第4 章二次曲線- 4-1 拋物線

4-1 拋物線

1. 右圖中哪一個圖形是以 F 為焦點﹐ L 為準線的拋物線﹖

(1) 

₁

(2) 

₂

(3) 

₃

(4) 

₄

﹒

因為焦點與準線的距離為正焦弦長的一半﹐

所以由圖可知₂是以F為焦點﹐L為準線的拋物線﹒

因此正確的選項為(2)﹒

2. 求下列各拋物線的方程式﹕

(1)焦點 ^F  ^{0 ,  3}  ^{﹐頂點 V}  ^{0 , 0}  ^{﹒ (2)頂點 V}   ^{1 , 1 ﹐準線 L x :  4 ﹒}

(1)因為焦點F在頂點V的下方﹐所以拋物線開口向下﹐

且c 3﹐如右圖所示﹒

由拋物線的標準式x²4cy可得其方程式為x² 12y﹒

(2)因為頂點V在準線L的左方﹐所以拋物線開口向左﹐c 3﹐如右

圖所示﹒

因為拋物線開口向左﹐

所以由標準式



^y^k



²^{4c x}



^h



可得其方程式為



^y1



^{2 12}



^x1



﹒

第 4 章 二次曲線

3. 求下列各拋物線的方程式﹕

(1)頂點  ^{0 , 0}  ^{﹐準線平行 x 軸﹐且通過點}  ^{2 , 6}  ^﹒

(2)頂點  ^{2 , 1}  ^{﹐準線垂直 x 軸﹐正焦弦長為 8 ﹒（有兩個解）}

(1)由頂點



^{0 , 0}



^{﹐準線平行x}軸﹐可設拋物線的方程式為yax²﹒ 因為拋物線通過點



^{2 , 6}



^{﹐將其代入yax2﹐解得 3}

a2﹐ 所以拋物線的方程式為 3 ²

y2x ﹒

(2)由正焦弦長為8可得4c 8﹐解得c 2﹒又由頂點

 

^{2 , 1 ﹐準線垂直x軸﹐可知拋物線}

的開口向左或向右﹒

當拋物線開口向左時﹐c 2﹐方程式為



^y1



^{2 8}



^x2



^﹔

當拋物線開口向右時﹐c2﹐方程式為



^y1



^28



^x2



^﹒

4. 下列哪個拋物線的焦距最大﹖其中焦距表示焦點和頂點的距離﹒

(1) y  x

²

(2) y  4 x

²

(3) y  16 x

²

(4) 4x  y

²

(5) 16x  y

²

﹒

將各選項的方程式改成標準式﹕

(1) 1 ²

4    4 y x ﹒ (2) 1 ²

416 y x ﹒ (3) 1 ²

464 y x ﹒ (4)^{4 1}

 

^xy2﹒

(5)^{4 4x}

 

^y2﹒

可知各拋物線的焦距分別為(1)1

4 (2) 1

16 (3) 1

64 (4) 1 (5) 4﹐ 故正確的選項為(5)﹒

5. (1)求拋物線  ^{x  1} 

²

^{ 4}  ^{y  2}  ^{的準線與焦點﹒}

(2)求拋物線 x  4 y

²

 8 y  1 的頂點與對稱軸﹒

(1)將方程式



^x1



^24



^y2



^依



^xh



^{24c y}



^k



改 寫 成



^{x }

 

¹



^{2  4 1}



^y2



﹐ 得 拋 物 線 的 頂 點 為^V



^{1, 2}



﹐ 1

c ﹐且其圖形開口向上﹐如右圖所示﹒

故拋物線的焦點為^F



^1,3



^{﹐準線為L y: 1﹒}

(2)將x4y²8y1配方可得^{x 3 4}



^y1



^2，

改寫成



¹



^{2 4 1}



³



y  16 x ﹐得拋物線的頂點為^V



^{ 3, 1}



^﹐對

稱軸為y 1，如右圖所示﹒

6. 求對稱軸為 x  1 ﹐且通過點  ^{2 , 2}  ^與  ^{ 1 , 5}  ^{的拋物線方程式﹒}

因為拋物線的對稱軸為x1﹐所以可設其方程式為



^x1



^{24c y}



^k



^﹒

將點



^{2 , 2}



^與



^{1 , 5}



^代入



^x1



^{24c y}



^k



^﹐得

 

 

1 4 2

4 4 5

c k

c k

  



 

 ﹐再將兩式相除﹐得1 2

4 5

k k

 

 ﹐ 解得k1﹐並得 1

c4﹐因此拋物線的方程式為



^x1



^{2 y 1﹒}

7. 已知拋物線  通過點  ^{7 , 8}  ^{﹐且與 y}

²

^{ 4 x} 有相同的焦點與對稱軸﹐求  的 方程式﹒

由y²4x可知﹕拋物線的頂點為



^{0 , 0}



^﹐c1﹐開口向右﹐因此其焦點為

 

^{1 , 0 ﹐對稱軸}

為y0﹒

設 的頂點為



^{h, 0}



^{﹐則c 1 h﹐且其方程式可設為y24 1}



^h



^xh



^﹒

因為拋物線 通過點



^{7 , 8}



﹐所以將其代入方程式﹐得^{824 1}



^h



^7h



^﹐

整理得h²8h 9 0﹐並解得h9或h 1﹐ 故 的方程式為^{y2 32}



^x9



^或y28



^x1



^﹒

8. 求對稱軸垂直 y 軸﹐且通過  ^{ 3 , 1}  ^﹐  ^{2 , 0}  ^﹐  ^{0 ,  2}  三點的拋物線方程式﹒

因為拋物線的對稱軸垂直y軸﹐所以可設其方程式為xay²byc﹒

將



^{3 , 1}



﹐



^{2 , 0}



^﹐



^{0 ,}²



三點代入xay²byc﹐得 3 2

0 4 2

a b c c

a b c

   

 

   



﹐

解得a 2﹐b 3﹐c2﹐即拋物線的方程式為x 2y²3y2﹒

9. 已知 ^{x   3}  ^{x  1}  

²

^{ y  1} 

²

的圖形是一個拋物線﹐關於此拋物線選出正 確的選項﹕

(1)焦點為  ^{1 , 1 }  ^{(2)準線為 x  3 (3)頂點為}  ^{3 , 1 } 

(4)對稱軸為 y   1 (5)正焦弦長為 1 ﹒

由方程式 ^{x 3}



^x1

 

^{2 y1}



²可知﹕

點



x y,



到直線x3的距離|x3 |與點



x y,



到點



1 , 1



的距離



^x1

 

^{2 y1}



^{2 相等﹐}

因此由拋物 線的定義可 知﹕此拋物 線的焦點為



^{1 , 1}



^﹐準線為

3

x ﹐如右圖所示﹒

由圖可知﹕拋物線的頂點為



^{2 , 1}



^{﹐對稱軸為 y 1﹐c 1﹐正焦弦長 4c 4﹒}

故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒

10. 一拋物線形拱門如右圖所示﹒

已 知 此 拋 物 線 以 通 過 最 高 點 的 鉛 垂 線 為 對 稱 軸﹐拱門底部寬為 8 公尺﹐最高點高 4 公尺﹐求 拱門寬度為 4 公尺處的高度﹒

選定拋物線的頂點為坐標平面的原點﹐軸為y軸﹐且讓拋物線的 開口向下﹐由此可設拋物線的方程式為yax²﹐a0﹒ 因為拱門底部寬為8公尺﹐最高點高4公尺﹐所以拋物線通過點



^{4 ,}⁴



﹐代入yax²﹐解得 1 a 4﹒

設^P



^{2 , 4a}



^{為拱門寬度為4公尺處的右邊端點﹐將 1}

a 4代入﹐

得P點坐標為



^{2 , 1}



^﹒

故由圖可知﹐P點的高度為

   

^{   1 4 3（公尺）﹒}

11. 已知 P  ^{a b ,}  ^{為拋物線  : y}

²

^{ x 上一點﹐且點 P 到焦點的距離為 3﹐求 a}

的值﹒

由 ² 1 4 4

y   x可知拋物線開口向右﹐

其焦點為 1 4, 0

 

 

 ﹐準線為 1

x 4﹐如右圖所示﹒

因為拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等﹐

所以點P到準線的距離為3﹐即 1 4 3

a   ﹐解得 3 24

a ﹒

12. 已知在坐標平面上﹐直線 L y :   x 4 與拋物線  : x

²

 4 y 相交於 P ﹑ Q 兩 點﹐且 F 為  的焦點﹐求 PF  QF 的值﹒

先在坐標平面上畫出x²4y的圖形﹐如圖所示﹒

由拋物線的定義可知﹐PFPR﹐QFQS﹐ 故PFQFPRQS﹐

又因為準線為y 1﹐所以可知

   

1 1 2 1 1 2 2

PRQSy   y   y y  ﹒

將y x 4改寫成x y 4﹐並代入x²4y﹐整理得y²12y160﹐ 由根與係數的關係可知﹐y₁y₂12﹐即PRQSy₁y₂ 2 14﹐ 故PFQF14﹒

4-2 橢圓

1. 右圖中哪一個橢圓是以 F

₁

﹐ F

₂

為焦點的橢圓﹖

(1) 

₁

(2) 

₂

(3) 

₃

(4) 

₄

﹒

由圖可知﹕橢圓長軸之半為5個單位長﹐兩焦點距離之半為3個 單位長﹐因此短軸長之半為 5²3²  164個單位長﹐故由圖 可知正確的選項為(3)﹒

2. 設 F

1

 4 , 2  ﹐ F

2

 4 ,  4  ﹐且圖形  上的動點 P 滿足 PF

₁

 PF

₂

 k ﹒下列哪 些選項中的 k ﹐可使得  是一個橢圓﹖

(1) 4 (2) 5 (3) 6 (4) 7 (5) 8 ﹒

因為F F_{1 2}6﹐所以由橢圓的定義可知﹕當 的圖形是一個橢圓時﹐長軸長k需大於F F_{1 2}﹐ 因此正確的選項為(4)(5)﹒

3. 右圖是一個以 F

₁

﹐ F

₂

為其焦點﹐長軸長為 16 的橢圓﹒

若 P 為橢圓上的一點﹐ △ PF F

_{1 2}

是一個直角三角形﹐且

1

6

PF  ﹒則此橢圓的短軸長為何﹖

由 橢 圓 的 定 義 可 知 ﹕ PF₁PF₂ 為 長 軸 長2a16 ﹐ 因 此 a8﹐

2 10

PF  ﹒

因為△PF F_{1 2}為直角三角形﹐所以F F_{1 2}2c 10²6² 8﹐即c4﹐ 並得b a²c² 8²4²4 3﹐故橢圓的短軸長2b 2 4 38 3﹒

第 4 章 二次曲線

4. 求滿足下列各條件的橢圓方程式﹕

(1)焦點  ^{3 , 0}  ^﹐  ^{ 3 , 0}  ^{﹐短軸長為 8 ﹒}

(2)中心在原點﹐一頂點  ^{0 ,  5}  ^﹐一焦點  ^{4 , 0}  ^﹒

(1)由焦點



^{3 , 0}



^﹐



^{3 , 0}



^可知﹕

長軸在x軸上﹐c3﹒

因為短軸的長為8﹐所以b4﹐並可得a b²c² 5﹒ 故由橢圓的標準式可知其方程式為

2 2

25 16 1 x y  ﹒ (2)由中心在原點﹐一頂點



^{0 ,5}



^﹐一焦點



^{4 , 0}



^﹐

可知長軸在x軸上﹐b5﹐c4﹐並可得a b²c²  41﹒ 故由橢圓的標準式可知其方程式為

2 2

41 25 1 x y  ﹒

5. 求下列各橢圓的中心﹑焦點與正焦弦長﹕

(1)  ¹  

²

¹ 

²

16 25 1 x  y 

  ﹒ (2) 4 x

²

 y

²

 2 x  0 ﹒

(1)由橢圓方程式

  

²



²

2 2

1 1

4 5 1

x y

  可知﹕

中心為



^{1 , 1}



﹐長軸長之半為a5﹐短軸長之半為b4﹐ 且兩焦點距離之半為c 5²4² 3﹐其圖形如右圖所示﹒

由圖可知橢圓的中心為



^{1 , 1}



^{﹐兩焦點分別為}

 

^{1 , 2 ﹐}



^{1 ,4}



^﹐

正焦弦長為

2 2 32 5 b

a  ﹒ (2)將4x²y²2x0配 方 為

2

2 1 1 2 1

4 2

4 4 4

x x y

      

   

   

  ﹐ 即

2

1 2 1

4x4 y 4 ﹐ 將 上 式 兩

邊同除以1

4﹐得標準式

2 2

2 2

1

4 1

1 1

4 2

x y

  

 

   

   

   

   

﹒

由標準式可知中心為 1 4,0

 

 

 ﹐長軸長之半為 1

a2﹐短軸長之半為 1

b4﹐且兩焦點距 離之半為

2 2

1 1 3

2 4 4

c          ﹒

故橢圓的中心為 1 4,0

 

 

 ﹐兩焦點分別為 1 3 4, 4

 

 

 

 ﹐ 1 3

4, 4

 

  

 

 ，正焦弦長為 2 2 1

4 b

a  ﹒

6. 求滿足下列各條件的橢圓方程式﹕

(1)長軸的兩端點為   ^{6 , 1 ﹐}  ^{ 4 , 1}  ^{﹐一焦點為}  ^{ 2 , 1}  ^﹒

(2)長軸長為 10 ﹐且位在直線 x  5 上﹐短軸長是長軸長的 3

5 ﹐且位在直線 1

y  上﹒

(1)因為長軸的兩端點為

 

^{6 , 1 ﹐}



^{4 , 1}



^{﹐所以其中心為長}

軸的中點

 

^{1 , 1 ﹐a  6 1 5﹒又因為一焦點為}



^{2 , 1}



﹐ 所 以^{c   1}

 

^{2 3﹐ 並 求 得b a2c2 5232 4﹐}

其圖形如右圖所示﹒

由圖可得橢圓的方程式為

  

²



²

2 2

1 1

5 4 1

x y

  ﹒

(2)由題意可知﹕橢圓的中心為

 

^{5 , 1 ﹐a5﹐ 3 3}

b5a ﹐其圖形如 右圖所示﹒

由圖可得橢圓的方程式為

  

²



²

2 2

5 1

3 5 1

x y

  ﹒

7. 已知  ^{x  2}  

²

^{ y  2} 

²

^  ^{x  2}  

²

^{ y  4} 

²

^{ 10 的圖形是一個橢圓﹐關}

於此橢圓選出正確的選項﹕

(1)  ^{2 , 2}  是橢圓的一個焦點 (2)  ^{2 , 1}  ^{是橢圓的中心}

(3)長軸長為 10 (4)短軸長為 8﹒

由方程式



^x2

 

^{2 y2}



^2



^x2

 

^{2 y4}



^{2 10}

可 知 ﹕ 點



^{x y,}



^{到 點}



^{2 , 2}



^{的 距 離}



^x2

 

^{2 y2}



^{2 與 點}



^{x y,}



^{到 點}



^{2 ,}⁴



的 距 離



^x2

 

^{2 y4}



^{2 之 和 為10}﹐ 因 此 橢 圓 的 兩 焦 點 為



2 , 2



﹐



^{2 ,4}



^﹐中心為



2 , 1



﹐長軸長2a10﹐即a5﹐又

 

2c   2 4 6﹐即c3﹐並得短軸長之半b a²c²  5²3²4﹐ 即短軸長為8﹒

故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)(4)﹒

8. 關於方程式

2 2

8 4 1

x y

k  k 

  ﹐選出正確的選項﹕

(1) k  6 時﹐其圖形是一個圓 (2) k  7 時﹐其圖形是一個橢圓 (3)當其圖形為焦點在 x 軸上的橢圓時﹐ k 的範圍為 4   k 6 (4)當其圖形為焦點在 y 軸上的橢圓時﹐ k 的範圍為 6   k 8 ﹒

關於方程式

2 2

8 4 1

x y

kk 

  ﹐

(1)當k6時﹐方程式為

2 2

2 2 1

x y  ﹐即x²y²2﹐其圖形是一個圓﹒

(2)當k7時﹐方程式為

2 2

1 3 1

x y  ﹐其圖形是一個橢圓﹒

(3)當

2 2

8 4 1

x y

kk 

  的圖形為焦點在x軸上的橢圓時﹐可得a² 8 k﹐b² k 4﹒ 因為a²b²0﹐所以8   k k 4 0﹐解得4 k 6﹒

(4)當 ^{2 2} 1

8 4

x y

kk 

  的圖形為焦點在y軸上的橢圓時﹐可得a² k 4﹐b² 8 k﹒ 因為a²b²0﹐所以k   4 8 k 0﹐解得6 k 8﹒

故由上面的討論可知﹕正確的選項為 (1)(2)(3)(4)﹒

9. 求中心為原點﹐軸為坐標軸﹐且通過  ^{2 , 4}  ^﹐  ^{3 2 , 3}  ^{兩點的橢圓方程式﹒}

因為橢圓的中心為原點﹐軸為坐標軸﹐所以可設橢圓的方程式為

2 2

2 2 1

x y

a b  ﹒

將點



^{2 , 4}



^﹐



^{3 2 , 3}



^代入 x²2 y²2 1 a b  ﹐得

2 2

2 2

4 16 1 18 9

1

a b

a b

  



  



﹐

由二式解得a²36﹐b²18﹐故橢圓的方程式為

2 2

36 18 1 x  y  ﹒

10. 設點 ^A  ^{ 1 , 0}  ^{﹐圓 C :}  ^{x  1}  

²

^{ y  2} 

²

^{ 16 ﹒}

(1)在坐標平面上畫出點 A 與圓 C ﹒

(2)求所有通過點 A 且與圓 C 相切之圓的圓心﹐所形成之圖形的方程式﹒

(1)作圖如下﹐並得點A在圓C內部﹒

(2)設與圓C相切之圓的圓心為^{P x y}



^,



^{﹐半徑為r﹐圓C的圓心為}

M ﹒

由右圖可知﹕AP等於r﹐且APPM r PM 4﹒

因此﹐所有的P點形成以A﹐M 為焦點﹐長軸長為4﹐兩焦 點間距離為2的橢圓﹒

因為A﹐M 為焦點﹐所以橢圓的中心為



^{ 1 , 1}



^{﹐且c1﹐}

又因為長軸長為4﹐所以2a4﹐解得a2﹐並得b a²c²  3﹒ 故所有圓心所形成的橢圓方程式為



¹

 

^{2 1}



²

3 4 1

x y

  ﹒

11. 設橢圓

2 2

: 1

81 72 x y

   的兩焦點為 F

₁

與 F

₂

﹒若點 P 為  上一點﹐且滿足 PF

₁

的中點在 y 軸上﹐求 PF

₁

的長﹒

由方程式

2 2

81 72 1

x  y  可知﹕a9﹐b²72﹐c a²b²  93﹒

因 為PF₁的 中 點Q在 y軸 上 ﹐ 且 原 點O為F F_{1 2}的 中 點 ﹐ 所 以

2 1 2

PF F F ﹐即PF₂的長為正焦弦長的一半﹒

因為正焦弦的長為

2 2 144 9 16 b

a   ﹐即PF₂長為8﹐又PF₁PF₂等 於長軸長18﹐所以PF₁的長度為10﹒

12. 右圖是一個橢圓﹐焦點 F

₁

與頂點 A 的距離為 3 單位 長﹒現在有一道雷射光由 F

₁

出發﹐行經 10 單位長之後 碰到橢圓上的 P 點反射﹐再經過 F

₂

碰到橢圓上的 Q 點 反射回 F

₁

點﹒若  F PQ

₁

  60 ﹐則 △ F PQ

₁

的周長為何﹖

假設PF₂x﹐則ABPF₁PF₂10x﹒

因為AF₁BF₂ 3 AB2aPF₁PF₂﹐所以F F_{1 2} 4 x﹒

觀察△PF F_{1 2}﹐由餘弦定理可知﹕



^4x



^{2x2102   2 x 10 cos 60﹐}

整理得18x84﹐ 解得 14

x 3 ﹐即長軸長為44 3 ﹒

因為△F PQ₁ 的周長為長軸長的2倍﹐所以△F PQ₁ 的周長為88

3 （單位長）﹒

4-3 雙曲線

1. 在坐標平面上﹐以  ^{ 2 , 1}  ^﹐  ^{4 , 1}  ^{為焦點﹐通過點}

 ^{4 , 3}  ^{畫一個雙曲線 } ﹐問雙曲線也會通過下列哪

些點﹖

(1)   ^{1 , 1 (2)}  ^{4 , 1 }  ⁽³⁾  ^{ 2 , 3} 

(4)  ^{  2 , 1}  ⁽⁵⁾   ^{1 , 3 ﹒}

由雙曲線的焦點為



^{2 , 1}



^﹐

 

^{4 , 1 ﹐且通過點}



^{4 , 3}



^{﹐可以畫 出}

雙曲線大致的圖形﹐如右圖所示﹒

由雙曲線的對稱關係可知﹕



^{4 , 1}



^﹐



^{2 , 3}



^與



^{ 2 , 1}



^均在雙曲

線上﹐而中心

 

^{1 , 1 ﹐點}

 

^{1 , 3} 均不在雙曲線上﹐故正確的選項為 (2)(3)(4)﹒

2. 一船隻在海面上沿著一支雙曲線的航線航行﹐此雙曲線 以兩個燈塔 A ﹐ B 為其焦點﹐如右圖所示﹒

已知此船隻在海面上 C 點時﹐船隻和 A 燈塔的距離為 50 公里﹐和 B 燈塔的距離為 20 公里﹐而在海面上 D 點時，

此船隻和 A 燈塔的距離與和 B 燈塔之距離的和是 100 公 里﹐求 D 點和 A 燈塔的距離是多少公里﹒

因為船隻在雙曲線上﹐所以雙曲線的貫軸長為ACBC502030﹐ 且ADBDACBC30﹒

又由題意可知ADBD100﹐因此由兩式解得 AD65﹒ 故D點和A燈塔的距離是65公里﹒

第 4 章 二次曲線

3. 求下列各雙曲線的中心﹑焦點與漸近線方程式﹕

(1)

2 2

9 4 1

y  x  ﹒ (2) 9 x

²

 y

²

 36 x  4 y   4 0 ﹒

(1)雙曲線

2 2

2 2 1

3 2

y x  的中心為



^{0 , 0}



^{﹐貫軸長之半a3﹐共軛軸長}

之半b2﹐且兩焦點距離之半c 3²2²  13﹒

因為雙曲線為上下開口﹐所以焦點為



^{0 , 13}



^與



^{0 , 13}



^﹐

又兩漸近線的方程式為 3

y 2x﹐即為3x2y0與3x2y0﹒ (2)將9x²y²36x4y 4 0配方得⁹



^x2

 

^{2 y2}



^236﹐

即



²

 

^{2 2}



²

4 36 1

x y

  ﹒

由方程式可得雙曲線的中心為



^{2 ,2}



^{﹐貫軸長之半a2﹐共軛軸}

長之半b6﹐且兩焦點距離之半c 4 36 2 10﹒

因為雙曲線為左右開口﹐所以焦點為



^{22 10, 2}



^與



^{22 10, 2}



^﹐

又兩漸近線的方程式為 ⁶



²



²

y 2 x  ﹐即為3x y 8與3x y 4﹒

4. 求滿足下列各條件的雙曲線方程式﹕

(1)頂點  ^{3 , 0}  ^﹐  ^{ 3 , 0}  ^{﹐有一焦點}  ^{5 , 0}  ^﹒

(2)漸近線方程式為 x  2 y  0 ﹐ x  2 y  0 ﹐且通過點  ^{4 , 1}  ^﹒

(1)由頂點



^{3 , 0}



^﹐



^{3 , 0}



^可知﹕

雙曲線的中心為



^{0 , 0}



^﹐a3﹐雙曲線為左右開口﹒

又由焦點



^{5 , 0}



^{﹐可得c5﹐並推得b 52324﹒}

因為雙曲線為左右開口﹐所以由雙曲線的標準式

2 2

2 2 1

x y

a b  ﹐ 可知其方程式為

2 2

9 16 1 x y  ﹒

(2)先畫出漸近線x2y0﹐x2y0與點

 

^{4 , 1 ﹐如下圖所示﹕}

因為漸近線方程式為 1

y2x與 1

y 2x﹐中心為



0 , 0



﹐所以由圖可知﹐其圖形為左右

開口﹐並可設其標準式為

2 2

2 2 1

x y

a b  ﹒ 因為漸近線的方程式 1

2 y x bx

 a ﹐所以可設a﹐b的值分別為2k與k﹐其中k是一個 正數﹐即其方程式為

2 2

2 2 1

4

x y

k k  ﹐

將

 

^{4 , 1 代入方程式解得k23﹐故其方程式為 2 2 1}

12 3 x y  ﹒

5. 求滿足下列各條件的雙曲線方程式﹕

(1)兩焦點為 F

1

 4 , 1  ﹐ F

2

  8 , 1  ﹐貫軸長為 6﹒

(2)兩焦點為 F

1

  2 , 6  ﹐ F

2

   2 , 4  ﹐一漸近線的斜率為 3 4 ﹒

(1)由兩焦點為F1

 

4 , 1 ﹐F2



8 , 1



﹐可得雙曲線為左右開口﹐中心為



^{2 , 1}



^﹐c6﹒

再由貫軸長為6﹐可得a3﹐並得b²c²a²6²3²27﹒ 由左右開口之雙曲線的標準式

  

²



²

2 2 1

x h y k

a b

 

  ﹐

可得雙曲線的方程式為



²

 

^{2 1}



²

9 27 1

x y

  ﹒

(2)由兩焦點為F1



2 , 6



﹐F2



 2 , 4



﹐可得雙曲線為上下開口﹐中心為



^{2 , 1}



﹐c5﹒ 再由一漸近線的斜率為3

4﹐可得 3

4 a

b ﹐即 3

a4b﹐且a²b²c²﹐即a²b²25﹒ 將 3

a4b代入a²b²25﹐解得a3﹐b4﹒ 由上下開口之雙曲線的標準式

  

²



²

2 2 1

y k x h

a b

 

  ﹐

可得雙曲線的方程式為



¹

 

^{2 2}



²

9 16 1

y x

  ﹒

6. 已知雙曲線  的兩焦點與橢圓

2 2

25 5 1

x  y  的兩焦點相同﹐且其貫軸長為

6 ﹐求  的方程式﹒

由橢圓方程式

2 2

25 5 1

x y  可知﹕中心為



^{0 , 0}



^{﹐c 25 5  20﹒}

因為雙曲線的兩焦點與橢圓

2 2

25 5 1

x y  的兩焦點相同﹐所以可知雙曲線的中心為



^{0 , 0}



^﹐

20

c ﹐又因為貫軸長為6﹐所以a3﹐並可推得b c²a²  11﹒ 由雙曲線的標準式

2 2

2 2 1

x y

a b  ﹐可得

2 2

9 11 1 x y  ﹒

7. 當一個雙曲線的貫軸與共軛軸等長時﹐我們稱此雙曲線為等軸雙曲線﹒

已知一等軸雙曲線的兩頂點分別為  ^{2 , 1}  ^﹐  ^{2 , 5}  ﹐求此雙曲線的方程式﹒

由雙曲線的兩頂點分別為

 

^{2 , 1 與}



^{2 , 5}



^{﹐可知其中心為}



^{2 , 3}



^﹐a2﹐且雙曲線為上下開口﹒

因為等軸雙曲線的兩軸等長﹐即b a 2﹐所以雙曲線的方程式為



³

 

^{2 2}



²

4 4 1

y x

  ﹒

8. 設方程式

2 2

2 3 1

x y

k  k 

  的圖形是一個貫軸在 y 軸上的雙曲線﹐求實數 k 的範圍﹒

因為方程式

2 2

2 3 1

x y

kk 

  的圖形為一個貫軸在y軸上的雙曲線﹐所以2 k 0﹐k 3 0﹐ 即2k且k3﹐故實數k的範圍為k3﹒

9. 已知 P 為雙曲線 16 y

²

 9 x

²

 144 上一點﹐且 P 點到雙曲線兩焦點 F

₁

﹐ F

₂

的 距離比為 1: 3 ﹐求 △ PF F

_{1 2}

的周長﹒ [92 學測 ]

將方程式16y²9x²144改寫成

2 2

9 16 1

y x  ﹐可得a3﹐b4﹐即雙曲線的貫軸長2a6﹐ 並由雙曲線的定義得 PF₂PF₁ 6﹐又F F_{1 2}的長為2c2 a²b² 2 9 16 10﹒

因 為PF PF₁: ₂1: 3﹐ 所 以 PF₂PF₁6﹐ 並 解 得PF₁3﹐ PF₂9﹐ 故△PF F_{1 2}的 周 長 為 3 9 10  22﹒

10. 求以橢圓

2 2

: 1

16 25 x y

   的焦點為頂點﹐且以  之長軸頂點為焦點的雙曲

線方程式﹒

因為

2 2

: 1

16 25

x y

   的中心為



^{0 , 0}



^{﹐a5﹐b4﹐並由a2b2c2得c3﹐所以 的焦點}

為



^{0 , 3}



^﹐



^{0 ,3}



^{﹐長軸兩頂點為}



^{0 , 5}



^﹐



^{0 ,5}



^﹒

因此雙曲線的焦點為



^{0 , 5}



^﹐



^{0 ,5}



^{﹐兩頂點為}



^{0 , 3}



^﹐



^{0 ,3}



^{﹐開口上下﹐即a'3﹐c'5﹐}

並由c'²a'²b'²解得b'4﹐故雙曲線的方程式為

2 2

9 16 1 y x  ﹒

11. 已知到   ^{1 , 0 的距離等於到直線 x  4 之距離的 2 倍之所有點所形成的圖}

形是一個雙曲線﹐求此雙曲線之中心的坐標﹒

設動點P的坐標為



^{x y,}



^{﹒由題意可知﹕}



^x1

 

^{2 y0}



^{2 2x4 ﹐}

將上式兩邊平方﹐得x²2x 1 y²4x²32x64﹐ 整理得



⁵



^{2 2}

4 12 1

x y

  ﹐故此雙曲線的中心為



^{5 , 0}



^﹒

12. 關於雙曲線  ^{2 x   y 5 2}  ^{x   y 7}  ^{ 16 ﹐選出正確的選項﹕}

(1)中心為   ^{3 , 1} (2)貫軸所在的直線為 x  3

(3)共軛軸所在的直線為 y  1 (4)直線 2 x   y 5 為雙曲線的一條漸近線

(5)雙曲線上任一點到兩漸近線的距離乘積為 4

5 ﹒

將



^{2x y 5 2}



^{x y 7}



^{16整理得}



³

 

^{2 1}



²

4 16 1

x y

  ﹐

(1)可得中心為

 

^{3 , 1 ﹐a2﹐b4﹒}

(2)貫軸所在的直線為y1﹒

(3)共軛軸所在的直線為x3﹒

(4)兩漸近線分別為 ^{1 4}



³



y 2 x 與 ^{1 4}



³



y  2 x ﹐整理得2x y 5與2x y 7﹒

(5)雙曲線上任一點



x0,y0



到兩漸近線的距離乘積為

 

0 0 0 0

2 2 2 2

2 5 2 7 16

2 1 2 1 5

x y  x y 

    ﹒

由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(4)﹒