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臺北市立建國高級中學第 161

期通訊解題題目解答與評析

16101

已知a b, 為互質的兩正整數且a b ，若a b 4692，則這樣的有序數對( , )a b 共有幾組？

【簡答】704

【詳解】由題意知^{( , ) 1a b } ，則^{( ,a a b ) 1} ，即^a與

4692

互質。

因4692 2 ²  3 17 23，

故小於等於

4692

且和

4692

互質的數共有

1 2 16 22

4692 1408

2 3 17 23

    

個。

又a b ，知所求為

1 1408 704

  2

。

16102

數列 a_n 定義為： ₁ ¹, ^{2 3} ₁

2 ⁿ 2 ⁿ

a a n a

n ^

   ，n2,3,。證明：對任意正整數

n

，均 有a1a2  a_n1。

【證明】由題設可知對任意正整數

n

，均有a_n 0，且 (2 3) 1 (2 1)

k k k

a  k a _  k a ，k2,3, 所以有

1 1

1 2

((2 3) (2 1) )

n n

k k k

k k

a a k a

_

k a

 

    

 

  a1 a1 (2n1)a_n

 1 (2n1)a_n

1 

16103

在拋物線y  x²的圖形上，任取兩格子點P0⁽x0^,y0⁾、P₁(x₁,y₁)，其中y0 ³

且y₁ 3。試證明：若線段P0P1 與

y

軸有交點^Q，則^Q點

y

坐標的值必不為 質數。

【證明】若線段P0P1 與

y

軸有交點，則x0,x1為一正一負，

不失一般性假設x0 ^0,x1⁰。

過P0⁽x0^,y0⁾、P₁(x₁,y₁)的直線方程式為 ⁽ 0⁾ 0

1 0 1

0 x x

x x

y y y

y 



 

 ，

將x0及

y

₀

 x

₀²、

y

₁

 x

₁²代入，

以得^Q點

y

坐標為 _{0 0}² _{1 0 0 0}² _{0 1}

0 1

2 0 2

1

( x ) x ( x x )( x ) x x x

x x

x

y x        



 

。

又 y0為大於3的整數，所以y0⁴

,

x0 ²，同理x₁2。

因為y x0x1且x₀ 2

,

x₁2，表示

y

不是質數，原命題得證。

16104

一幾何圖形是由

20

個正方形所構成，如下圖，定義中間最長的兩行為第一行及 第二行、中間最長的兩列為第一列及第二列。將

20

個正方形的其中

11

個塗成黑 色，且第一行、第二行、第一列、第二列被塗黑的正方形數量皆為偶數個，請問 有幾種不同的塗色方式？（若兩個塗色方法經旋轉後變成一樣的，則視為同一 種塗色方式）

例如：

上左圖是合法的塗色方式，總共塗了

11

個，且第一行塗了

6

個、第二行塗

← 第一列

← 第二列

↑ 第

一 行 ↑

第二 行

而上面兩個圖形是同一種塗色方式，

因為左圖經順時針旋轉90後會與右圖完全相同。

【簡答】2608

【詳解】因為旋轉後若完全一樣則視為同一種塗色方式，所以先固定中央四個方 格的塗色方式，再討論其他方格。

方案一：

如此一來，第一行和第一列各要再塗奇數個，第二行和第二 列各要再塗偶數個，加起來總共要再塗

10

個，是可行的。

方案二：

如此一來，第一行和第二行各要再塗偶數個，第一列和第二 列各要再塗奇數個，加起來總共要再塗

9

個，是不可行的。

方案三：

如此一來，第一行、第二行、第一列和第二列都要再塗奇數個 加起來總共要再塗

9

個，是不可行的。

方案四：

如此一來，第一行和第二列要再塗偶數個、第二行和第一列都 要再塗奇數個，加起來總共要再塗

8

個，是可行的。

方案五：

如此一來，第一行、第二行、第一列和第二列都要再塗偶數個 加起來總共要再塗

7

個，是不可行的。

綜合以上，只有方案一和四是可行的，另外拿出來討論。

設^(a,b,c,d)表示扣掉中間四格後，第一行再塗了

a

格、第二行再塗了 b格、第一列再塗了

c

格、第二列再塗了d 格。而

4

格裡選

0

格來塗有

1

種方法、

4

格裡選

1

格來塗有

4

種方法、

4

格裡選

2

格來塗有

6

種方法、

4

格裡選

3

格來塗有

4

種方法、

4

格裡選

4

格來塗有

1

種方法。以下列出所

) 2 , 3 , 4 ,

(1 414696 (3,4,1,2) 414696 )

4 , 3 , 0 ,

(3 414116 (3,4,3,0) 414116 以上共

1008

種。

方案四：

) , , ,

(a b c d 方法數 ^(a,b,c,d) 方法數

) 4 , 3 , 1 ,

(0 144116 (2,3,1,2) 6446576 )

4 , 1 , 3 ,

(0 144116 (2,3,3,0) 644196 )

2 , 3 , 3 ,

(0 144696 (4,1,1,2) 144696 )

4 , 1 , 1 ,

(2 644196 (4,1,3,0) 144116 )

2 , 3 , 1 ,

(2 6446576 (4,3,1,0) 144116 以上共

1600

種。

方案一和方案四合計100816002608種。

16105

已知甲的速度比乙快，兩人同時從圓形跑道上同一點出發，沿順時針方向跑步。

過一段時間，甲第一次從背後追上乙，此時甲立即背轉身子，以原來的速度沿 逆時針方向跑去。當兩人兩次相遇時，乙恰好跑了

3

圈，若甲的速度為每分鐘

120

公尺，試求乙的速度每分鐘為多少公尺？

【簡答】_{40 40 10}

【詳解】設乙的速度^v，則甲的速度為kv

甲第一次追上乙的時間為t₁，再次相遇的時間為t₂ 若圓形跑道周長為l

則

1 1

2 2

1 2

(1) (2)

( ) 3 (3)

kv t v t l kv t v t l

v t t l

   

     

    







 由(1)得 ₁

1 vt l

 k



，由(2)得 ₂

1 vt l

 k



， 代入(3)得

3

1 1

l l

k  k  l

 

^{3k22k 3 0}

∴

1 10 k  3



（負不合）

所以乙每分鐘跑

1 10

120 40 40 10

3

   

公尺