中學生通訊解題第九期參考解答與評析
問題編號 89901
試求 11111111111110000000000051之值。
參考解答：(方法一)
9 1 10
9 99 9999999999 9 9
11 1111111111
12
原式＝ (10 5) 1
9 1
10 12
12
=
9
9 ) 5 10 )(
1 10
( 2 12
＝
9
4 10 4 1012 2 12
＝
9 2
1012 2 ＝＝
＝333333333333+1 ＝333333333334
(方法二)：
設111111111111為x 則1000000000005為9x+6 原式=
= = =3x+1
=333333333334 解題重點：
1.把數字轉化成較簡單的形式，或以符號替代。
2.因式分解與開平方根 評析：
1.本題參答人數共有214位，平均得分數為5.83，得分率為83.28﹪。 2.答題品質較佳者有：北市敦化國中劉芳瑜，成德國中劉昱亞，民生國中 張哲瑞、鍾佳琦、陳建仲、陳怡瑋，螢橋國中陳玉潔，中正國中侯景翰，
南門國中陳錦年，民生國中曾怡嘉，仁愛國中吳宗哲，復興中學蘇郁凱，
福和國中劉胤廷、楊智寰，新莊國中潘柏諺，新泰國中張偉省，彰化員 林國中張哲維、陽明國中李昱融，台南建興國中黃信溢，新竹光華國中 賴俊儒，高雄縣鳳西國中葉仲恆，高師大附中蔡政洋。
問題編號
89902
求出最小的正整數n，使為完全平方數，為完全立方數，為完全五次方數。
參考解答：
因為n被2,3,5整除 可設n=2a3b5c
於是=2a-13b5c =2a3b-15c =2a3b5c-1
由所需滿足的條件，知 a-1必為偶數，
a必為3與5的倍數，所以a的最小值為15。
同理b與c的最小值分別為10,6。
故得n的最小正整數為21531056。 解題重點：
(1)此題只要利用因數、倍數、最小公倍數的觀念即可作答。
解析：
(1)部分徵答者，在解題過程中直接寫出結果，未說明原因。
(2)部分徵答者，“整除的符號”寫錯了因數、倍數的位置，例如：2∣(a－1) (2整除a－1)誤寫成(a－1)∣2。
(3)答題優良者：彰化員林國中徐勝駿、陽明國中侯景維，基隆銘傳國中趙斌
新，高雄縣鳳西國中葉仲恆，北市介壽國中蔡佳玲，螢僑國中吳奕緯，敦
化國中薛朝文，光復國小劉欣瑜。
(4)本題參答人數共有162人，平均得分數5.12分，得分率為74.43﹪。
問題編號 89903
達文西曾作一幅素描，此素描是由邊長相等的正五邊形和正三角形所組成的封 閉多面體，且正五邊形的每邊都與正三角形共邊，正三角形每一邊也與正五邊 形共邊。若多面體的頂點數–邊數+面數 2，則此多面體的表面共有多少個 正五邊形？多少個正三角形？
參考解答：
(解法一)
設共有x個正五邊形，y個正三角形，則點數=，邊數=，
面數=x+y，因 － + (x+y)=2…… 又5x=3y……
解， 得x=12,y=20 (解法二)
設正五邊形之個數為x，則頂點數=，邊數=5x，面數=x+
由 －5x+x+=2 得x=12
故正五邊形有12個，正三角形有 =20個 解題重點
1.此題可設兩個未知數，再以二元一次聯立方程組求解；亦可只令一個未知數 解之。
2.本題不管採用解法一或解法二，其解題關鍵都要用到正五邊形邊數與正三角 形邊數相等之條件。
評析：
1.在參加解題者之中，採取解法一者有18人，採取解法二者有13人，採用其他
解法者有10人。
2.說理清晰解法簡捷者計有北市仁愛國中吳宗哲、螢僑國中吳奕緯、敦化國中薛
朝文、明德國中王琨傑、復興中學蘇郁凱；板橋中山國中張源平；基隆銘傳 中學江政融；彰化縣員林國中徐勝駿等同學。
3.本題參答人數共有184人，平均得分數4.92分，得分率70.29﹪。
問題編號 89904
ABCD為一個圓內接四邊形，O為圓心，且O點不在線段AC上，連接線段OA
與線段OC，當四邊形對角線互相垂直時，求證：四邊形ABCO與四邊形
AOCD
面積相等。(注意：四邊形ABCO與四邊形AOCD，其中一個為凸四邊形，另
一個為凹四邊形) 參考解答：
(i)當O點不在(線段上時
連接(與(交於G，自O做(⊥(垂足為E點，及自O做(⊥(垂足為F 點。如右圖所示，則BEDE，
因為(⊥(，∠OED=90，(⊥(，∠OFG=90，(⊥(，∠FGE=90
所以四邊形OEGF為矩形，(=(
四邊形ABCO=(×(－(×(=×(×((－()=(×(
四邊形AOCD=(×(+(×(=×(×((+()=(×(
因為(=(
所以(×(=(×(
四邊形ABCO=四邊形AOCD
(ii)當O點在(線段上時
連接(與(交於G點，如右圖所示，
四邊形AOCD=(×(
四邊形ABCO=
(×(+(×(=(×(
因為(=(
所以四邊形ABCO=四邊形AOCD
問題編號 89905
同樂會中小明表演了一種撲克牌遊戲：他將一副撲克牌正面朝下（共52張），
依照黑桃、梅花、紅心、方塊、黑桃、梅花、紅心、方塊…的順序排列，再請大華從 最上面拿起若干張撲克牌，將這些撲克牌的次序顛倒（正面依然朝下），再整 個插入剩餘的撲克牌中（剩餘的撲克牌任意分成兩部分，大華的撲克牌再插入 此兩堆中），此時小明再從頭將撲克牌每四張一組，結果他宣稱每一組撲克牌 都會出現四個不同的花色。請問小明的說法是否正確，說明你的理由。
參考解答：
設A為拿出的撲克牌，剩下的撲克牌分成B、C兩個部分，而A部分撲克牌的次 序顛倒之後稱為A/。將A/插入B、C之間，整個撲克牌的順序由上至下為B-A/-C，
(1)如果B、A/、C都是4的倍數，則每一組撲克牌都會出現四個不同的花色。
(2)如果B、A/、C中有一堆的張數不為4的倍數，則由上至下每四張一組，最多
有兩組橫跨B、A/之間與A/、C之間，令此兩組（一組有四張）分別為P、Q。
根據假設可知若P在B之間有m張牌，則P在A/的部分就有（4-m）張牌，因
為從B開始每四張一組，所以這m張牌剛好與B前面的m張牌花色的順序是
一樣的，而P在A/部分的（4-m）張牌剛好與A最後（4-m）張牌是一樣的，而
O A
B
C D
E F OG A G
B C
D
原先52張撲克牌是依照黑桃、梅花、紅心、方塊來排列,因此P的四張牌還是
會有黑桃、梅花、紅心、方塊這四個花色。最後除了Q之外其他各組都是有四
個花色，因為每一個花色都有13張，所以Q中的四張牌必是四個不同的花色。
由上述所言知小明的說法是對正確的。
解題重點：
此題為一個操作型的題目，可用實際操作探索尋求一種形式並加以描述出來。
評析：
(1)大部分的同學都能借用符號或文字來表達撲克牌花色排序情形。如「SCHD」、
「ABCD」、「1234」、「a1a2a3a4」這是很好的現象。
(2)優良徵答者有北市南門國中陳錦年，民生國中黃彥豪、張哲瑞，北縣新莊國中 吳之堯、潘柏諺，江翠國中黃明山，台南市建興國中黃信溢，新竹市光華國中 賴俊儒，高雄市立法中學蔡政江，高師大附中蔡政洋。
(3)參答人數有91人，平均得分數4.33分，得分率為61.86﹪。
