习题课 函数与极限

二、 连续与间断 一、 函数

三、 极限

习题课 函数与极限

第一章

) (x f y  y

O x

D

一、 函数

1. 概念

定义 :

D

f : f (D)  R



^{y y f x x D}



D

f ( )   ( ),  定义域 值域

图形 :



^{x y y f x x D}



C  ( , )  ( ),  ( 一般为曲线

)

设 D  R , _{函数为特殊的映射} :

其中

2. 特性

有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性

3. 反函数

) (

: D f D

f 

设函数 为单射 , 反函数为其逆映射 D

D f

f ^1 : ( ) 

4. 复合函数

给定函数链 f : D₁  f (D₁) ) 1

(

: D g D D

g  

则复合函数为 f  g : D  f [g(D)]

5. 初等函数

有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与 复合而成的一个表达式的函数 .

) (D₁ f

D g g(D) D1

g f

f 

思考与练习

1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么 ? )

arccos 2

cos(

) ( )

1

( f x  x _与



(x)  2x² 1, x [1,1]



 

 a x a a x

x x

f ,

) , ( )

2

(



^{( )2}



2 ) 1

(x  a  x  a  x 与





 

 , 0

0 ,

) 0 ( )

3

( x x

x x

f _与



(x)  f [ f (x)]

相同

相同

相同

2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数 ? 为 什么 ?

1 sin

) 1 1

(  

y x



^{sin , cos}



^{, [0, ]}

max )

2

( y  x x x  ₂^π

2 2

, arcsin )

3

( y  u u   x

不是

4π

0  x  ,

cos x

π2 4π  x  ,

sin x

是 不是

提示 : (2) y 

 0 x











 

0 ,

1

0 ,

) 1 ( )

4

( ³₃

x x

x x x

f



 

 1, 0 0 ,

) 1 ( )

2

( x

x x f



 

 4, 1 1 ,

) 2 ( )

3

( x

x x f

,

2

x

 x

x y

O

4 2

1

⑶



 



 1, 1

1 ,

3 1

x x

1 ) 1 3 (

2



 

 x

x

, 1 x⁶



O x

y

1

1

⑵

 1 x

 R x 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么

?



 

 , 0

0 ) ,

( )

1

( x x

x x x

f  x²

以上各函数都是初等函数 . ^x

y ₁

⑷

O

4. 设f (x)  e^x2 , f [(x)] 1 x, _且(x)  0, _求



_(x)

及其定义域 . 5. 已知



   

 [ ( 5)], 8 8 ,

) 3

( f f x x

x x x

f , 求 f (5) .

6. 设 ) csc cos ,

sin

(sin 1 ² x ² x

x x

f    求 f (x).

由 e^2(x) 1 x

得



(x)  ln(1 x) , _{x  (,0]} ,

 e ) (

 f x x²  f [



(x)] 

4. 解 : e^{ 2(x)}

] [

 f

5. 已知 



 

 

8 ,

)]

5 (

[

8 ,

) 3

( f f x x

x x x

f _{, 求} f (5) .

解 : f (5) f (10)  f ( 10  3)  f (7)  f [ f (12 ) ] )

(

 f 12  3  f (9)  6

6. 设 ) csc cos ,

sin

(sin 1 ² x ² x

x x

f    ^求 f (x).

解 : sin 1

sin ) 1

sin

(sin  1  ₂  ² x 

x x x

 f

3 sin )

(sin  1 ² 

 x x

3 )

(  ² 

 f x x

x

x f x

f (_1¹ )  ( )  _1² ,

2 )

( )

(x f ¹ x

f  ^x_x^ 

解 :利用函数表示与变量字母的无关的特性 .

1,

xx

t  ^ x  _1¹_t , _{代入原方程得} ,

) ( )

(₁¹_t f t ₁²_t

f _   _

1,

11

uu

x 

  x  _1¹_u , _{代入上式得} ,

) (

)

(^u_u¹ f ₁¹_u ^2(u_u ¹⁾

f ^  _  ^

1 ,

0 

 x

设 其中x _，求 f (x).

令 即

即

令 即

画线三式联立 1

1 1 ) 1

( 

 



 x x x x

f

即 f (^x_x^1)  f (_1¹_x)  ^2(x_x^1) 例 1

.

二、 连续与间断

1. 函数连续的等价形式

) (

) (

lim

₀

0

x f x

x

f

x





 ^{ x  x  x}

₀

^{,  y  f ( x}

₀

^{  x )  f ( x}

₀

⁾ 

0 lim

0

 





y

x

) (

) (

)

( x

₀

f x

₀

f x

₀

f

^



^



,

 0

     0 , 当 x  x

₀

  时 ^,

有





 ( ) )

( x f x

₀

f

2. 函数间断点

第一类间断点 第二类间断点

可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点

有界定理 ;最值定理 ; 零点定理 ;介值定理 . 3. 闭区间上连续函数的性质

例 2. 设函数

f ( x ) 

2

,

) cos 1

( x

x a 

 0 x

,

1

x  0

, ) (

ln b  x

² x  0 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .

提示 : ₂

0

) cos 1

lim ( )

0

( x

x f a

x

 

 



2

 a

²

2

~ 1 cos

1 x x

) (

ln lim

) 0

(

²

0

b x

f 

x



 

  ln b

a b

ln 2  1 

2 e

) 1 )(

( ) e

(  

 

x a

x x b

f ^x _{有无穷间断点}

x  0

及可去间断点

x  1 ,

解 :

 x  0

为无穷间断点 ,



 





 ( )( 1) lim e

0 x a x

x b

x

所以

b x a

x

x x 





 e

) 1 )(

lim (

0 b

a

 

1  0

1 ,

0 

 b a

为可去间断点 ,

 1



x

) 1 (

lim e

1 

 

 x x

x b

x 极限存在

0 )

(e

lim1  

 ^x b

x lime e

1 

  x

b x

例 3. 设函数

试确定常数 a 及 b .

例 4. 设 f (x) 定义在区

间

(  ,   )

_上 ^,

有 y

x,

f ( x  y )  f ( x )  f ( y )

^, _若 ^{f (x)} _在

x  0

^{连续 ,}

提示 :

) (

lim0 f x x

x  





lim [ ( ) ( )]

0

f x f x

x

 



 

) 0 ( )

( x f

f 



) 0 ( 

 f x  f ( x )

阅读与练习

且对任意实数

证明 f (x) 对一切 x 都连续 .

P65 题 1 , 3

⁽²⁾

; P74 题

^*

6

证 :

P74 题 ^*6. 证明 : 若

令lim f (x) A,

x 



 则给定

  0 ,  X  0 ,

_当

x  X

时 ,有

A    f ( x )  A  

又

f ( x )  C [  X , X ] ,

_{根据有界性定理 ,M1  0 ,}

]

使

, [

, )

( x M

₁

x X X

f   

取

^{M  max}  ^{A   , A   , M}

₁



则

f ( x )  M , x  (  ,  ) )

( x

f

在

(  ,   )

_内连续 ^{, lim f (x)}

x

存在 , 则

f ( x )

_必在

(  ,   )

_内有界 ^.

) (x f

 X X

A M1

O

y

x

0 )

( ) (

)

(

_{1 2}

2

 f x f x 

f 

上连续 , 且恒为正 , 例 5.

设

f ( x )

_在

[ a , b ]

对任意的 x₁ , x₂ (a,b), x₁  x₂ , _{必存在一点}

证 :

, ] ,

[x₁ x₂



 使 f ()  f (x₁) f (x₂ ) .

令

F ( x )  f

²

( x )  f ( x

₁

) f ( x

₂

)

_{, 则F(x) C[a,b]} )

( )

(x₁ F x₂ F

)]

( ) (

) (

[ f

²

x

₁

 f x

₁

f x

₂

 [ f

²

( x

₂

)  f ( x

₁

) f ( x

₂

)]

) (

)

(x₁ f x₂

 f



[ f ( x

₁

)  f ( x

₂

)]

² _{ 0}

使 ,

) (

)

( _{1 2} 时

当 f x  f x  f (x)  0, F(x₁)F(x₂)  0, 故由零点定理知 , 存在



(x₁ , x₂), F(



)  0, _即

. ) (

) (

)

( f x₁ f x₂ f





, )

( )

( _{1 2} 时

当 f x  f x _取  x_{1 或}  x₂, )

( ) (

)

( f x₁ f x₂ f  

证明 :

, 0 )

( 

则有F 即

上连续 , 且 a  c  d  b ,

例 6.

设

f ( x )

_在

[ a , b ]

必有一点 证 :

, ] , [a b



 _使

) ( ) (

) ( )

(c n f d m n f  f

m   

, ] , [ )

(x C a b

f 

 ^{ f (x)在[a,b] 上有最大值 M} )

( )

(c n f d f

m 

) ) (

( )

( f



n m

d f n c

f

m 



 即

由介值定理 ,存在



[a,b], 使

证明 :

n M m

d f n c

f

m m 



 ( )  ( )

) ( ) (

) ( )

(c n f d m n f  f

m   

,

及最小值m 故

即



 n m

m )

(  (m  n)M

三、 极限

1. 极限定义的等价形式 ( 以 为例 x  x₀ ) A

x

x f

x 

 ( ) lim

0

0 ]

) ( [ lim

0



 f x  A

x x

( 即 为无穷 小 )

A x

f 

 ( )



 

^x_n ^(x_n ^{ x}₀^{) ,}

 ^{n  }

有 f x_n A

n 



 ( ) lim

xn x₀ ,

"

" 

A x

f x

f ( ₀^)  ( ₀^) 

2. 极限存在准则及极限运算法则

3. 无穷小

无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小 :

4. 两个重要极限

6. 判断极限不存在的方法

~

sin x x tan x x~ 1 cos x ~ ₂¹ x²

~

arctan x x arcsin x ~ x ln(1 x) ~ x

~ 1

e^x  x a^x 1 ~ xln a (1 x)^ 1 ~  x

5. 求极限的基本方法 sin 1

lim )

1

( 0 

 1) 1

1 ( lim )

2

( 0  

 或 ¹

lim(10 ) e

  

注 : 代表相同的表达

式

例 7. 求下列极限：

) sin

1 (sin

lim )

1

( x x

x  





x x x sinπ1

1

lim 2

) 2

( ^





_x^x



^x

x

cot 11

lim0

) 3

( _^



提示 : (1) sin x 1  sin x

2 cos 1

2 sin 1

2 x   x x   x



2 cos 1

) 1

( 2 sin 1

2 x x

x x







 

无穷小 有界

令 lim1

) 2

( x

1

 x t

lim0

 

t sinπ( 1)

) 2 ( 



t t t

lim0

 

t t

t t

sinπ ) 2 ( 

lim0

 

t t

t t

π ) 2 ( 

π

 2

x x sinπ1 ²

lim0

) 3

( x

 

^x

x

x _cot 1

1





lim0

  x

x

x

x _cot 1 )

1 2

(  

 e

xx xx



 ₁² ) ~ ₁² 1

( ln

e2



则有



^{1 ( )}



^{( )}

lim

0

x v x

x  u x



复习 : 若lim ( ) 0,

0

 u x 

x

x lim ( ) ,

0



 v x 

x x

 e



^{1 ( )}



ln ) ( lim

0

x u x

x v

x 



 e^{xlimx0 v(x)u(x)}

) (

lim ^cos_{sin 1}²

0 xx

xx

x  

1



O x y

3 1 x3

y  

例 8. 确定常数 a , b , 使lim (³ 1 ³   )  0



 x a x b

解 : 原式可变形为 x

0 )

1 (

lim ^{3 1}₃    



 bx

x x x a

0 )

1 (

lim ^{3 1}₃    

  bx

x x a

故 1 a  0 , 于是 a  1, _而 )

1 (

lim ³ x³ x

b  x  





3 3 2

3 (1 3)2 1

lim 1

x x

x x

x     

 



 0

x y  

例 9. 当

x  0

时 , ^{3 2}

x  x

^是

x

_{的几阶无穷小} ? 解 : 设其为 x 的 k 阶无

穷小 ,

则

x xk

x

3 x2

lim0 

  C  0

因

x xk

x

3 x2

lim0 



3 3

2

lim0 _k

x x

x x 

 

3 3

0 (1 )

lim x^{21 k} x²³

x 

 ^



故 6

 1 k

阅读与练习

1. 求 的间断点 , 并判别其类型 .

解 :

) 1 )(

1 (

sin )

1 ) (

(  

 

x x

x

x x x

f

) 1 )(

1 (

sin )

1 lim (

1  





 x x x

x x

x sin1

2

 1

x = –1 为第一类可去间断点



 ( )  lim1 f x

x

x = 1 为第二类无穷间断点

, 1 )

(

lim0  

  f x

x lim ( ) 1

0 

  f x

x

x = 0 为第一类跳跃间断点

2. 求 sin . e

1

e lim 2 ₄

1

0 









 





 x

x

x x

x

解 :











 





  x

x

x x

x

sin e

1

e

lim 2 ₄

1

0 









 



 







 ^ x

x

x

x x

x

sin 1

e e

lim 2 ₄

3 4

0

e  1











 





  x

x

x x

x

sin e

1

e

lim 2 ₄

1

0 









 



 

  x

x

x x

x

sin e

1

e

lim 2 ₄

1

0  1

原式 = 1

(2000 考研 ) 注意此项含绝对值

作业

P75 4

^{(1) , (4)}

^; 5 ; 8 ; 9

(2) , (3) , (6)

;

10; 11 ; 12 ; 13

3. 求 lim (1 2^x 3^x )^1x.

x  





解 : 令f (x)  (1 2^x  3^x )^{1x  3}



⁽¹₃^{)x  (}₃^{2)x 1}



^1x

则 3  f (x)  33^1x

利用夹逼准则可知 lim ( )  3.



 f x

x