= k (1 ≤ k ≤ n) k₁+ 2k₂+ · · · + nk_n = n

,

其中因為 k1 = 0, 這些置換分解成相斥圈後, 都不具有長度為 1 的圈, 換句話說就是沒有固定 點 (fixed point), 因此

X

k2+k3+...+kn=k 2k2+3k3+...+nkn=n

n!

2^k2k2! . . . n^knkn!

為 Sn 的所有置換中, 不具有固定點的置換的個數, 用比較貼近生活的言語表達即是:

• 有 n 個人參加宴會, 每個人各戴一頂帽子, 宴會進場時, n 人皆將帽子交給服務生, 宴會結 束後 n 人拿回帽子, 沒有人拿到自己帽子的情況的個數。

這就是錯排最初被提出時的問題。

由定理 8 證明的過程中, 我們發現利用 FdB 得到的等式可以更進一步的探討錯排的問題。

回顧當時的證明, 我們取 Dn 的指數生成函數 φ(t) = _et(1−t)¹ 、 f (x) = ln(x), 所以 f ◦ φ(t) = ln(_et(1−t)¹ ) = − ln(1 − t) − t = ^t₂² + ^t₃³ + . . ., 因為 ln_et(1−t)¹ 中的 ln_e¹t 消去了 ln ¹

1−t 的 t 項係數, _{f ◦φ}

1  = 0 迫使 k1 = 0, 代表置換中長度為 1 的圈的個數為 0, 因此我們得到此類置 換的個數。

現在我們觀察 φ(t), 首先注意到因為 1

1 − t = 1 + t + t²+ t³+ . . . = 1 + t + 2!t²

2!+ 3!t³

3! + . . . , 所以 ¹

1−t 為對稱群元素個數 |Sn| 的指數生成函數, 而由先前討論可知, _1−t¹ 乘上 e^−t 後使得 具有長度 1 的圈被排除而得到 Dn 的指數生成函數, 因此我們猜測經由乘上 e 的冪次也能排 除具有其他長度圈的置換, 其結果便是以下定理。

給定一集合 P ⊂ N。 一個置換若其分解成相斥圈後不具有長度為 j ∈ P 的圈時, 稱此置 換為 「P 免除 (P -free) 置換」。

定理 9. 令 D(n; P ) 為 S_n 中 P 免除置換的個數, 則 D(n; P ) 的指數生成函數為 X

n≥0

D(n; P )tⁿ

n! = 1

e^{Pj∈P tjj}(1 − t)

= e^{Pj∈(N−P )tjj}。

證明: 令 f (x) = ln(x), φ(t) = e^{−Pj∈P tjj} (1 − t)⁻¹, 顯然 f ◦ φ(0) = 0。 因為 f ◦ φ(t) = ln(e^{−Pj∈P tjj} (1 − t)⁻¹) = (t + ^t₂² +^t₃³ . . .) −P

j∈P t^j

j, 所以

f ◦ φ i



= (1

i, 當i /∈ P 0, 當i ∈ P 。 。 由 FdB 的 (4) 可得

φ n



=X

σ(n)

_{f ◦φ}

1

k1_{f ◦φ}

2

k2

. . ._{f ◦φ}

n

kn

k1!k2! . . . kn!

= X

i1,i2,...,is∈P/ k_i1+k_i2+...+k_is=k i1k_i1+i2k_i2+...+isk_is=n

1 i1

k_i1

1 i2

k_i2

. . .

1 is

k_is

ki1!ki2! . . . kis!

= X

i1,i2,...,is∈P/ k_i1+k_i2+...+k_is=k i1k_i1+i2k_i2+...+isk_is=n

1

i1k_i1ki1!i2k_i2ki2! . . . isk_iskis!,

等號兩邊同乘 n! 得 n!φ

n



= X

i1,i2,...,is∈P/ k_i1+k_i2+...+k_is=k i1k_i1+i2k_i2+...+isk_is=n

n!

i1k_i1ki1!i2k_i2ki2! . . . isk_iskis!。

注意到由 (7), 等號右邊的式子為 S_n 中沒有長度 l ∈ P 圈的置換的個數 D(n; P ), 故 _φ

n =

D(n;P )

n! , 於是我們得到

φ(t) =X

n≥0

D(n; P )tⁿ

n!。 

將定理9中的 P 以 N − P 替代, 則因為 N − (N − P ) = P , 我們得到以下推論:

推論 1. 令 P ⊂ N, 則對任意 n ∈ N, Sn 中分解成互斥圈後僅具有長度為 l ∈ P 的置換的 個數, 其指數生成函數為 e^{Pl∈P tll}。

由推論 1, 取 P =Sk

s=1Ps 且對任意 1 ≤ i < j ≤ k 有 P_i∩ P_j = ∅, 於是可得到下一 推論:

推論 2. 令 P₁, P₂, . . . , P_k ⊂ N 且對任意 1 ≤ i < j ≤ k 有 P_i∩ P_j = ∅, 則對任意 n ∈ N, Sn 中分解成互斥圈後僅具有長度為 l ∈Sk

s=1Ps 的置換的個數, 其指數生成函數為



e^Pl∈P1tll

 

e^Pl∈P2tll

 . . .



e^{Pl∈Pk tll}



= e

P

l∈Sk s=1Ps

tl l。 註 5. B´ona [1]也有證明推論1及推論2, 但用的方法與我們不同。

對任意正整數 r, 我們將 D(n; {r}) 記為 D(n; r)。

推論 3. 對任意正整數 n 及 r (n ≥ r) 有

D(n; r) =

⌊ⁿ_r⌋

X

k=0



−1 r

k

n k



(n − k)! 。

特別地, 當 r = 1 時, D(n; 1) = Dn 。

證明: 由定理 9 知, D(n; r) 的指數生成函數為 X

n≥0

D(n; r)tⁿ

n! = 1 e^trr (1 − t)

。

將上式右邊視為兩指數生成函數相乘, 於是 X

n≥0

D(n; r)tⁿ

n! = e^−trr 1

1 − t = X

n≥0



−1 r

n

t^rn n!

! X

n≥0

n!tⁿ n!

!

= X

n≥0



−1 r

n

(rn)!

n!

t^rn (rn)!

! X

n≥0

n!tⁿ n!

!

=X

n≥0





⌊ⁿr⌋

X

k=0

 n rk

 

−1 r

k

(kr)!

k! (n − rk)!



 tⁿ n!

=X

n≥0





⌊ⁿr⌋

X

k=0



−1 r

k

n!

k!



 tⁿ n!

=X

n≥0





⌊ⁿr⌋

X

k=0



−1 r

k

n k



(n − k)!



 tⁿ n!

比較等號兩邊 tⁿ 係數可得

D(n; r) =

⌊ⁿr⌋

X

k=0



−1 r

k

n k



(n − k)! 。 

令 D(n; i^k₁ⁱ¹i^k₂ⁱ² . . . i^ks^is) 為恰有 k_il 個 i_l 圈 (1 ≤ l ≤ s)、 其它長度的圈無限制的 n-置 換的個數。

性質 1. 對任意正整數 n, s 及 r (s ≤ n, r ≤ n), 有 D(n; s^r) = ((s − 1)!)^r

r!

 n

s, . . . , s, n − sr



D(n − sr; s)。

證明: 由 (7) 及 D(n; s^r) 的定義可知 D(n; s^r) = X

k1+···+r+...+kⁿ=k k1+2k2+···+sr+···+nkⁿ=n

n!

1^k1k1! · · · s^rr! · · · n^knkn!

= 1 s^rr!

X

k1+k2+···+kⁿ=k−r k1+2k2+···+nkn=n−sr

n!

1^k1· · · (s − 1)^ks−1k_s−1!(s + 1)^ks+1k_s+1! · · · n^knk_n!

= n!

s^rr!(n − sr)!D(n − sr; s)

= ((s − 1)!)^r r!

 n

s, . . . , s, n − sr



D(n − sr; s)。 

註 6. Riordan [8, p.17]稱 D(n; 1^k) 為 D_n,k, 並得到 Dn,k =n

k

 D_n−k, 即是性質 1 令 s = 1 的情況。

接下來我們考慮第二類Stirling 數 S(n, k) 及 Bell 數 B_n 。 以下為已知的事實 (證明請參閱 Charalambides [2, p.66]):

將一個 n 元相異集合分割成多個子集合, 其中 i 元子集的個數有 ki 個 (1 ≤ i ≤ n), 此種分割的個數為

n!

(1!)^k1k₁!(2!)^k2k₂! . . . (n!)^knk_n! 。 (10)

第二類 Stirling 數的指數生成函數為 X

n≥r

S(n, r)tⁿ n! = 1

r! e^t− 1
r

。 (11)

Bell 數的指數生成函數為

X

n≥0

Bn

tⁿ

n! = e^et−1。 (12)

定理 10. 對任意正整數 n 及非負整數 r (n ≥ r), S(n, r) = X

σ(n,r)

n!

(1!)^k1k1!(2!)^k2k2! . . . (n!)^knkn!。

證明: 取 f (x) = x^r、 φ(t) = e^t− 1。 我們有 D^kf (x)

x=φ(0)=0 = r(r − 1)(r − 2) . . . (r − k + 1)δr,k; 對所有正整數 i

φ i



= 1 i!; 將 (11) 改寫為 (e^t− 1)^r =P

n≥rr!S(n, r)^t_n!ⁿ, 於是

f ◦ φ n



=(e^t− 1)^r n



= r!

n!S(n, r)。

類似定理 7, 用FdB 的 (1) 可得 S(n, r) = X

σ(n,r)

n!

(1!)^k1k1!(2!)^k2k2! . . . (n!)^knkn!。 

註 7. Charalambides [2]也用不同的方法證明到這個結果。

定理 11. 對任意正整數 n,

Bn=X

σ(n)

n!

(1!)^k1k1!(2!)^k2k2! . . . (n!)^knkn!。

證明: 取 f (x) = e^x、 φ(t) = e^t− 1, 顯然 φ(0) = 0。 對所有正整數 i

φ i



= 1 i!;

由 (12) 可知

f ◦ φ n



= e[^et

−1

n ] = Bⁿ n!。 利用FdB 的 (3) 得

Bn

n! =X

σ(n)

1

(1!)^k1k1!(2!)^k2k2! . . . (n!)^knkn!, 等號兩邊同乘 n! 即得

Bn=X

σ(n)

n!

(1!)^k1k₁!(2!)^k2k₂! . . . (n!)^knk_n!。 

註 8. 定理 11 也可以直接由 Bell 數的定義把定理 10 從 r = 1 到 r = n 的情況加起來得到, 但這裡我們由其生成函數出發, 利用 FdB 也能導出相同的結論。

定理 10 中連加符號內的被加項為

n!

(1!)^k1k1!(2!)^k2k2! . . . (n!)^knkn!,

由 (10) 知其恰為將 n 元集合分割成 k_i 個 i 元子集 (1 ≤ i ≤ n) 的方法數, 定理 10 中每一 個被加項對應到的 (k₁, k₂, . . . , k_n) 都是 σ(r) 裡的元素, 即必須滿足

(k₁+ k₂+ · · · + k_n = r k₁+ 2k₂+ · · · + nk_n = n ,

所以我們可以將每一個被加項都視為一個分割, k₁+ k2+ · · ·+ kn表示這個分割的子集合總數, k1+2k2+· · ·+nkn= n 則代表被分割的集合裡有 n 個元素, 因此 P

σ(n,r)

n!

(1!)^k1k1!(2!)^k2k2!...(n!)^knkn!

可以解釋成將 n 元相異集合分割成 r 個子集的方法數, 於是我們得到一般熟知的 S(n, r) 的 組合意義—將 n 元相異集合分割成 r 個子集合的方法數。 又因為 σ(n) = ∪ⁿ_k=0σ(n, k), 我們 立即可以得到 Bn 的組合意義 — 分割 n 元相異集合的方法數。

因為定理 9 的啟發, 利用類似於定理 9 中排除有某些特定長度圈的置換的方法, 也可以用 來限制分割集合時產生的子集大小, 結果如下:

給定一集合 P ⊂ N。 一個 n 元集合若分割成子集後不具有元素個數為 j ∈ P 的子集時, 稱此 種分割為 「P 免除分割」。 　

定理 12. 令 B(n; P ) 為 n 元相異集合的 P 免除分割的個數, 則 B(n; P ) 的指數生成函數 為

X

n≥0

B(n; P )tⁿ

n! = e^{et−1−Pj∈P tjj!} = e^{Pj∈(N−P )tjj!}。

證明: 令 f (x) = ln(x), φ(t) = e^{et−1−Pj∈P tjj!}, 顯然 f ◦ φ(0) = 0。 又 f ◦ φ(t) = e^t− 1 − P

j∈P t^j j! =

t +^t_2!² +^t_3!³ + . . .

−P

j∈P t^j j!, 所以

f ◦ φ i



= (1

i!, 當i /∈ P 0, 當i ∈ P 。 由FdB 的 (4) 可得

φ n



=X

σ(n)

_{f ◦φ}

1

k1_{f ◦φ}

2

k2

. . ._{f ◦φ}

n

kn

k₁!k₂! . . . k_n!

= X

i1,i2,...,is∈P/ k_i1+k_i2+...+k_is=k i1k_i1+i2k_i2+...+isk_is=n

1 i1!

k_i1

1 i2!

k_i2

. . .

1 is!

k_is

ki1!ki2! . . . kis!

= X

i1,i2,...,is∈P/ k_i1+k_i2+...+k_is=k i1k_i1+i2k_i2+...+isk_is=n

1

(i1!)^ki1ki1!(i2!)^ki2ki2! . . . (is!)^kiskis!,

等號兩邊同乘 n! 得 n!φ

n



= X

i1,i2,...,is∈P/ k_i1+k_i2+...+k_is=k i1k_i1+i2k_i2+...+in−sk_in−s=n

n!

(i₁!)^ki1k_i1!(i₂!)^ki2k_i2! . . . (i_s!)^kisk_is!。

注意到由 (10), 等號右邊為將 n 元相異集的 P 免除分割的個數 B(n; P ), 故 _φ

n = ^{B(n;P )}_n! , 於是有

φ(t) =X

n≥0

B(n; P )tⁿ

n!。 

類似於推論 1的情況, 將定理12中的 P 以 N − P 替代, 則因為 N − (N − P ) = P , 我 們得到以下推論:

推論 4. 令 P ⊂ N, 則對任意 n ∈ N, 將 n 元相異集合分割成大小 l ∈ P 的子集的方法數, 其指數生成函數為 e^{Pl∈P tll!}。

由推論4, 取 P = Sk

s=1P_s 且對任意 1 ≤ i < j ≤ k 有 P_i∩ P_j = ∅, 於是可得到下一 推論:

推論 5. 令 P₁, P2, . . . , Pk ⊂ N 且對任意 1 ≤ i < j ≤ k 有 P_i∩ P_j = ∅, 則對任意 n ∈ N, 將 n 元相異集合分割成大小 l ∈ Sk

s=1Ps 的子集的方法數, 其指數生成函數為



e^Pl∈P1tll!

 

e^Pl∈P2tll!

 . . .



e^{Pl∈Pk tll!}



= e

P

l∈Sk s=1Ps

tl l!。 註 9. B´ona [1]也有證明推論4及推論5, 但用的方法與我們不同。

推論 6. 對任意正整數 n 及 r (n ≥ r) 有

B(n; r) =

⌊ⁿr⌋

X

k=0

(−1)^k k!

 n

r, , . . . , r, n − kr



B_n−rk 。

證明: 由定理 12 知 B(n; r) 的指數生成函數為 X

n≥0

B(n; r)tⁿ

n! = e^{et−1−trr!}, 將上式視為兩指數生成函數相乘, 從而可得

X

n≥0

B(n; r)tⁿ

n! = e^et−1e^trr! = X

n≥0

Bn

tⁿ n!

! X

n≥0



−1 r!

n

t^rn n!

!

= X

n≥0

Bn

tⁿ n!

! X

n≥0



−1 r!

n

(rn)!

n!

t^rn rn!

!

=X

n≥0





⌊ⁿr⌋

X

k=0

 n rk

 

−1 r!

k

(rk)!

k! B_n−rk



 tⁿ n!

=X

n≥0





⌊ⁿ_r⌋

X

k=0

(−1)^k k!

 n

r, . . . , r, n − rk

 B_n−rk



 tⁿ n!。 比較等號兩邊 tⁿ 係數可得

B(n; r) =

⌊ⁿ_r⌋

X

k=0

(−1)^k k!

 n

r, . . . , r, n − kr



B_n−rk 。 

令 B(n; i^k₁ⁱ¹i^k₂ⁱ² . . . i^ks^is) 為恰有 kil 個 il 元子集 (1 ≤ l ≤ s) 的 n 元集合分割的個數。

性質 2. 對任意正整數 n, s 及 r (s ≤ n, r ≤ n), 有 B(n; s^r) = 1

r!

 n

s, . . . , s, n − sr



B(n − sr; s)。

證明: 由 (10) 及 B(n; s^r) 的定義可知 B(n; s^r) = X

k1+···+r+...+kⁿ=k k1+2k2+···+sr+···+nkⁿ=n

n!

(1!)^k1k₁! · · · (s!)^rr! · · · (n!)^knk_n!

= n!

(s!)^rr!(n − sr)!

X

k1+k2+···+kⁿ=k−r k1+2k2+···+nkn=n−sr

n!

(1!)^k1· · · ((s − 1)!)^ks−1k_s−1!((s + 1)!)^ks+1ks+1! · · · (n!)^knkn!

= 1 r!

n!

(s!)^r(n − sr)!B(n − sr; s)

= 1 r!

 n

s, . . . , s, n − sr



B(n − sr; s)。 

致謝

感謝中研院數學所暑期離散及組合數學專題計畫的資助, 讓筆者有機會在暑假跟隨美國內 華達大學數學系薛昭雄教授做暑期研究, 也由衷感謝薛昭雄教授的指導及不辭辛勞的審稿人, 因 為薛教授和審稿人的鼓勵及鉅細靡遺的建議本文才能完稿。

參考資料

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2. Charalambides, Ch. A. (2002). Enumerative Combinatorics, CRC Press.

3. Chou, W.-S., C. Hsu, C. L. and Shiue, P. J.-S. (2006). Application of Fa´a di Bruno’s formula in characterization of inverse relations, J. Comput. Appl. Math., 190, 151-169.

4. Comtet, L. (1974). Advanced Combinatorics: The art of finite and infinite expansions, Springer.

5. Constantine, G. M. (1999). Identities over set partitions, Discrete Math., 204, 155-162.

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