第2章三角函數- 2-1 弧度、弧長

第2章 三角函數

2-1 弧度、弧長

主題一 弧度

1. 若用 弧長

半徑 來衡量角度的大小，這就是弧度的概念，這種以弧度為單位來測量角的大小 的度量方式，稱為弧度制。

2. 弧度：

(1) 若一圓的半徑為 r，則弧長 s 所對應的圓心角 θ 為 θ＝s

r 弧度。

(2) 弧度與度的關係：2π 弧度＝360° 或 π 弧度＝180°

3. 度與弧度的換算：

(1) 1 弧度＝180



 ≈ 57.3°

(2) 1°＝

180

 弧度。

例題1 度與弧度的換算

(1) 將 135° 化為弧度。 (2) 將 7

6

 弧度化為度。

注意 利用 π 弧度＝180° 進行換算。

解 (1) 由 135 180



＝ x

 ^{，得 x＝}

3 4

 ，故 135°＝3 4



(2) 由 7

6



 ^＝180 y

，得 y＝210°，故 7 6

 ＝210°

類題

(1) 將－150° 化為弧度。 (2) 將 2 弧度化為度。

解 (1) 由 150 180

 

 ＝ x

 ^{，得 x＝－}

5 6

 ，故－150°＝－5 6



(2) 由 2

 ^＝180 y

，得 y＝360



 ≈ 57.3°×2＝114.6°

主題二 弧長與扇形面積 1. 扇形的弧長與面積公式：

若圓半徑為 r，扇形 COD 的圓心角 ∠COD＝θ（弧度），0 ≤ θ ≤ 2π，

如下圖所示，令扇形的弧長為 s，面積為 A，則：

(1) s＝rθ。

(2) A＝1

2 r²θ＝1

2 rs。

2. 特別注意，在使用這兩個公式時，θ 都要先化為弧度。

例題2 求扇形的弧長與面積

由一圓弧與一弦所圍成的區域稱為弓形。已知一圓的半徑為 4，其上一圓弧 ^AB 所對的圓 心角為 60°，試求：

(1) 扇形的弧長及面積。

(2) 弓形的周長及面積。

解 (1) 因 60° ＝ 3



故弧長為 s＝rθ＝4×

3

 ＝4 3



而扇形面積 A＝1

2 r²θ＝1 2×4²×

3

 ＝8 3



(2) 因 OA＝OB 且∠AOB＝60° ⇒ △OAB 為正三角形 ⇒ AB＝4 又弧長 s＝4

3



故弓形的周長＝4＋4 3



△OAB 面積＝ 3

4 ×4²＝4 3

故弓形面積＝扇形面積－△OAB 面積＝8 3

 －4 3 類題

已知一扇形的半徑為 6 公分，圓心角為 3

 弧度，試求此扇形的弧長與面積。

解 依題意可知，r＝6，θ＝

3

 ，則

(1) 弧長 s＝rθ＝6×

3

 ＝2π（公分）

(2) 面積 A＝1

2 r²θ＝1 2×6²×

3

 ＝6π（平方公分）

例題3 弧長與扇形面積公式的應用（一）

一圓的半徑為 6，在圓上切出一塊扇形，已知扇形的周長為圓周長的一半，則此扇形的圓心 角與面積各是多少？

注意 (1) 扇形周長＝兩半徑和＋弧長＝2r＋rθ。

(2) 圓周長為 2πr。

解 設圓心角為 θ 弧度

依題意，扇形周長＝兩半徑和＋弧長＝2r＋rθ＝6（θ＋2）

圓周長為 2πr＝12π ⇒ 6（θ＋2）＝12π×1

2 ⇒ θ＋2＝π ⇒ θ＝π－2 由 A＝1

2 r²θ ⇒ A＝1

2×6²×（π－2）＝18（π－2）

故扇形圓心角為 π－2 弧度，且面積為 18（π－2） 平方單位 類題

一圓的半徑為 6，在圓上切出一塊扇形，已知扇形的周長為 24，則此扇形的圓心角與面積各 是多少？

解 設圓心角為 θ 弧度

依題意，扇形周長＝兩半徑和＋弧長＝2r＋rθ＝12＋6θ

⇒ 12＋6θ＝24 ⇒ θ＝2 由 A＝1

2 r²θ ⇒ A＝1

2×6²×2＝36

故扇形圓心角為 2 弧度，且面積為 36 平方單位 例題4 弧長與扇形面積公式的應用（二）

邊長為 1 的正方形 ABCD，以頂點 B，C 為圓心，邊長 1 為半徑作圓弧，

如下圖所示，試求：

(1) 陰影部分的周長。

(2) 陰影部分的面積。

注意 連 BE，CE，則△BCE 為正三角形。

解 連 BE，CE，得 BE＝BC＝1（以 B 為圓心，1 為半徑作圓弧）

CE＝BC＝1（以 C 為圓心，1 為半徑作圓弧）⇒ △BCE 為正三角形 為便於區分，在 BE^，CE^ 上各任取一點 F 與 G

(1) 周長＝BFE^＋CGE^＋BC

＝1×3

 ＋1×

3

 ＋1＝2 3

 ＋1

(2) 面積＝扇形 EBC＋扇形 ECB－△BCE

＝1 2×1²×

3

 ＋1 2×1²×

3

 － 3 4 ×1²＝

3

 － 3 4 類題

正三角形 ABC 之邊長為 1，分別以 A、B、C 為圓心作圓弧 BC^、CA^、^AB， 試求三個弓形及正三角形 ABC 之面積總和。

解 為便於區分，在 BC^、^AC、^AB 上各取一點分別是 D、E、F，如下圖所示 面積＝扇形 ABDC＋扇形 BCEA＋扇形 CAFB－2△ABC

＝1 2×1²×

3

 ＋1 2×1²×

3

 ＋1 2×1²×

3

 －2× 3

4 ×1² ＝ 2

 － 3 2

重要性：★★★☆☆

2-1 段考實力演練

一、基礎題

1. 有一扇形，其半徑為 3，弧長為 4，試求扇形的圓心角。

解 利用 θ＝s

r 得 θ＝4

3（弧度）

2. 將下表中各個空格填入適當的值。

角度 30° 60° 120° 150° 210° 270° 315°

弧度 4



2

 3

4

 π 4

3

 5

3

 2π

解

角度 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

弧度 6



4



3



2

 2

3

 3

4

 5

6



角度 180° 210° 240° 270° 300° 315° 360°

弧度 π 7 6

 4

3

 3

2

 5

3

 7

4

 2π

3. 已知一扇形的半徑為 2，圓心角為 45°，試求：

(1) 扇形的弧長。

(2) 扇形的面積。

(3) 扇形的周長。

解 45°＝ 4



(1) 扇形的弧長為 s＝rθ＝2×

4

 ＝ 2



(2) 扇形的面積為 A＝1

2 r²θ＝1 2×2²×

4

 ＝ 2



(3) 扇形的周長為 2r＋rθ＝4＋

2



4. 有一扇形的弧長與面積相等，試求扇形所在圓的半徑。

解 設扇形所在圓的半徑為 r，圓心角為 θ 依題意，rθ＝1

2 r²θ ⇒ 1＝1

2 r ⇒ r＝2 故扇形所在圓的半徑為 2 二、進階題

5. 如右圖所示，有兩個單位圓（半徑 r＝1），且每一圓皆通過另一圓之圓

心，試求陰影部分面積。

解 連 O A₁ ，O B₁ ，O A₂ ，O B₂ ，O O_{1 2}

陰影部分面積＝扇形 O1AB＋扇形 O2 AB－△AO1O2－△BO1O2

△AO1O2 中，O O_{1 2}＝O A₁ ＝O A₂ ＝1 ⇒ △AO1O2 為正三角形 同理，△BO1O2 為正三角形 ⇒ ∠AO1B＝∠AO2 B＝2

3



⇒ 扇形 O1AB＝扇形 O2 AB＝1

2×1²×2 3

 ＝ 3



△AO1O2＝△BO1O2＝ 3

4 ×1²＝ 3 4 故陰影部分面積＝

3

 ×2－ 3 4 ×2

＝2 3

 － 3 2 三、歷屆試題

6. 有一輪子，半徑 50 公分，讓它在地上滾動 200 公分長度，問輪子繞軸轉動多少度？

（度以下四捨五入） 88.學測

（提示：滾動的長度就是弧長）

7. 如右圖所示，每個小方格的邊長為 1，圓 O 的圓心為 O，半徑為 1

2 AO；AC 與 BD 均為圓 O 的切線，切點分別為 C 點與 D 點。

(1) 試求 ∠COD。

(2) 求線段 AC，圓弧 CD^ 及線段 DB 的長度之和。 88.社會組

（提示：考慮△AOC 與△BOD）

8. 兩條公路 k 及 m，如果筆直延伸將交會 C 處成 60° 夾角，如圖所示。

為銜接此兩公路，規劃在兩公路各距 C 處 450 公尺的 A、B 兩點間開 拓成圓弧型公路，使 k、m 分別在 A、B 與此圓弧相切，則此圓弧長為 多少公尺？（公尺以下四捨五入）

（ 3 ≈ 1.732，π ≈ 3.14）

（提示：先求出圓弧所在圓的半徑，再利用弧長公式求解） 90.學測 簡 答

一、基礎題 1.4

3 弧度 2.略 3.(1) 2

 ；(2) 2

 ；(3) 4＋

2

 4.2

二、進階題 5.2

3

 － 3 2 三、歷屆試題

6.229° 7.(1) 3

 弧度；(2) 4 6＋2 2 3

 _{8.544 公尺}

能力提升特訓

範例1 時針與分針的夾角

時鐘 9 點 30 分時，時針與分針之夾角為多少弧度？

注意 60 分鐘表示 360° ⇒ 鐘面每格為 6°

解 時針 60 分鐘走 5 格，5 格為 30° ⇒ 1 分鐘走 0.5°

分針 1 分鐘走 1 格，1 格為 6°

由右圖可知，夾角為 15×6°＋30×0.5°＝105°

由 π 弧度＝180°，得 x

 ^＝ 105 180



 ⇒ x＝7 12



故時針與分針之夾角為 7 12

 弧度 類題

有一時鐘其時針長 2 公分，分針長 3 公分，則時間由 2 點 35 分到 2 點 50 分，時針與 分針所走過的角度比為何？時針與分針所掃過的面積比為何？

解 如圖



(1) 時針走過的角度為 （50－35）×0.5°×

180



＝ 24



分針走過的角度為 （50－35）×6°×

180



＝ 2



角度比＝24

 ： 2

 ＝1：12

(2) 面積比＝1 2×2²×

24

 ：1 2×3²×

2

 ＝1：27 範例2 扇形弧長公式的應用

兩輪半徑分別為 1 與 2，兩輪中心的距離為 6，將一皮帶交叉緊繞此 兩輪使轉動時兩輪之轉向相反，如下圖所示，試求皮帶的長度。

注意 皮帶長度為兩段弧長與兩線段之和，即 ^AFC＋BGD^＋AD＋BC。 解 如下圖所示，AD＝O E₁ ，O E₂ ＝O D₂ ＋DE＝O D₂ ＋O A₁ ＝2＋1＝3

(1) △O1O2E 中，O O_{1 2}＝6，O E₂ ＝3 ⇒ O E₁ ＝ 6²3² ＝3 3

同理可得，BC＝AD＝O E₁ ＝3 3

(2) △O1O2E 中，∠O1O2E＝60° ⇒ ∠O1O2B＝60°

⇒ BGD^ 所對應之圓心角為 360°－2×60°＝240°，即 4 3



⇒ BGD^ 的弧長為 2×4 3

 ＝8 3



同理可得，^AFC 所對應之圓心角為 360°－2×60°＝240°，即 4 3



⇒ ^AFC 的弧長為 1×4 3

 ＝4 3



故皮帶的長度為 2×3 3＋8 3

 ＋4 3

 ＝6 3＋4π 類題

一皮帶緊繞在以 P，Q 為圓心之圓輪上，兩輪的半徑分別為 2 與 8，

PQ＝12，如右圖所示，試求皮帶的長度。

解 如右圖所示AB＝PE，QE＝QB－BE＝QB－AP＝8－2＝6 (1) △PQE 中

PE＝ PQ²QE² ＝ 12²6² ＝6 3 同理可得，CD＝AB＝6 3

(2) △PQE 中，PQ＝12，QE＝6，PE＝6 3

⇒ ∠QPE＝30°，∠PQE＝60°

⇒ 扇形 APC 所對應之圓心角為 360°－2×90°－2×30°＝120°，即 2 3



扇形 BQD 所對應之圓心角為 360°－2×60°＝240°，即 4 3



⇒ ^AFC 的弧長為 2×2 3

 ＝4 3



BGD 的弧長為 8×4 3

 ＝32 3



故皮帶的長度為 2×6 3＋4 3

 ＋32 3

 ＝12 3＋12π 範例3 扇形面積公式的應用

如右圖，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝6 ₂，以 A 為圓心，AB，

AD 為半徑畫兩弧，試求：

(1) ∠BAE。

(2) 陰影部分之面積。

注意 (1) 先求出∠BAE，則陰影部分之面積很容易求得。

(2) 利用△ABE 之邊長比例即可求得∠BAE。

解 (1) △ABE 中，∠ABE＝90°，AB＝6，AE＝AD＝6 2

⇒ BE＝

 

⇒ △ABE 為等腰直角三角形⇒ ∠BAE＝45°，即 4



(2) 如右圖所示

陰影部分面積為(1)＋(2)

＝^_¹₂^{    6 6 1}₂ ^{62 }₄^{  }_{ }^{ 1}₂^

 

類題

如右圖，半徑各為 1 與 2 的兩同心圓，試求大圓中分別與小圓相切的兩條 平行弦所圍成之陰影部分面積。

解 如圖（一）所示

△OAC 中，OA＝2，OC＝1，OC⊥AB⇒ AC＝ 3

⇒ ∠AOC＝60°，即 3



同理，△OBC 中，可得 ∠BOC＝60°，即 3

 ⇒ ∠AOB＝120°，即 2 3



圖（一）

由扇形面積公式 ⇒ 陰影部分面積為 1

2×2²×2 3

 －1

2×2×2×sin 120°＝4 3

 － 3 如圖（二）所示，陰影部分面積為

大圓面積－(1)－(2)－(3)

＝4π－π－ 4 4

3 3

3 3

 

     

   

   ＝

3

 ＋2 3

圖（二）

範例4 直圓錐的展開

有一直圓錐如下圖所示，AB＝12，_BC＝6，AD＝4，若 C 處有一隻螞蟻，

試求：

(1) 沿表面爬行繞直圓錐一圈又回到 C 的最短路線長。

(2) 沿表面爬行繞直圓錐一圈到 D 的最短路線長。

注意 將直圓錐剪開攤平成為扇形，最短路徑為兩點間的直線距離。

解 沿 AC 之側稜剪開攤平成為扇形，如圖（一）所示

⇒ 弧長 CBC^ 為原直圓錐底圓的周長 長為 6π 由 θ＝s

r 得 θ＝6 12

 ＝ 2



圖（一） 圖（二） 圖（三）

(1) 繞一圈又回到 C 的最短路線，如圖（二）所示

最短路線長為 CC＝ 12²12² ＝12 2

(2) 繞一圈到 D 的最短路線，如圖（三）所示

最短路線長為 C D ＝ 12²4²＝ 160＝4 10 類題

有一直圓錐如右圖所示，底圓直徑 BC＝8，AB＝24，AD＝12，試求：

(1) 若 C 處有一螞蟻沿表面爬行繞錐面一圈到 D，求最短路線長。

(2) 直圓錐的表面積。（含底圓及側表面積）

解 (1) 沿 AC 之側稜剪開攤平成為扇形，如圖（一）所示

⇒ 弧長 CBC^ 為原直圓錐底圓的周長 ⇒ 弧長＝8π 圖（一）

θ＝s

r，得 θ＝8 24

 ＝ 3



由 C 沿表面爬行繞錐面一圈到 D 的最短路線，如圖（二）所示 在△AC′D 中，AC＝24，AD＝12，∠C′AD＝

3



利用餘弦定理得 C D ²＝24²＋12²－2×24×12×cos 3

 ＝432 圖（二）

⇒ C D ＝12 3，故最短路線長為 12 3

(2) 直圓錐的表面積＝直圓錐的側表面積＋底圓面積

＝扇形 ACC′ 的面積＋底圓面積＝1 2×24²×

3

 ＋π×4²＝96π＋16π＝112π

歷屆試題

包裝七根半徑皆為 1 的圓柱，其截面如下圖所示，試求：

(1) 外圍粗黑線條的長度。

(2) 圍成之面積。 90.社會組

提示 利用弧長公式。

解 (1) 將外邊六個圓之圓心與外圍粗線段的切點連起來，如圖（一）所示

⇒ ① 得六段長度為 2（連心線之距離）及六個小圓弧

② 各圓心連接成一邊長為 2 的正六邊形（每一內角為 120°）

⇒ 每一個小圓弧所對應之角度為 360°－2×90°－120°＝60°

⇒ 此六個小圓弧恰可拼成一個半徑為 1 的圓⇒ 弧長為 2π 故外圍粗黑線條長為 6×2＋1×2π＝12＋2π

圖（一）

(2) 如圖（二）所示，面積包含一個正六邊形，六個矩形，與六個扇形

① 邊長為 2 的正六邊形面積＝6 個邊長為 2 的正三角形和＝6× 3

4 ×2²＝6 3

② 六個矩形面積為 6×1×2＝12

③ 六個扇形面積＝一個半徑為 1 的圓面積＝π 故圍成之面積為 6 3＋12＋π

圖（二）