第六节 极限存在准则 两个重要极限

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二、 两个重要极限

一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则

第六节 极限存在准则及

两个重要极限

第一章

一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则

1.

函数极限与数列极限的关系 定理

1.

A x

x f

x 

 ( ) lim

0

 

^x_n ^:

 x_n  x₀ ,

_有定义

,

),

0 (  

 x n

x_{n f xn A}

n 



 ( ) lim

为确定起见

,

仅讨论

x  x₀

的情形

.

有

) (x_n f



 x



n  x

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定理

1. f x A

x

x 

 ( ) lim

0

 

^x_n ^:

 x_n  x₀ , f (x_n )

有定义

,

_且

x_n  x₀ (n  ) ,

设

lim ( ) ,

0

A x

x f

x 



即

  0,   0,

_当

,

0  x  x₀  

时 _有

f (x)  A   .

 

x_n :

 x_n  x₀ , f (x_n )

_有定义

_,

_且

x_n  x₀ (n  ) ,

对上述



,

N

n 

_时

,

有

0  x_n  x₀   ,

于是当

n  N

时

f (x_n)  A   .

故

f x_n A

n 



 ( ) lim

可用反证法证明

. (

略

)

. )

(

lim f x_n A

n 



有



证：

当



x y

A

 

,

 N

“ ”

“ ” O x0

定理

1. f x A

x

x 

 ( ) lim

0

 

^x_n ^:

 x_n  x₀ , f (x_n)

_有定义

,

)

0 (  

 x n x_n

且

lim f (x_n) A.

n 



有



说明

:

此定理常用于判断函数极限不存在

.

法

1

找一个数列  

^x_n ^: x_n  x₀ ,

且

x_n  x₀ ( n  ) ,

不存在

. ) (

lim _n

n f x



使



法

2

找两个趋于

x₀

_{的不同数列}  

^x_n

_及  

^x_n^{ ,}

_使

) (

lim _n

n f x



 lim ( _n )

n f x

  )

(x  

) (x_n  

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例

1.

证明

x

x

sin 1

lim0

不存在

.

证

:

取两个趋于

0

的数列

π 2

1

x_n  n

_及

2π

π 2

1

 

 n x_n

有

n xn

sin 1 lim

n^ xn sin 1 lim

由定理

1

知

x

x

sin 1

lim0

不存在

.

) ,

2 , 1

(n  

0 π

2 sin

lim 

  n

n

1 )

π 2 sin(

lim  ₂^π 

  n

n

2.

函数极限存在的夹逼准则 定理

2.

当

x U^ (x₀ ,  )

时

,

A x

h x

g x x

x

x  



 ( ) lim ( ) lim

0 0

, ) ( )

(x h x

g  f (x) 

A x

x f

x 

 ( ) lim

0

) 0 ( x  X 

)

(x   (x  )

) (x  

且

(

利用定理

1

及数列的夹逼准则可证

)

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sin 1

cos  

x x x

圆扇形

AOB

的面积

二、 两个重要极限

sin 1 lim

.

1 0 

 x x

x

证

:

当

即

¹₂sin x  ¹₂ x  ₂¹ tan x

亦即

sin x  x  tan x (0  x  ₂^π) )

, 0 ( ₂^π



x

_时，

) 0

(  x  ₂^π ,

1 cos

lim0 

 x

x sin 1

lim0 

  x x

x

显然有

△

AOB

的面积＜ ＜△

AOD

的面积

x x

x

cos 1 1 sin 

故有

注

注

O

B x1 ^DA

C

例

2.

求

tan . lim0 x

x

x

解

:

x x

x

lim tan

0 



 



 

 x x

x

x cos

1 lim sin

0

x x

x

lim sin

0

 ^x cos x

lim 1

0

  1

例

3.

求

arcsin .

lim0 x

x

x

解

:

令

t  arcsin x,

_则

x  sin t ,

_因此 原式

t

t

t sin

lim0



lim 1

0

 t

t t

sin  1

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2 0

lim sin





 x

2x

2x

2 1

n n

n R ^π

2 sin π cos lim



R πn

例

4.

求

1 cos .

lim ₂

0 x

x

x





解

:

原式

= ²

2 2 0

sin lim 2

x

x x

12

2 1 

 2

 1

例

5.

已知圆内接正

n

边形面积

为

证明

: lim A_n π R² .

n 





证

: _n

n A



lim

nπ

π

n n n R n

A  ² sin ^π cos ^π

π R2



说明

:

计算中注意利用

1 )

(

) ( lim sin

0 )

( 

 x

x

x 





2. lim (1 ¹ )  e





x x x

证

:

当

x  0

_时

,

设

n  x  n 1,

_则

x x) 1

(  ¹  (1 ¹_n)^n1



 _n )ⁿ 1

( ¹₁

n nlim (1 n¹_1)



  lim

 n

1 11) 1

(  _n ^n

11

1 _n  e

1) 1

1 (

lim ^



  _n ⁿ

n lim [(1 ¹_n)ⁿ

（

1 ¹_n

）

]

n  

   e

e )

1 (

lim  ¹ 





x x x

(P53~54)

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当

x   x  (t 1),

_则

t  ,

从而有

x x lim (1 ¹x)







) 1 ( 11) 1

(

lim _ ^{ }





 

 _t ^t

t

) 1 ( 1) (

lim _ ^{ }



  _t ^{t t} t

1) 1

1 (

lim ^



 

 _t ^t

t

)]

1 ( ) 1

[(

lim ¹_t ^{t 1}_t

t  

   e

故

lim (1 ¹)  e





x x x

说明

:

此极限也可写为

lim(1 )¹ e

0  



z z

z

时

,

令

例

6.

求

lim (1 ¹_x)^x.

x 





解

:

令

t  x,

_则



 



x

xlim (1 ¹x) _t ^t

t





 (1 )

lim ¹

lim 1



 

t t

t) 1

(  ¹ e

 1

说明 ：若利用

lim (1 ₍¹ ₎) ^{( )} e,

)

(  





x x x

 



则

原式

^lim



⁽¹ _^{1 )}



^{1 e1}





  

 _x ^x

x

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] [

lim

 x

例

7.

求

lim (sin ¹_x cos ¹_x)^x .

x 





解

:

原式

=lim [(sin ¹_x cos ¹_x)²]^2x

x 





)2

sin 1

(

lim ²_x ^x

x 

 

) sin 1

(  ²_x

 e

x 2 x

sin2 2x

sin 1

的不同数列

内容小结

1.

函数极限与数列极限关系的应用

(1)

利用数列极限判别函数极限不存在

(2)

数列极限存在的夹逼准 则

法

1

找一个数列  

x_n : x_n  x₀ ,

_且

x_n  x₀ ( n  )

使

lim ( _n)

n f x





法

2

找两个趋于

x₀

 

x_n

_及  

x_n ,

_使

)

(

lim _n

n f x



 lim ( _n )

n f x

 

不存在

.

函数极限存在的夹逼准则

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2.

两个重要极限

sin 1

lim )

1

( 0 



e 1 )

1 ( lim )

2

(  





或

lim(1 ) ¹ e

0  



注

:

代表相同的表达式

思考与练习

填空题

^{( 1 ～ 4 )}

; _____

lim sin .

1 



 x x

x 1 ____ ;

sin lim

.

2 



 x x

x

; 1 ____

sin lim

.

3 0 

 x x

x 1) ____;

1 ( lim .

4  





n

n n

0 1

0 e^1

作业

P56 1

⁽⁴⁾

，

(5)

，

(6)

;

2

⁽²⁾

_，

⁽³⁾

_，

⁽⁴⁾

;

4

^{(4) , (5)}