高雄市明誠中學

(1)

高雄市明誠中學高三數學平時測驗日期：98.02.19 班級三年班

範圍

選修(Ⅰ)

3-3 線性規劃(B) 座號

姓名一、填充題 ( 每題 10 分 )

1. 汽車公司有A和B 兩廠生產同規格汽車﹐其每天產量分別為 15 輛及 20 輛﹐該公司之二經銷站 M 與 每日需求分別為 10 輛及 25 輛﹐今公司欲擬最佳運輸計畫使每日總運費最低﹒已知每輛車之運費為﹕

由廠至

N

A M 站 150 元﹐ A 廠至N站 200 元﹐B 廠至 M 站 200 元﹐ B 廠至 站 100 元﹐則其每日最低運費為何﹖

N

解答 4500 元

解析設由 A 廠運 x 輛至 M ，運輛至y N；由B 廠運10− 輛至 M 及由 B 廠運x 25−y 輛至N

0 10 0 10

0 1

0 15 0 15

0 1

0 15 0 15

15 0 5 (10 ) (25 ) 20 15 35

x x

y y x

x y x y y

x y

x y x y

≤ ≤ ≤ ≤

⎧ ⎧

0

⎧ ≤ ≤

⎪ ≤ ≤ ⎪ ≤ ≤

⎪ ⎪ ⎪

⇒⎨⎪⎪⎩ ≤ + ≤≤ − + − ≤ ⇒⎨⎪⎪⎩ ≤ + ≤≤ + ≤ ⇒⎨⎪ + =⎩ ≤ ≤

﹐其中 x ﹐ 為整數﹒

總運費

y

( )

^, ¹⁵⁰ ²⁰⁰ ^{200 10}

( )

^{100 25}

( )

f x y = x+ y+ −x + −y = −50x+100y+4500 故當x=10,y=5時 ^{f x y}

( )

^, ⁼⁴⁵⁰⁰^{元為最低運費﹒}

2. 某工廠用兩種不同原料均可生產同一產品﹐若採用甲種原料每公斤成本 100 元﹐運費 50 元﹐可得產品 7 公斤﹔若採用乙種原料每公斤成本 150 元﹐運費 40 元﹐可得產品 14 公斤﹒今預算要求成本不得超過 600 元﹐運費不得超過 200 元﹐則此工廠每日最大生產量為幾公斤﹖

解答 56 公斤解析

設每日使用甲原料 x 公斤﹐乙原料 y 公斤 100 150 600

50 40 200 0, 0

x y

+ ≤

⎧⎪

⇒⎨ + ≤

⎪ ≥ ≥

⎩

即

2 3 12 5 4 20

0, 0 x y x y x y

+ ≤

⎧⎪ + ≤

⎨⎪ ≥ ≥

⎩

﹐作圖如右

目標函數 f x y

( )

, =7x+14y之最大值

( ) ( ) ( )

^, ^{0, 0} ^4,0 ^{12 20}^,

( )

^{0, 4}

7 7

7 14 0 28 52 56

x y x y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

，故每日最大產量為 ^f

( )

^{0, 4} ⁼⁵⁶^公斤﹒

3. 在不等式 3x +2 y ≤ 6 的條件下﹐則(1) 2x−3y之最大值為何﹖(2)圖形所圍區域之面積為何﹖

解答 (1)9;(2)12 解析

(1) 3x +2 y ≤6 1 2 3 x y

⇒ + ≤ ，根據對稱原理作圖如右

( ) ( ) (

^, ^0,3 ^{0, 3}

) ( ) (

^{2, 0} ^2,0

)

2 3 9 9 4 4

x y x y

− −

− − − ，∴最大值 9﹒

(2)面積為 1

4 6 12 2× × = ﹒

(2)

4. 若 x ﹐ 滿足y x≥0﹐y≥0﹐ 3x+2y−12≤0﹐x+ − ≥ ﹐求(1) 2y 2 0 x+ − 的最小值為何﹖(2)圖形所y 1 圍區域之面積為何﹖

解答 (1)1;(2)10 解析

(1)作圖如右

( )

^,

( ) ( ) ( ) ( )

^{0, 6} ^4,0 ^{2, 0} ^{0, 2}

2 1 5 7 3 1

x y

x+ −y ，最小值為 1﹒

(2)面積為1 1

4 6 2 2 12 2 10 2× × − × × =2 − = ﹒

5. 不等式 2− ≤ ≤ ≤ ≤ − x 之圖形面積為何﹖ x 2 y 8 2 解答 24

解析

原式

2 2

2

2 8 0 x y

x y

− ≤ ≤

⎧⎪

⇒⎨ ≥

⎪ + − ≤

⎩

﹐作圖如右

面積為¹

(

2 10

)

4 24 2 + × = ﹒

6. 作不等式組之圖形﹐(1)並求 4

4

0 2

x y x y y

⎧ + ≤

⎪ − ≥ −

⎨⎪ ≤ ≤

⎩

x+ 之最大值﹒(2)所圍區域之面積﹒ y

解答 (1)4;(2)12 解析

(1)

( ) ( ) (

^, ^{2, 2} ^{2, 2}

) (

^{4, 0}

) ( )

^{4, 0}

4 0 4 4

x y x y

− −

+ −

x+ 之最大值為 4﹒ y

(2)所圍區域為一梯形﹐ 面積為¹

(

^{4 8}

)

^{2 12}

2× + × = ﹒ 7. 在坐標平面上作出 4

4 4 x y x y

⎧ + ≤

⎪⎨

+ ≥

⎪⎩ 的圖形﹐求其面積﹒

解答 24 解析

(3)

二圖形均與 x 軸﹐ y 軸成對稱 先作x≥ ﹐0 y≥ 之圖形0 4

4 4 x y x y

⎧ + ≤

⎨ + ≥

⎩ ，其餘對稱

面積為1 1

8 8 8 2 24 2× × − × × =2 ﹒

8. 某家運送公司有載重 4 公噸的小貨車 7 輛﹐載重 5 公噸的大貨車 4 輛﹐及九名司機﹐現受託每天最少要運送 30 噸的煤﹒則這家公司有幾種調度車輛的辦法﹖假設小貨車開一趟要用 500 元﹐大貨車一趟要 800 元﹐如何才能最節省﹖

解答小貨車 5 輛﹐大貨車 2 輛解析

設小貨車 x 輛﹐大貨車 y 輛，則

4 5 30 9 0 7

0 4

x y x y

x y + ≥

⎧⎪ + ≤

⎪⎨ ≤ ≤

⎪⎪ ≤ ≤

⎩

作圖如右

目標﹕求 500x+800y之最小值

∵ x ﹐ y 均為整數

( )

^,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^7,1 ^{5, 2} ^{6, 2} ^{7, 2} ^4,3 ^5,3 ^6,3 ^{3, 4} ^{4, 4} ^{5, 4}

500 800 4300 4100 4600 5100 4400 4900 5400 4700 5200 5700 x y

x+ y

∴小貨車 5 輛﹐大貨車 2 輛最省﹒

9. 已知聯立不等式 ﹐若

0 7

0 4

0 9

4 5 3 x y x y x y

⎧ ≤ ≤

⎪ ≤ ≤

⎪⎨ ≤ + ≤

⎪⎪ + ≥

⎩ 0

x ﹐ 均為整數﹐求﹕

(1)滿足此聯立不等式的

y

( )

x y 共有多少組解﹖(2)^, P=5x+8y的極小值為何﹖

解答 (1)10 組;(2)41

解析

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^, ^{3, 4} ^4,3 ^{4, 4} ^{5, 2} ^5,3 ^{5, 4} ^{6, 2} ^6,3 ^7,1 ^{7, 2}

5 8 47 44 52 41 49 57 46 54 43 51 x y

x+ y

(1)共有 10 組﹒(2)最小值 41﹒

10. 設 x ﹐ 為正整數﹐且y P x y 為滿足聯立不等式

( )

^,

3 24 0 1 x y x y y

+ − ≤0

⎧⎪ − ≥

⎨⎪ ≥

⎩

的格子點﹐求﹕如此的點共有多少

個﹖

P

解答 24

解析 ∵ 0﹐∴

1 x y y

⎧ − ≥

⎨ ≥⎩ x≥ ≥ 且 3y 1 x+ ≤y 24

1 2 3 4 5 6 7

1 1, 2 1 ~ 3 1 ~ 4 1 ~ 5 1 ~ 6 1 ~ 3 x

y

(4)

11. 試求出不等式6−2y≤ − ≤ ≤x 2 y 4之圖形其區域面積﹒

解答 6 解析

原不等式可化成

6 2 2 2 8 0

2 2 0

4 4

y x x y

x y x y

y y

− ≤ − + − ≥

⎧ ⎧

⎪ − ≤ ⇒⎪ − − ≤

⎨ ⎨

⎪ ≤ ⎪ ≤

⎩ ⎩

作圖如右

故區域面積為1 4 6 0 4 2 4 4 2 6

2 = ﹒

12. 試求出不等式組之區域面積﹒

2 6 7 2 1

0 x y

x y x y

− ≥ −

⎧⎪ − ≤

⎨⎪ + ≥

⎩

8

解答 18 解析

作圖如右區域面積為

2 4 2 2

1 1

10 8 4 8 10 4 18 2 5 2 2

2 2

− = + + + + − =

− − ﹒

13. 設為實數﹐k F 為坐標平面上由下列不等式組所定義之區域﹕ ﹐若在 2 4

1 0, 0 x y x y

x y

+ ≤

⎧⎪ − ≤

⎨⎪ ≥ ≥

⎩

z= +x ky

( )

^{2,1 處有}

最大值﹐試求 k 之範圍﹒

解答 − ≤ ≤1 k 2 解析由題意知﹕

( ) ( ) ( ) ( )

0, 2 2

0,0 0

1,0 1

2,1 2

x ky k

k +

+ → 最大值

2 1 ﹐∴

2 2

k k k

⎧ + ≥

⇒ ⎨⎩ + ≥ − ≤ ≤1 k 2

14. 若已知一年甲乙兩班數學科第二次段考至多有 20 位同學不及格﹐甲班不及格同學的數目不超過乙班不及格同學數目的 3 倍﹐且甲班最少有 10 位不及格﹐乙班最少有 5 位不及格﹐則可能有幾種情形﹖

解答 21

(5)

解析設甲班有 x 位不及格﹐乙班有位不及格﹐依題意得﹕y

20 3 10

5 x y x y x y

⎧ + ≤

⎪ ≤⎪

⎨ ≥⎪

⎪ ≥⎩

﹐

∵ x ﹐ 為整數﹐∴y x ﹐y的可能結果如表所示 10 ~ 15 10 ~ 14 10 ~ 13 10 ~ 12 10 ~ 11 10

5 6 7 8 9

6 5 4 3 2 1

x

y 10

種種種種種種

∴共1 2+ +"+ =6 21種﹒

15. 工廠生產A﹐B 兩種產品﹐產品每單位的原料成本﹐加工成本及利潤如下﹕

原料成本（元）加工成本（元）利潤（元）

A 1 2 3

B 2 1 4

若要使原料成本不超過 4 元﹐加工成本不超過 5 元﹐則應生產A﹐B 各多少單位可得最高利潤﹖列出 這線性規劃的數學模式﹒

解析設生產 x 單位的A產品及單位的y B 產品﹒

原料成本（元）加工成本（元）

( )

A x x 2x

( )

B y 2 y y

則目標函數為 3x+4y﹐原料成本為x+2y﹐加工成本為 2x+ ﹐ y

得線性規劃的數學模式為﹕求z=3x+4y之最大值﹐而限制條件 ﹒

生產 2 單位的產品及 1 單位的

2 4

2 5

0, 0 x y

x y

+ ≤

⎧⎪ + ≤

⎨⎪ ≥ ≥

⎩ A B 產品，利潤z= + =6 4 10最大

16. 一菜圃﹐需氮肥 5 公斤﹐磷肥 4 公斤﹐鉀肥 7 公斤﹔現有甲乙兩種肥料﹐甲每公斤 10 元﹐含氮 20%﹐

磷 10%﹐鉀 20%﹔乙每公斤 14 元﹐含氮 10%﹐磷 20%﹐鉀 20%﹐求(1)應買甲乙各多少才會花費最少﹖

(2)又最少花費為何﹖

解答 (1)甲 30 公斤﹐乙 5 公斤;(2)花 370 元解析

設需甲肥料 x 公斤﹐需乙肥料 y 公斤 0.2 0.1 5 2 50

0.1 0.2 4 2 40 0.2 0.2 7 35

0, 0 0, 0

x y x y

+ ≥ + ≥

⎧ ⎧

⎪ + ≥ ⎪ + ≥

⎪ ⇒⎪

⎨ + ≥ ⎨ + ≥

⎪ ⎪

⎪ ≥ ≥ ⎪ ≥ ≥

⎩ ⎩

""

1 2 3

目標函數﹕ 10x+14y

( )

^,

(

^40,0

) (

^30,5

) (

^{15, 20}

) (

^0,50

)

10 14 400 370 430 700 x y

x+ y

∴在 B 點

(

^{30,5 有最小值}

)

∴(1)買甲 30 公斤﹐乙 5 公斤﹔(2)花 370 元﹒

(6)

17. 某公司擁有A﹐B 兩座在不同地區的倉庫﹐A倉庫存貨 48 公噸﹐B 倉庫存貨 60 公噸﹒今公司接獲甲 地客戶訂貨 36 公噸﹐同時接獲乙地客戶訂貨 44 公噸﹒而由倉庫運至甲地每公噸運費 400 元﹐運至乙地每公噸運費 500 元﹔由

A

B 倉庫運至甲地每公噸運費 600 元﹐運至乙地每公噸運費 650 元﹐則此公 司應如何配送﹐才能使運費達到最低﹖

解答 A運至甲 36 公噸﹐B 運至甲 0 公噸﹔A運至乙 12 公噸﹐B 運至乙 32 公噸 解析

設由 A 倉庫運至甲 x 公噸﹐由 A 倉庫運至乙 y 公噸

由 B 倉庫運至甲

(

³⁶⁻^x

)

公噸﹐由 B 倉庫運至乙

(

⁴⁴⁻^y

)

^公噸

( ) ( )

48 48

36 44 60 20

0 36 0 36

0 44 0 44

x y x y

x x y y

⎧ + ≤ ⎧ + ≤

⎪ − + − ≤ ⎪ + ≥

⎪ ⇒⎪

⎨ ≤ ≤ ⎨ ≤ ≤

⎪ ⎪

⎪ ≤ ≤ ⎪ ≤ ≤⎩

⎩

目標函數﹕

( ) ( )

400x+500y+600 36−x +650 44−y = −200x−150y+50200

在^C

(

^36,12

)

有最小值，即 A 運至甲 36 公噸﹐B 運至甲 0 公噸﹔ A 運至乙 12 公噸﹐B 運 至乙 32 公噸﹔運費最低為 41200 元﹒

18. 南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤﹐該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草藥﹐每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品﹒中草藥每公斤可獲利 5000 元﹐健康食品每公斤可獲利 100 元﹔根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤﹐健康食品最大需求量是 1800 公斤﹒如果南北生技農場決定提煉 中草藥 x 公斤﹐製成健康食品公斤﹐設 為其可獲利潤﹒

(1)試以

y P

x ﹐ 表示 ﹒ (2)如果想獲得最大利潤﹐則

y P

x ﹐y的值為何﹖

解答 (1)P=5000x +100 y﹐其中0≤ ≤ 0x 3 ﹐0≤ ≤y 1800;(2)x=30﹐y=800﹐ 解析

(1)P=5000x+100y，其中 0≤ ≤x 30﹐ 0≤ ≤y 1800

(2)由題意

200 5 10000 0 30

0 1800 x y x y

+ ≤

⎧⎪

⇒⎨ ≤ ≤

⎪ ≤ ≤

⎩

⇒ 如圖所示﹕

( )

^,

(

^5,1800

) (

^30,800

)

5000 100 205000 230000 x y

x+ y

∵中草藥每公斤可獲利 5000 元 ⇒ 每 200 公斤植物可獲利 5000 元但健康食品每公斤可獲利 100 元 ⇒ 每 5 公斤植物可獲利 100 元 ⇒ 每 200 公斤植物可獲利 4000 元< 5000 元

∴製成中草藥獲利較高﹐取中草藥最大需求量可得最大獲利 ∴取x=30﹐ y=800﹐有最大利潤 230000 元﹒

(7)

19. 某公司有甲﹐乙兩廠生產三種型式彩色電視機﹐其營業狀況如下表所示﹕

廠別每日生型式產量（架）

甲廠乙廠每週至少需要

量（架）

I 12 3 36

II 4 4 24

III 6 12 48

每日開支（元） 20000 15000

問甲﹐乙兩廠每週開工幾日就可以最節省的方式供應所需﹖

解答甲廠開工 2 日﹐乙廠開工 4 日解析

設甲廠每週開工 x 日﹐乙廠每週開工 y 日 0

0

12 3 36 4 4 24 6 12 48 x

y x y x y x y

⎧ ≥

⎪ ≥⎪⎪

⇒⎨ + ≥

⎪ + ≥

⎪⎩

聯立得^A

( )

^{8, 0} ^﹐^B

( )

^{4, 2} ^﹐^C

( )

^{2, 4} ^﹐^D

(

^0,12

)

目標函數 ^{f x y}

( )

^, ⁼²⁰⁰⁰⁰^x⁺¹⁵⁰⁰⁰^y

( )

( ) ( ) ( )

20000 15000 8, 0 160000

4, 2 110000 100000 2, 4

180000 0,12

x+ y

← 最小

即甲廠開工 2 日﹐乙廠開工 4 日﹐可以最節省方式供應所需﹒

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