正交试验设计

五、正交试验设计

[正交表与正交试验] 正交表是根据组合理论，按照一定规律构造的表格，它在试验设计 中有广泛的应用。以正交表为工具安排试验方案和进行结果分析的试验称为正交试验。它适 用于多因素、多指标（试验需要考察的结果）、多因素间存在交互作用（因素之间联合起作用）、

具有随机误差的试验。通过正交试验，可以分析各因素及其交互作用对试验指标的影响，按 其重要程度找出主次关系，并确定对试验指标的最优工艺条件。在正交试验中要求每个所考 虑的因素都是可控的。在整个试验中每个因素所取值的个数称为该因素的水平。

正交表的符号为L_a(b^c)，其中L表示正交表；下标a是正交表的行数，表示试验次数；c 是正交表的列数，表示试验至多可以安排的因素个数；b是表中不同数字的个数，表示每个 因素的水平数。例如L₈(2⁷),8 表示正交表中有8 行，即安排试验的次数为 8次；7 表示正交 表中有7列，试验至多可安排7个因素（包括交互作用的因素）；2表示每个因素只有两个水 平。这种正交表称为2水平型的正交表。

又如L₁₂(32³)，表示正交表中共有 12 行，4 列，其中有一列是 3 水平的，有 3 列是 2 水平的。它称为混合型的正交表，可用来安排因素水平不同的试验。

[正交表的交互列] 任意两列分别安排了两个因素之后，这两个因素的交互作用可用表的 其他列表示出来，称为交互列。交互列在2水平型正交表中只有一列，在 3水平型正交表中 有两列，例如L₉(3⁴)，任意两列的交互列是另外两列。通常低水平（水平数为 2 或 3）的正 交表有另外专表写出交互列，例如L₈(2⁷)的交互列表，指出第3 列与第5列的交互列即是第 6列等等。有些正交表，例如L₁₂(2¹¹)，任意两列的交互列都不在表内，对这样的正交表就不 能考虑因素间的交互作用了。

手册后面备有常用正交表。

) 2 ( ⁷

L8 的交互列表

1 2 3 4 5 6 7 列号

（1） 3 2 5 4 7 6 （2） 1 6 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 （7）

1 2 3 4 5 6 7

[正交表的正交性] 正交表具有正交性：

1^° 在任意一列中，每个水平的重复次数都相等，例如L₈(2⁷)中每列的每个水平都重复 4 次。

2^° 任意两列中，同行数字（水平）构成的数对，包含着所有可能（该水平下）的数对, 而每个数对重复次数相等。例如在L₉(3⁴)中任意两列构成的数对都包含着 3 水平下所有可能 的数对：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），

而且每个数对重复次数都等于1。

由于正交性，使得所安排的正交试验，均衡分散，整齐可比。

[试验方案的制定步骤与安排方法]

1^°步骤

（1） 确定试验中变化因素的个数及每个因素变化的水平。

（2） 根据专业知识或经验，初步分析各因素之间的交互作用，确定哪些是必须考虑的，

哪些是暂时可以忽略的。

（3） 根据试验的人力、设备、时间及费用，确定可能进行的大概试验次数。

（4） 选用合适的正交表，安排试验。

2^° 安排方法

（1） 在不考虑交互作用时，把因素逐个安排在正交表的任意列上，那末每次试验（对

应于正交表的行）的试验条件（每个因素应取的水平）由安排因素的各列的水平确定。

例如，在试验用不发芽的大麦造啤酒的过程中，选了四个因素，每个因素三个水平，指 标是粉粒状（%）。

因素水平表

因素

水平 底水（A） 浸氨时间 (B) 920浓度 (C) 氨水浓度(D) 1

2 3

A1(140) B1(180) C1(2.5) D1(0.25) A2(136) B2(215) C2(3.0) D2(0.26) A₃(138) B₃(250) C₃(3.5) D₃(0.27) 如果不考虑交互作用，可选用正交表L₉(3⁴)，得试验方案如下：

用L₉(3⁴)安排一个四因素的试验方案

列号（因 素）

试验号

1(A) 2(B) 3(C) 4(D)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1(A1) 1(B1) 1(C1) 1(D1) 1(A₁) 2(B₂) 2(C₂) 2(D₂) 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3(D3) 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3(D3) 2(A₂) 2(B₂) 3(C₃) 1(D₁) 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2(D2) 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2(D2) 3(A₃) 2(B₂) 1(C₁) 3(D₃) 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1(D1) 此表指出第1号试验的条件是A₁B₁C₁D₁，第2号试验条件是A₁B₂C₂D₂,,第9号试验的条件 是A₃B₃C₂D₁。 （2） 需要考虑交互作用时，因素不能任意安排，应利用相应的表头设计安排试验。此时 要注意不能使不同的因素（包括所考虑的交互作用）同处一列(因为分析时无法将同处一列的 不同作用分析出来)，如果做不到这一点，就需要采用更大的正交表。例如安排一个四因素A , B , C , D的试验，必须考虑交互作用AB,AC，其他交互作用可忽略不计。根据L₈(2⁷)的 表头设计： 列号 因素个数 1 2 3 4 5 6 7 3 A B AB C AC BC 4 A B

D C

B A



 C D B

C A



 D A

C B



 D

4 A D C

B

 AB D B

C

 AC C B

D

 AD

5

E D

A

 D C

B

 E C

B A



 D B

C

 E B

C A



 C B

E A

D

 D A

E



因为是四因素试验，所以可将A , B , C , D分别安排在第1,2,4,7列上，第3,5列分别表示AB 及AC，第6列空着。如果A , B , C , D四个因素所有的交互作用都要考虑，则不能用L₈(2⁷)， 应选用更大的正交表，如L₁₆(2¹⁵)。

[正交表的直观分析] 1^°计算第 i 水平的水平和 K_i与水平均值 k_i例如用L₉(3⁴)安排的四

因素3水平的试验方案，可列出直观分析表如下：

列号（因素）

试验号 1(A) 2(B) 3(C) 4(D) 试验指标y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 1 1 1

1 2 2 2

1 3 3 3

2 1 2 3

2 2 3 1

2 3 1 2

3 1 3 2

3 2 1 3

3 3 2 1

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

K1

K₂

K₃

) 4 ( 3 ) 3 ( 3 )

2 ( 3 ) 1 ( 3

) 4 ( 2 ) 3 ( 2 )

2 ( 2 ) 1 ( 2

) 4 ( 1 ) 3 ( 1 )

2 ( 1 ) 1 ( 1

K K

K K

K K

K K

K K

K K

k₁

k₂

k3

k₁⁽¹⁾ k₁⁽²⁾ k₁⁽³⁾ k₁⁽⁴⁾ k₂⁽¹⁾ k₂⁽²⁾ k₂⁽³⁾ k₂⁽⁴⁾ k₃⁽¹⁾ k₃⁽²⁾ k₃⁽³⁾ k₃⁽⁴⁾ 极差R R⁽¹⁾ R⁽²⁾ R⁽³⁾ R⁽⁴⁾ 其中

K_i^(j)表示第j列的i水平的试验指标和（简称水平和）

k_i^(j)表示第j列的i水平的试验指标均值（简称水平均值）

R^(j)表示第j列的k₁,k₂,k₃的极差 例如

   





























































) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 )

1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 )

1 (

9 6 3 ) 2 ( 3

9 8 7 ) 1 ( 3

6 5 4 ) 1 ( 2

3 2 1 ) 1 ( 1

, , min ,

, max

, , , ,

k k k k

k k R

y y y K

y y y K

y y y K

y y y K





























) 2 ( 3 )

2 ( 3

) 1 ( 3 )

1 ( 3

) 1 ( 2 )

1 ( 2

) 1 ( 1 )

1 ( 1

3 1 3 1 3 1 3 1

K k

K k

K k

K k









2^°评定因素重要性顺序 依照各因素指标均值的极差的大小排出重要性顺序，极差大的表

示该因素重要。

3^°画出各因素与试验指标的关系图 求出k_i^(j)后，对于每个j以水平值i横坐标，以ki为纵

坐标描点并画出折线图，称为第 j 个因素与试验指标的关系图。若 k_i变化幅度大，则对应的 因素的影响就愈大。若图上描出的点很分散，则说明该因素是主要的；若点比较集中，则说 明该因素是次要的。

当需要考虑因素的交互作用时，对应某交互作用的 k_i列的就表示由于该交互作用的影响 而引起的。同样可以画出因素之间的交互作用与试验指标的关系图。

对于既没有安排因素，也没有安排交互作用的“ 空列” ，可以用来安排试验误差的估计。

通过同样的计算得到 ki，这可以看作是由于试验误差造成的，ki 变化的大小反映了该试验误 差的大小。也可以画出实验误差与试验指标的关系图。

4^°选定最优工艺条件（最优搭配方案） 在不考虑交互作用时，只需根据该试验指标的要 求（即该指标是高者为优，或是低者为优），从每个因素的关系图中找出最优点（最高点或最 低点）的水平，将各因素的最优水平组合起来就是对于该指标的最优工艺条件。

当需要考虑因素间的交互作用时，经过分析已知某两个因素的交互作用对试验指标影响很 大，这时根据试验结果，把对应于该二因素所有不同水平组合的试验指标（若对于同一种组 合有多次试验，则应求出其平均值）进行比较，选出该二因素的最优水平组合。最后，结合 其他因素或交互作用选出的最优条件综合考虑，以确定最优工艺条件。

对于多指标的试验，每个指标都可按上述方法进行分析。最优工艺条件应根据各个指标 的情况综合考虑才能确定。

[正交表的方差分析] 设在正交表中因素A被安排在第j列，该列的水平数为bj（或bA），

每个水平的重复数为rj，试验次数为n（行数）（显然有rjbj=n），则因素A的平方和SA（或称 为第j列平方和S_j）为

 

²

1 2

1 ) ( 2

1

) ( )

( 1 1

)

( 



 



 









  







n

i i b

l j l j b

l

j j l j j

A y

K n k r

k r S S

j j

总平方和S_总为

  

   



 



 





 ⁿ

i

n

i i n

i i

i y

y n y

y S

1

2

1 1

2

2 1

)

总 (

不可忽略的交互作用的平方和S_交也按其所在列的平方和计算（公式同因素 A 的平方和 S_A的计算公式）。

误差平方和S误等于S总与所有安排有因素或交互作用的列的平方和S总之差，即 ^{ }



^



作 用 的 列 ）

（ 安 排 交 互 交 素 的 列 ）

（ 安 排 因

误 S总 S S

S _j

正交表的方差分析表 离差

来源 平 方 和

自 由 度

均 方 统 计 量

置 信 限 统 计 推 断

A

B

B A

 误差

SA

SB

B

SA_

S误

bA – 1

bB – 1

) 1 )(

1 (b_A b_B 

n误

1



A A

A b

s S

1



B B

B b

s S

) 1 )(

1

(  







B A

B A B A

b b

S s

误 误 误 n s ＝S

s误

F_A＝s^A

s误

F_B＝s^B

s误

F_AB＝s^AB

) , 1

(b n_误

F_{ A}  ) , 1

(b n误

F_{ B} 

) ), 1 )(

1

((b b n_误

F_{ A}  _B 

当 F

F  时，认为 相 应 的 因 素 影 响显著；

当 F

F  时，认为 相 应 的 影 响 不 显著 总平

方和

S总 n1

表中

^{  }



^{ }



^{ }

）

）

（

作用的列安排交互 素的列安排因

误

( (

) 1 )(

1 )

1 (

1 b_j b_j b_i

n n

对正交表进行方差分析可以定量地给出因素的主次关系，可以判断哪些因素是重要因素，

哪些因素是次要因素。此时最优工艺条件的确定只要考虑重要因素，至于那些次要因素的水 平，可根据其他条件确定。

六、抽样检验方法

[抽样验收的第一类错误和第二类错误] 从整批产品中随意抽取n件样品进行质量检查，

进而对整批产品作出“ 接收”或“ 拒收”的判断时可能出现两种错误：把可接收的整批产品错 判为不合格而加以“ 拒收”，这种错误称为第一类错误，把质量不合要求的整批产品错判为合 格而加以“ 接收”，这种错误称为第二类错误。

制定抽样检验方案的目的就是合理地确定尽可能小的样本容量 n 和作为判断的标准区间

(L , H)，使得犯第一类错误的概率和犯第二类错误的概率都尽量地小。以下只讨论样本容

量n和整批产品的量N（或称批量为N）满足 0.1 N

n 的情况。

[单式抽样检验] 单式抽样的验收方案是指只进行一次抽样，从而对整批产品作“ 接收”

或“ 拒收”判断的方案。

1^°单式计件（对产品质量指标的检验只考虑“ 好品”与“ 次品” ）的验收方案（n , c）。

根据对产品质量的要求，收付双方协商定出两个小于 1 的正数p₀和p₁(p₀  p₁)，当次 品率p p₀时，则接收这批产品；当p p₁时，则拒收这批产品。p₀和p₁分别叫做“ 可接收”

的质量水平和“ 批容许废品率”。

设样本容量为n，其中次品个数为k。k可作为判断批量为N的产品质量的指标。现在是

如何合理地选取n和小于n的正整数c，使得按照“ k c”或“ k c”分别决定“ 接收”或“ 拒 收” 该批产品时，犯第一类或第二类错误的概率都不大于预先给定的和。

对于方案（n , c），从次品率为p的总体（批量为N）中抽取 



 



10

n N 件产品，其次品数c 的概率为

k n k

c

k

p k p

c n n p

L ^



 



 







 ^{(1 )} )

, , (

0

L(p,n,c) 称为方案（n , c）的示性函数。

给定p₀,p₁,和后，n,c是下列方程的解：













 )

, (

1 ) , , (

1 0

c n p L

c n p L

记u_r满足

r x e

u_r x

 





 ₂^{1 2 d}

2



则n当比较大时，c

 

nH （即nH的整数部分）由下式决定：









 



 

 _

n p u p

p H

n p u p

p H

) 1 (

) 1 (

1 1 1

0 0

1 0





2^° 单式计量（对产品质量指标要测量出具体数据）验收方案(n,L,H)

假定衡量产品好坏的数量指标是遵从正态分布，其方差²为已知。当 （或相反）

时，认为产品合格；当 （或相反）时，认为产品不合格。

设样本容量为n，样本均值为x,x可作为判断总体质量的指标。现在是如何合理的选取n 和L , H，使得按照“ L<x H”和“ xL或x H” 分别决定“ 接收” 或“ 拒收” 整批产品 时，犯第一或第二类错误的概率都不大于预先给定的和。

记

) ( ),

( _{0 1} ¹ ₁

1

0 ^ p  ^ p

 其中^1(x)是正态概率积分





 

 x ^x e 





2 d ) 1

( ²

2

的反函数。

单式计量验收方案表

条 件 方案代号 方案参数满足的

方程组

统计推断

₀ ₁

) , (n L

















 n

u L

n u L

 

 





1 1

0 当x L时，拒收 当x L时，接收

₀ ₁ (n,H)















 _

n u H

n u H

 

 





1 1

0 当x H时，拒收 当x H时，接收

2 0

1  

   (n,L,H)

























 _

n u L H

n u L

n u L



 

 







2 2 0

1 1

2

当 xL 或 x H 时，拒收

当LxH时，接 收

[复式计件抽样检验] 单式抽样验收方案为了确保两类错误的相应概率不超过,，常常

需要抽取容量很大的样本。对于同样的四个数据p₀,p₁,, ，复式抽样的平均抽样件数比单 式抽样较小。

复式抽样验收方案的做法是：先抽容量为n₀的样本，设其中的次品为k₀，与事先确定的

三个数c₀ c₁及c₂相比较作判断：若k₀ c₀，则整批接收；若k₀ c₁，则整批拒收；若

1 0

0 k c

c   ，则继续抽取容量为n₁的样本，记其中的次品数为k₁，将两个样本合在一起，若

2 1

0 k c

k   ，则整批接收；若k₀ k₁ c₂，则整批拒收。其中n₀,n₁,c₀,c₁,c₂的决定与单式抽 样方案类似，要保证抽样验收方案当整批产品的次品率p p₀时，拒收的概率不超过，当

p1

p 时，接收的概率不超过。

记方案（n₀,n₁,c₀,c₁,c₂）的示性函数L(p;n₀,n₁,c₀,c₁,c₂）为 L(p;n₀,n₁,c₀,c₁,c₂） ^{0 0}(1 ) ^{0 0}

0 0

0 k n k

c

k

p k p

n _



 



 









 











 



 



  



 



 



 



 ¹ 

0 0

0 2

1

1 1 1

0 0 0

1 0 1

1 0

0 (1 ) (1 )

c

c k

k c

k

k n k

k n

k p p

k p n

k p n

它事实上是抽取第二样本，经检验后，整批接收的概率，即概率P(k₀ c₀,（次品率为p）与

2 1 0 1 0

0 ,

(c k c k k c

P     （次品率为p）之和。

当p₀,p₁,,已知，n₀,n₁,c₀,c₁,c₂满足下列方程













 )

, , , ,

; (

1 ) , , , ,

; (

2 1 0 1 0 1

2 1 0 1 0 0

c c c n n p L

c c c n n p L

该方程的求解是困难的，且不是唯一的，必须根据实际部门的具体情况提出另外合理的限制

（例如令n₁ 2n₀等等），并制定专门的统计表来确定n₀,n₁,c₀,c₁,c₂。

[序贯计件抽样检验] 本方法比上面的抽样方案更经济，更能减少检验次数。

对于给定的p₀,p₁,,，序贯抽样的方法是：

第一步 先抽取容量为n₁的样本，设其中次品数为k₁，计算

1 1

0 1 0

1

0 1

1

0 1 0

1 ,

1

1 lg1 lg

1 lg1

1 lg1 lg

lg1

1 h sn

p p p

p

p p n

p p p

c _n p  



















 







 

  ＋ ^记



1 2

0 1 0

1

0 1

1

0 1 0

1 ,

2

1 lg1 lg

1 lg1

1 lg1 lg

lg1

1 h sn

p p p

p

p p n

p p p

c _n p  



















 







 



  ＋ ^记



若样本的次品数

,1

1

1 c n

k  ，则整批接收；若

,1

2

1 c n

k  ，则整批拒收；若

1

1 2,

,

1n k c n

c   ，则不作

决定，继续抽样。

第二步 再抽取容量为n₂的样本，设其中次品数为k₂，计算

) (

1 lg1 lg

1 lg1 )

( 1

lg1 lg

lg1

2 1 1

0 1 0

1

0 1

2 1

0 1 0

1 ,

1 _{1 2} h s n n

p p p

p

p p n

n p p p

c _{n n} p   



















 









 



 

＋ 记





) (

1 lg1 lg

1 lg1 )

( 1

lg1 lg

lg1

2 1 2

0 1 0

1

0 1

2 1

0 1 0

1 ,

2 _{1 2} h s n n

p p p

p p p n

n p p p

c _{n n} p   



















 









 

 



＋ 记





若两次抽样的积累样本的次品数

2

,1

1 2

1 k c n n

k   _ ，则整批接收；若

2

,1

2 2

1 k c n n

k   _ ，则整批拒 收；若c1,n1_n2 k1k2 c2,n1_n2，则不作决定，继续抽样。

照此法进行下去一直到作出判断为止。应注意的是，若每次样本的容量为n_i，其中次品

数为k_i，则在第 m 步时，积累样本的容量为



 m

i

ni 1

，积累次品数为



 m

i

ki 1

。可以证明，经有限 次抽样可以作出判断。

序贯抽样验收方案可以有两种直观的表示方法：

1^° 序贯计件抽样的图解法 以积累样本的容量 ^



i

ni

n 为横坐标，以积累次品数





i

ki

k 为纵坐标，两条平行线

sn h k sn h

k  ₁ 与  ₂ 

把整个平面划成三个区域：接收区，拒收区和继续抽查区（图16.7）。每检验一件产品后，看 它是不是次品，然后在图上画一点(n , k)，如果点落在接收区内，

就接收这批产品；如果点落在拒收区内，就拒收这批产品；如 果点落在继续抽查区，就继续抽检。经有限次抽查，点(n , k)总 会跑出继续抽查区，这时便可作出接收或拒收的判断。

2^° 序贯计件抽样的列表法 对给定的不同的p₀,p₁, 和

 ，列出积累样本的个数 ^



i

ni

n 和所对应的判断标准c_1,n 和

c_2,n 的 表 。 当 积 累 次 品 数 ^



i

ki

k 越 出 区 间(c_1,n ,c_2,n )， 就 可 作 判 断 。 例 如 下 表 列 出

% 5 , 08 . 0 , 01 .

0 ₁

0  p   

p , 10%的序贯抽样方案。

n c_1,n c_2,n n c_1,n c_2,n n c_1,n c_2,n n c_1,n c_2,n 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

















 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37











 0 0 0 0 0 0 0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

表中n：积累样本的个数。

c_1,n ：可以作出接收的最高次品件数。

c_2,n ：可以作出拒收的最低次品件数。

表示不作决定。

七、质量评估（工序控制）方法

一件产品的制作往往要由好几个工序来完成。每个工序出了问题都会影响产品的质量，因 此必须在生产过程的每个工序设有控制图，及时评估生产过程的质量。

[计量评估] 被评估的产品质量是一物理量。设它在正常生产时遵从正态分布N(,²)。

用样本x₁,x₂,,x_n的均值x 和极差 R 来评估总体的和 是否发生异常，分别称为x 评估图

(图16.8)和R评估图(图16.9)。

图中E(R)表示极差R的数学期望，cn ,d_n是与n有关的经验常数。

经验常数cn ,dn数值表

n 2 3 4 5 6

cn 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534

dn 0.8525 0.8884 0.8798 0.8641 0.8480

n 7 8 9 10 11 12

cn 2.704 2.847 2.970 3.078 3.173 3.258

dn 0.8330 0.8200 0.808 0.797 0.787 0.778

如果产品指标规格未知，可从最近正常生产过程中抽取20多个容量为n（n<10,一般n=5

或6）的样本，由各样本的均值x 和极差R再作平均得x和R，则x 的控制限为x

n c

R

n

3 ，

R的控制限为 R c d

n n 



 



13 。

在连续生产的过程中于某时间间隔内抽取一个容量为 n 的样本，算出x 和 R，然后在评 估图上画点，如果在整个生产过程中每次抽样算得的x

和R都在控制限内，点的变化又是随机的（没有一定规 划和趋势），就表示生产正常。

[计件评估] 被评估的产品质量是次品率的大小，

其方法与计量评估类似。如果工厂里规定产品的次品率

为p，在某时间间隔内，抽取容量为n(>50)的样本，作

次品个数m的评估图（图16.10）。

如果产品次品率没有规定，可从近期正常生产过程中抽取 20 个小样本，用各个样本的次 品率的平均值p作为p。

n p p p(1 )

3 



[计点评估] 被评估的产品质量是一件（或一组）产品的疵点的 个数。如果产品在正常生产时的平均疵点数为c（它可通过对 20 多批产品的抽查，在每批产品中抽查一件或一组，算出每批产品的 平均疵点数ci ，然后从20多个ci中算出一个平均数c），那末作疵 点数c的评估图（图16.11）。其控制限为c3 c 。

在连续生产过程中的某个时间内任抽取一件产品，数出其疵点

个数c，并用点画在评估图上，当点在控制带内随机变动，则表示生产在正常状态。