第三节 向量的数量积、向量积及混合积（导学解答）

5.3 向量的数量积、向量积及混合积

一、相关问题

1．人在路面上用绳子拉一个物体，绳子上的力

F

与路面成的角为



，物体产生的位移

为S ，求力

F

对物体做的功.

解：力

F

所做的功W等于

F

在位移方向上的分力大小与移动距离的乘积，即

W=

F S cos 

.

2．一个力

F

作用在棒的一端P,使棒绕其支点O转动，求力

F

关于支点O的力矩的大

小.

解：力矩

M

的大小为：

 OA  sin ( ,  OA  ).

M F F

_{方向为垂直力}

_F

_和向量OP所在的 平面。

二、相关知识

1．向量数量积的定义；

答 ： 两 个 向 量

a

_和

b

的 数 量 积 为

a

_与

b

的 模 和 它 们 夹 角 的 余 弦 的 乘 积 ， 即

cos ( , ).

 

a b = a b a b

2．向量积的定义；

答：两个向量

a

与

b

的向量积是一个向量，它的模为

a b sin ( , ),  a b

方

向与

a b ,

都垂直，并且按

a b a b , , 

这一顺序组成右手系.

3．向量数量积的运算性质有哪些？

答：（1）交换律：

a b b a   

；数量积的运算与方向无关。

（2）关于数因子的结合律：

(  a b )    ( a b  )

（3）分配律：

( a b c a c b c       )

（4）

a a   0,

等号成立当且仅当

a 

0^.

4．向量积的运算性质有哪些？

答：（1）反交换律：

a b     b a

；数量积的运算与方向有关。

（2）关于数因子的结合律：

(  a )   b  ( a b    ) a (  b )

（3）右分配律：

( a b       ) c a c b c

（4）左分配律：

a   ( b c )     a b a c

三、练习题

1．设证明^, ^为任意向量，证明^{   } ；

证明：作

OA   ,  AB  ,

 

则

OB   

 

,根据三角形三边之间的关系有：

OB 

OA AB

   

,即

      

.

2．已知点

A (1,1,0), (1,0,0), (0,1,0) B C

，求（1）BAC ，（2）

Pr j AB

^_AC



；

解：

  AB  (0, 1,0),   AC   ( 1,0, 0)

,

   AB AC           0 ( 1) ( 1) 0 0 0 0

.

cos AB AC   AB AC   BAC

   



^,

cos AB AC 0

BAC

AB AC

    



 

 

,

 _ BAC _  2

,

Pr

_AC

AB AC 0

j AB AC

  



 

 

.

3．试证明三个向量^,^,^共面的充分必要条件是(,,) 0；

证明：取单位坐标系{O;

e e e

1

, ,

2 3},设

  ( , , ), x x x

1 2 3

  ( , , ), y y y

1 2 3

  ( , , ) z z z

1 2 3 ， 则

2 3 3 1 3

1 2

1 2 2 3 3 1

2 3 3 1 1

1 2

( ) ( ) (

_{i i}

)

i

x x x x

x x

y y y y z

y y

_

 ^{e e}   ^e   ^{e e}  ^e   ^e

 

=

1 2 3

2 3 3 1

1 2

3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2

1 2 3

( ) ( ) ( )

x x x

x x x x

x x

z z z y y y

y y y y

y y

z z z

   e ,e ,e   e e e

.

  

共面等价于存在不全为0的实数

k k k

1

, ,

2 3_使得

k

₁

       k

₂

k

₃ ，即方程组

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0 0 0 k x k x k x k y k y k y k z k z k z

  

    

    



有非零解，这就等价于

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

x x x

y y y

z z z



，即(

 

)=0.

4．设 ˆ) 6

ˆ, ( , 3 ,

4 _{ }



 b a b

a    _{，求以a2b}^_和a3b^为边的平行四边形的面积。

解：由向量积的运算性质可知：

b a b a b a

b b b a a b a a b a b

a      





 

 



 

 









































5 3

2

3 2 3 2

) 3 ( ) 2 (

再 由 向 量 积 的 几 何 意 义 可 得 所 求 平 行 四 边 形 的 面 积 为 ： .

2 30 3 1 4 5 ˆ) , ˆ sin(

5 ) ( 5 ) 3 ( ) 2

(             

 a b a b a b a b a b

S        

四、思考题

1. 向量的数量积与向量积的物理意义是什么？

答：向量的数量积和向量积的物理意义分别是：力所做的功W用力

F

与位移

S

的数量

积 表 示 ， 即 W=

F  S

， 而 作 用 在 棒 端 点 P， 使 其 绕 支 点 O 转 动 的 力

F

的 力 矩

  OP 

M F

^.

2．向量的数量积、向量积以及混合积的几何意义是什么？

答：

a

_，

b

数量积的几何意义：

a

_的模与

b

在

a

_{方向的投影的乘积.}

a

_，

b

向量积的几何意义：

a,b

的向量积的模等于以

a,b

为邻边的平行四边形的面积.

（

a,b

不共线）

a

_，

b

，

c

_{的混合积的几何意义：}

a,b,c

的混合积的绝对值为

a,b,c

为相邻棱的平行六

面体的体积.（

a,b,c

不共面）.

3．试用向量证明不等式

a₁b₁a₂b₂a₃b₃  a₁²a₂² a₃²  b₁²b₂²b₃²

其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数，并指出等号成立的条件。

证：在直角坐标系{O;

i j k , ,

}中，取

a  ( , , ) a a a

1 2 3 ，

b  ( , , ) b b b

1 2 3 ， 则

a  a

₁²

 a

₂²

 a

₃²

, b  b

₁²

 b

₂²

 b

₃²

, a b =  a b

1 1

 a b

2 2

 a b

3 3，

cos ( , )

   

 a b a b a b a b

，



2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1

1b a b a b a a a b b b

a         .

4．设 2i j k, i j k，求同时垂直于^, ^ 的单位向量e_。 解：由向量积的定义可知：所求的同时垂直于^, ^的单位向量e_为：







 

 





 

e ，其中

1 1 1

1 1 2









k j

i  

 

 j k

3 3 

 ，

2 3 9 9 





^{ } ，所以 (3 3 ) 2

3

1 j k

e   .