第七章 曲线与曲面积分

7.2.4 第一类曲面积分

一、相关问题

1.利用微元思想建立变密度曲面物体质量的计算模型。

解 设S为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为（）x y z, , _{，把曲面分成}n_个小块：

S1

 ,S_2…S_n(S_i也 代 表 曲 面 的 面 积)； 质 量 的 近 似 值 ： i i i i n

i

S



 ^{( , , )} 1









( , , )  _{i i i} 是Si上任意一点)；取极限求精确值： ⁿ _{i i i i}

i

S

M 





 ^{( , , )}

lim

0 1   

 (为各小

块曲面直径的最大值)。

二、相关知识

1．对面积的曲面积分的实质是什么？

解 其实质是将曲面积分中的曲面投影为平面，进而转化为二重积分。

2．对面积的曲面积分过程中对称性的应用规则？

解 （1）若曲面S关于xoy_{坐标面对称，} f



x,y,z



为S上的连续函数，S₁为S

位 于 xoy_{上 部 的 曲 面 ， 则}

   

   

1

0, , ,

, , d 2 , , d , , ,

f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z

S S



 

 

为的奇函数

,

为的偶函数

.

曲面关于yoz,xoz平面对称也有类似的结论。

（2） 若光滑曲面S可以分成对称的两部分S S1S2，且关于原点对称，则

 ( , , )

S f x y z dS



^{ 0，为关于}

^z

^(或

^x

^{，或 y )的奇函数。}

 ( , , )

S f x y z dS



⁼⁸ 1

( , , )

S f x y z dS



^{， f(x,y,z)为关于}

^z

^(或

^x

^{，或 y )的偶}

函数。

（3）若积分曲面S关于

x

， y _，

z

具有轮换对称性，则：

( , , ) ( , , ) ( , , ) f x y z dS f y z x dS f z x y dS

S S S

 

  

1

( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 f x y z dS f y z x dS f z x y dS

S S S













3．针对曲面在坐标面的投影平面和曲面恰好在坐标平面的情形，第一类曲面积分公式 如何演变？

解 （1）如果曲面为：y y x z( , )，在xoz_{坐标面上的投影区域为}D，y x z( , ) 在 D

一阶偏导数连续，则对面积曲面积分计算公式：

2 2

( , , ) ( , ( , ), ) 1 _{x z} f x y z dS Df x y x z z y y d

   

 

（2）如果恰好是xoy_{坐标面的平面区域，即}S D：z0，则 1z²_xz²_y 1，

从而 ( , , ) ( , ,0)

f x y z dS D f x y d

 

 

^。

4. 第一类曲面积分在实际中有哪些应用？

（1）曲面面积计算表达式：

解 S dS





 ^；

（2）曲面质量的计算表达式：

解 M 



_( , , )x y z dS

（3）曲面转动惯量的计算表达式：

解 I_z (x² y²) ( , , ) x y z dS





S 

（4）曲面重心坐标的计算表达式？

解

x x y z dS ( , , )

x M





  ^{( , , )}

( , , ) x x y z dS

x y z dS









 



^{，y，z 同理可知；}

特别当( , , )x y z 常数时，重心在对称面上或对称轴上，此时重心也称为形心，且

xdS xdS

x dS S

 



   



y ydS S

 



zdS

z S

 



三、练习题

1. 计算积分 1

zdS



 ^{，是球面x2y2z2 R2被平面z h （0 h R）截出的}

顶部。

解 ：z R²x²y² ，在xoy_{面上的投影区域}D：x²y² R²h²，

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 _{x y} 1 x y

z z

R x y R x y

    

    ^{2 2 2}

R

R x y

  

1

zdS



 ^



^D _R²_¹_x²_y^{2 } _R²_^R_x²_y^{2 d}

2 2 2

D

R d

R x y 





  D ^{2 2}

R rdrd

R r 





 0² 0 ^{2 2 2 2}

R h r

R d dr

R r

  ^



 



R

2 2 2 2

x y R h

2 2

2 ( ln( )0

2

R h

R R r

 ^

    R (2lnR 2ln ) 2h Rln

  h

   

2. 计算积分 xydS







^{，是圆柱面x2y2 1与平面z0，x z 2围成的立体的}

全表面。

解       1 2 3，1：z0，D1：x²y² 1；

1 1 1

1 0 0 0

D D

xydS xy d xyd

     

  

2_：z 2 x， D2_：x²y² 1

2 2 2

1 ( 1)2 0 2 0

D D

xydS xy d xyd

      

  

3：x²y² 1，    3 31 32，31： y 1x^{2 ，}32： y  1 x^{2 ，其} 中

31、32在xoz_{面上的投影区域均为}D₃，且 D3由 x z 2，x1，x 1， 0

z 围成。又 1y²_xy²_z

2

2 2

1 0 1

1 1

x

x x

   

  ^，

xydS

 

^

  

^{1 2 3xydS}



₃^xydS



₃₁^xydS



₃₂^xydS

3 3

2 2

2 2

1 1

1 ( 1 )

1 1

D x x d D x x d

x  x 

     

 

 

3

2 D xd





1 1

1 0

2 dx ^xxdz



 

 ¹1

2 4

2 (1 ) 2( )

3 3

x x dx





     

3. I (ax by cz d) d ,² S x² y² z² R²

S





   S   

计算曲面积分其中是球面 _。

解 I (ax by cz d) d² S

S





  

2 2 2 2

[( )ax ( )by ( )cz d 2abxy 2aczx 2bcyz 2adx 2bdy 2cdz S]d

S





        

根据曲面积分的对称性及被积函数的奇偶性可知：

0

xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS

S S S S S S

     

     

2 2 2 2

2 2 2

, ,

x y z R x y z

x dS y dS z dS

S S S

  

 

  

因为球面关于具有对称性。

所以

x z

2 x z 

D3

( ) d2

I ax by cz d S

S





   因此

1 ^{2 2 2 2 2 2 2 2}

( ) ( ) 4

3 a b c x y z ds R d

S

  



   ^{4R R2[ 21}₃^{(a2b2c2)d2]}

4.计 算 下 列 曲 面 积 分 (x y z dS)

S  



^{， 其 中 S为 球 面 x2y2z2 a2上 z h}

) 0

( ha _的部分。

解 利用对称性知 xdS ydS

S  S

 

^{ 0， 设Dxy={(x,y)| x2y2 a2h2}，}

则 (x y z dS)

S  



⁼



^SzdS=



Dxy a²x²y^{2 1zx2z dxdyy2} =

a

Dxydxdy



^{=a a( 2h2)}

5. 计算曲面积分 (xy yz zx dS)

  



^{，为锥面z x2y2 被圆柱面x2y2 2ay}

（a0）所截下的部分。

解 因为锥面、圆柱面均关于yoz_{面对称，故曲面}关于yoz_{面对称，而}xy xz _关于x

恰好是奇函数，yz _关于x_{是偶函数，从而} (xy yz zx dS)

  







^yzdS 1

2 yzdS







1_：z x²y² ，D1_{如图所示。}

(xy yz zx dS)

  



²



₁^yzdS

1

2 2

2 2

2 2 2 2

2 1

D

x y

y x y d

x y x y 

    

 



1

2 2

2 2 D y x y d





 1

2 2 sin

Dr  r rdrd





 

2 2 sin 3

0 0

2 2 ^d ^{a }r sin d



 

0^{2 4}

(2 sin )

2 2 sin

4

a d

   





4 2 5

8a 2 sin0^  d





^{8a4 2  4 2}_{5 3} ^{64 2}₁₅ ^a4

四、思考题

1.计算曲面积分 z dS²



S ^{，其中是球面x2y2z2 a2。}

解 如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷。

∵球面x²y²z² a²关于

x

，y _，

z

具有对称性，

∴ x dS² y dS² z dS²

S S S

 

  

∴ z dS²



S ^{=1 ( 2 2 2)}

3 x y z dS

S  



x



y z

2 2 2

x y ay x

y

2 2 2

x y  ay 2 sin

r a 

= ²

3 a dS 3 dS

S  S

 

2 2 2

1 4

3a .4a 3a

 