三角公式与初等代数

§2 解析几何中的基本计算

图 形 计 算 公 式 [两点间的距离]

平面上 d  (x₂ x₁)² (y₂  y₁)²

空间中 d  (x₂ x₁)² (y₂ y₁)² (z₂ z₁)²

[分线段为定比的分点坐 标]

(a)

(b)

M(x, y, z)为 A1A2 的分 点，分割比例

2 1

MA M

 A



平面上 _



 





























 



 

1 1

1

2 1

2 1









 y y y

x x x

空间中 _



 



































 



 



 

1 1

1 1

2 1

2 1

2 1













z z z

y y y

x x x

λ >0称为内分，0称为外分.λ =1时，M为A1A2的中点：

2

2

1 x

x x 

 ，

2

2

1 y

y y 

 ，

2

2

1 z

z z 



图 形 计 算 公 式 [平面上三角形的面积]

A1, A2, A3构成逆时针回 路

S△=

1 1 1 2

1

3 3

2 2

1 1

y x

y x

y x

当S△=0时，A1, A₂, A₃三点共线

[平面上多角形的面积]

A1, A2,…,An构成逆时针回 路

S= _







   

1 3 1

3 2 2 2 2

1 1

2 1

y x

y x y

x y x y x

y

x _{n n}



当S =0时，A1, A₂,…,An n个点共线

[空间中四面体的体积]

这里MA₁,MA₂,MA₃构 成右手系

V=

1 1 1 1 6

1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

z y x

z y x

z y x

z y x

=

3 3

3

2 2

2

1 1

1

6 1

z z y y x x

z z y y x x

z z y y x x



















当V =0时，M, A1, A₂, A₃四个点共面

[二面角的角度]

2 0 0

1 0 0

2 0 0

1 0

0 ) ( )

cos (

A M M M A M M M

A M M M A M M M











 



当M0为原点，M₀A₁为x轴的正向，M₀A₂为y轴的正向时，

则

) )(

(

cos 2 2 2 2

x z z y

xy



 

 

M₀, M₁, A₁, A₂为空间中 不共面的四点，为二面角 A₁-M0M₁-A2 (0180)

当M₀为原点时，M₀A₁为x轴的正向时，则











  







 

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

) (

) (

) cos (

y x

y x x

z x z z

y z z y

y

zz yy x x z

 y

图 形 计 算 公 式 [质点系的重心坐标]

空间中各质点的质量为 mi，坐标为(xi, yi, zi) i=1, 2, …, n

重心G的坐标(x,y,z)为





















    



i i i

i i i

i i i

m z z m

m y y m

m x x m

式中∑ 表示对i从1到n求和