2-2 三角函數的應用

2-2 三角函數的應用

主題一 正、餘弦函數的疊合 1. 和角與差角公式：

sin（α＋β）＝sin α cos β＋cos α sin β。

sin（α－β）＝sin α cos β－cos α sin β。

cos（α＋β）＝cos α cos β－sin α sin β。

cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β。

2. y＝sin x＋cos x＝ 2 sin x 4

  

 

 

(1) 代數觀點：正、餘弦函數疊合後，週期仍為 2π，但振幅變為 2。

(2) 幾何觀點：正、餘弦函數疊合的圖形可由 y＝sin x 的圖形先向左平移

4

 單位，再

將振幅放大 2倍而得，y＝sin x、y＝cos x 與 y＝sin x＋cos x 三個圖形的關係如下：

(3) 物理觀點：y＝sin x 與 y＝cos x 這兩個週期相同的波互相疊合後，仍會形成一個相同

週期的波，強度會增大，此即物理學上的“共振＂現象。

3. 正、餘弦疊合成正弦函數：

設 a，b 是不全為 0 的實數，則 a sin x＋b cos x＝r sin（x＋θ），

其中 r＝ a²b² ，0 ≤ θ＜2π 且滿足 sin θ＝

2 2

b

a b ，cos θ＝

2 2

a

a b 。 4. 正、餘弦疊合成餘弦函數：

設 a，b 是不全為 0 的實數，則 a sin x＋b cos x＝r cos（x＋），

其中 r＝ a²b² ，0 ≤ ＜2π 且滿足 sin＝－

2 2

a

a b ，cos＝

2 2

b

a b 。 例題1 正、餘弦函數的疊合（y＝r sin（x＋θ）形式）

(1) 將 y＝sin x－cos x 表示成 y＝r sin（x＋θ）的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ θ＜2π。

(2) 將 y＝sin x－ 3 cos x 表示成 y＝r sin（x＋θ） 的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ θ＜2π。

解 (1) 依題意並利用和角公式得

sin x－cos x＝r sin（x＋θ）＝r（sin x cos θ＋cos x sin θ）

＝（r cos θ）sin x＋（r sin θ）cos x 比較等式兩邊有 cos 1

sin 1

r r





 

  







①

②

①²＋②² 可得 r²＝r² cos² θ＋r² sin² θ＝1²＋（－1）²＝2 故 r＝ 2，代回①與②得 cos θ＝ 1

2 且 sin θ＝ 1 2

 ∴θ 為第四象限角7 4



因此 y＝sin x－cos x＝ 2sin 7 x 4

  

 

 

(2) 依題意並利用和角公式得

sin x－ 3 cos x＝r sin（x＋θ）＝r（sin x cos θ＋cos x sin θ）

＝（r cos θ）sin x＋（r sin θ）cos x 比較等式兩邊有 cos 1

sin 3

r r





 

  







①

②

①²＋②² 可得 r²＝r² cos² θ＋r² sin² θ＝1²＋（－ 3）²＝4 故 r＝2，代回①與②得 cos θ＝1

2且 sin θ＝ 3 2

 ∴θ 為第四象限角5 3



因此 y＝sin x－ 3 cos x＝2 sin 5 x 3

  

 

 

類題

(1) 將 y＝－sin x＋cos x 表示成 y＝r sin（x＋θ） 的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ θ＜2π。

(2) 將 y＝－sin x＋ 3 cos x 表示成 y＝r sin（x＋θ） 的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ θ＜2π。

解 (1) 依題意並利用和角公式得

－sin x＋cos x＝r sin（x＋θ）＝r（sin x cos θ＋cos x sin θ）

＝（r cos θ）sin x＋（r sin θ）cos x 比較等式兩邊有 cos 1

sin 1 r

r





  

 







①

②

①²＋②² 可得 r²＝r² cos² θ＋r² sin² θ＝（－1）²＋1²＝2 故 r＝ 2，代回①與②得 cos θ＝ 1

2

 且 sin θ＝ 1

2 ∴θ 為第二象限角3 4



因此 y＝－sin x＋cos x＝ 2sin 3 x 4

  

 

 

(2) 依題意並利用和角公式得

－sin x＋ 3 cos x＝r sin（x＋θ）＝r（sin x cos θ＋cos x sin θ）

＝（r cos θ）sin x＋（r sin θ）cos x 比較等式兩邊有 cos 1

sin 3

r r





  

 







①

②

①²＋②² 可得 r²＝r² cos² θ＋r² sin² θ＝（－1）²＋（ 3）²＝4 故 r＝2，代回①與②得 cos θ＝ 1

2

 且 sin θ＝ 3

2 ∴θ 為第二象限角2 3



因此 y＝－sin x＋ 3 cos x＝2 sin 2 x 3

  

 

 

例題2 正、餘弦函數的疊合（y＝r cos（x＋）形式）

(1) 將 y＝sin x－cos x 表示成 y＝r cos（x＋）的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ ＜2π。

(2) 將 y＝sin x－ 3 cos x 表示成 y＝r cos（x＋）的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ ＜2π。

解 (1) 依題意並利用和角公式得

sin x－cos x＝r cos（x＋）＝r（cos x cos－sin x sin）

＝（－r sin）sin x＋（r cos）cos x 比較等式兩邊有 sin 1

cos 1

r r





 

  







①

②

①²＋②² 可得 r²＝（－r sin）²＋（r cos）²＝1²＋（－1）²＝2 故 r＝ 2，代回①與②得 sin＝ 1

2

 且 cos＝ 1 2

 ∴為第三象限角5 4



因此 y＝sin x－cos x＝ 2cos 5 x 4

  

 

 

(2) 依題意並利用和角公式得

sin x－ 3 cos x＝r cos（x＋）＝r（cos x cos－sin x sin）

＝（－r sin）sin x＋（r cos）cos x 比較等式兩邊有 sin 1

cos 3

r r





 



  





①

②

①²＋②² 可得 r²＝（－r sin）²＋（r cos）²＝1²＋（－ 3）²＝4 故 r＝2，代回①與②得 sin＝ 1

2

 且 cos＝ 3 2

 ∴為第三象限角7 6



因此 y＝sin x－ 3 cos x＝2 cos 7 x 6

  

 

 

類題

(1) 將 y＝－sin x＋cos x 表示成 y＝r cos（x＋）的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ ＜2π。

(2) 將 y＝－sin x＋ 3 cos x 表示成 y＝r cos（x＋）的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ ＜2π。

解 (1) 依題意並利用和角公式得

－sin x＋cos x＝r cos（x＋）＝r（cos x cos－sin x sin）

＝（－r sin）sin x＋（r cos）cos x 比較等式兩邊有 sin 1

cos 1

r r





  

 







①

②

①²＋②² 可得 r²＝（－r sin）²＋（r cos）²＝（－1）²＋1²＝2 故 r＝ 2，代回①與②得 sin＝ 1

2 且 cos＝ 1

2 ∴為第一象限角 4



因此 y＝－sin x＋cos x＝ 2 cos x 4

  

 

 

(2) 依題意並利用和角公式得

－sin x＋ 3 cos x＝r cos（x＋）＝r（cos x cos－sin x sin）

＝（－r sin）sin x＋（r cos）cos x 比較等式兩邊有 sin 1

cos 3

r r





  



 





①

②

①²＋②² 可得 r²＝（－r sin）²＋（r cos）²＝（－1）²＋（ 3）²＝4 故 r＝2，代回①與②得 sin＝1

2，cos＝ 3

2 ∴為第一象限角 6



因此 y＝－sin x＋ 3 cos x＝2 cos x 6

  

 

 

例題3 極值問題（一）

(1) 試求 y＝3 sin x－4 cos x 的最大值和最小值。

(2) 試求 y＝sin x－ 3 cos x 的最大值和最小值，並求最大值和最小值發生時 x 的值。

解 (1) 由疊合公式可知 y＝3 sin x－4 cos x＝5 sin（x＋θ），其中 cos θ＝3

5且 sin θ＝－4 5 又－1 ≤ sin（x＋θ） ≤ 1

∴－5 ≤ 5 sin（x＋θ） ≤ 5，故 y 的最大值為 5，最小值為－5 (2) 由疊合公式可知 y＝sin x－ 3 cos x＝2 sin 5

x 3

  

 

 

又－1 ≤ sin 5 x 3

  

 

  ≤ 1 ∴－2 ≤ 2 sin 5 x 3

  

 

  ≤ 2，

故 y 的最大值為 2，最小值為－2

① 當 y 的最大值發生時，sin 5 x 3

  

 

 ＝1 ∴x＋5 3

 ＝ 2

 ＋2nπ，

其中 n 為整數 亦即 x＝－7

6

 ＋2nπ，其中 n 為整數

② 當 y 的最小值發生時，sin 5 x 3

  

 

 ＝－1

∴x＋5 3

 ＝3 2

 ＋2nπ，其中 n 為整數

亦即 x＝－

6

 ＋2nπ，其中 n 為整數 類題

關於函數 f（x）＝－sin x＋ 3 cos x，其中 x 為任意實數，請選出正確的選項。

(A) f（x）有最大值 3＋1 (B) f（x）是一個週期函數，其週期為 2π

(C) y＝f（x）的圖形對稱於直線 x＝－

6



(D) y＝f（x）的圖形與 x 軸的交點中，離原點最近的為 ,0

6

 

 

 

(E) y＝f（x）的圖形對稱於原點

解 由疊合公式可知 f（x）＝－sin x＋ 3 cos x＝2 sin 2 x 3

  

 

 ，函數圖形如右所示

(A) ×：由疊合公式可知－2 ≤ 2 sin 2

x 3

  

 

  ≤ 2

(B) ○：f（x）＝2 sin 2

x 3

  

 

 的週期為 2π

(C) ○：

f 6

 ＝2 sin 2

6 3

 

  

 

 ＝2 sin 2

 ＝2 ∴x＝－

6

 時，f（x）有最大值 2

故可知 y＝f（x）的圖形對稱於直線 x＝－

6



(D) ×：由圖形可知 ,0

6

 

 

 非 y＝f（x）與 x 軸的交點

(E) ×：若 y＝f（x）的圖形對稱於原點

則當 y＝f（x）通過點（a，b）時，y＝f（x）亦會通過（－a，－b）

而 y＝2 sin 2 x 3

  

 

 通過（a，b）時，b＝2 sin 2 a 3

  

 

 ，

但 2 sin 2 a 3

  

 

 ≠－b 故選(B)(C)

例題4 極值問題（二）

試求 f（x）＝2 cos 3 x

  

 

 －2 cos x 在 0 ≤ x ≤ π 範圍內的最大值和最小值，並求最大值 和最小值發生時 x 的值。

解 f（x）＝2 cos 3 x

  

 

 －2 cos x＝2 cos cos sin sin

3 x 3 x

 

  

 

 －2 cos x ＝2 1 3

cos sin

2 x 2 x

 

  

 

 －2 cos x＝ 3 sin x－cos x＝2 3 1

sin cos

2 x 2 x

 

  

 

 

＝2 cos sin sin cos

6 x 6 x

 

  

 

 ＝2 sin x 6

  

 

 

而 0 ≤ x ≤ π ∴－

6

 ≤

x 6

  

 

  ≤ 5 6



令 θ＝x－

6

 ，畫出 y＝sin θ 的圖形如右：

故(1) 當 x－

6

 ＝ 2

 ，亦即 x＝2 3

 時，f（x）有最大值 2

(2) 當 x－

6

 ＝－

6

 ，亦即 x＝0 時，f（x）有最小值－1 類題

試求 f（x）＝2 sin 6 x

  

 

 －2 cos x 在 0 ≤ x ≤ 2π 範圍內的最大值和最小值，並求最大值和 最小值發生時 x 的值。

解 f（x）＝2 sin 6 x

  

 

 －2 cos x＝2 sin cos cos sin

6 x 6 x

 

  

 

 －2 cos x

＝2 1 3

cos sin

2 x 2 x

 

  

 

 －2 cos x＝－ 3 sin x－cos x＝2 3 1

sin cos

2 x 2 x

 

 

 

 

 

＝2 7 7

cos sin sin cos

6 x 6 x

  

 

 ＝2 sin 7

x 6

  

 

 

而 0 ≤ x ≤ 2π ∴7 6

 ≤ x＋7 6

 ≤ 19 6



令 θ＝x＋7 6

 ，畫出 y＝sin θ 的圖形如右：

故(1) 當 x＋7 6

 ＝ 2

 或其同界角時，f（x） 有最大值 2

但7 6

 ≤ 7 x 6

  

 

  ≤ 19

6

 ∴ 7 5

6 2

x  

  ⇒ x＝4

3



(2) 當 x＋7 6

 ＝3 2

 或其同界角時，f（x） 有最小值－2

∴x＋7 6

 ＝3 2

 ⇒ x＝

3

 例題5 極值問題（三）

(1) 若 0 ≤ x ≤ 2

 且 f（x）＝cos² x－4 sin x cos x－3 sin² x，試問：

① f（x）的最大值為何？並求最大值發生時 x 的值。

② f（x）的最小值為何？並求最小值發生時 x 的值。

(2) 設 6

 ≤ x ≤ 3 4

 ，若 f（x）＝2 sin 2x＋sin x＋cos x＋1，令 sin x＋cos x＝t，則

① 試以 t 表示 f（x）＝ 。

② 試求 f（x）在此範圍內的最大值為 。

注意 利用半角與倍角公式將原式化為 2x 的三角函數，並利用疊合公式化簡原式。

解 (1) 利用半角公式，可知 cos² x＝1 cos 2 2

 x

，sin² x＝1 cos 2 2

 x 利用倍角公式，可知 2 sin x cos x＝sin 2x

∴f（x）＝cos² x－4 sin x cos x－3 sin² x

＝ 1 cos 2 2

 x

 

 

 －2 sin 2x－ 3 3cos 2 2

 x

 

 

 ＝2 cos 2x－2 sin 2x－1

＝2 1 1

2 cos 2 sin 2

2 x 2 x

  

 

 －1＝2 2cos 2

x 4

  

 

 －1

∵0 ≤ x ≤ 2

 ∴0 ≤ 2x ≤ π⇒

4

 ≤ 2x＋

4

 ≤ 5 4



令 θ＝2x＋

4

 ，畫出 y＝cos θ 的圖形如右：

① 當 2x＋

4

 ＝ 4

 ，即 x＝0 時，f（x） 有最大值 2 2× 1

2 －1＝1

② 當 2x＋

4

 ＝π，即 x＝3 8

 時，f（x） 有最小值 2 2×（－1）－1＝－2 2－1

(2) 令 t＝sin x＋cos x＝ 1 1

2 sin cos

2 x 2 x

  

 

 ＝ 2 sin

x 4

  

 

 

又6

 ≤ x ≤ 3 4

 ⇒ 6

 ＋ 4

 ≤ x＋

4

 ≤ 3 4

 ＋ 4

 ⇒5 12

 ≤ x＋

4

 ≤ π

∴0 ≤ sin x 4

  

 

  ≤ 1，故可知 0 ≤ 2 sin x 4

  

 

  ≤ 2，即 0 ≤ t ≤ 2

① t＝sin x＋cos x ⇒ t²＝sin²x＋2 sin x cos x＋cos²x＝1＋2 sin x cos x＝1＋sin 2x

⇒ sin 2x＝t²－1

∴f（x）＝2×sin 2x＋sin x＋cos x＋1＝2（t²－1）＋t＋1＝2t²＋t－1

② f（x）＝2t²＋t－1＝2 1 2

t 4

  

 

  －9

8，其中 0 ≤ t ≤ 2

∴當 t＝ 2時，f（x）有最大值 2×（ 2）²＋ 2－1＝3＋ 2 類題

1. 若 4

 ≤ x ≤ 2

 且 f（x）＝3 cos² x－2 sin x cos x＋sin² x，試問：

(1) f（x）的最大值。 (2) f（x）的最小值。

解 f（x）＝3 cos² x－2 sin x cos x＋sin² x ＝3 1 cos 2

2

 x

 

 

 －sin 2x＋ 1 cos 2 2

 x

 

 

 ＝cos 2x－sin 2x＋2 ＝ 1 1

2 cos 2 sin 2

2 x 2 x

  

 

 ＋2＝ 2cos 2

x 4

  

 

 ＋2

∵4

 ≤ x ≤ 2

 ∴ 2

 ≤ 2x ≤ π ⇒3 4

 ≤ 2x＋

4

 ≤ 5 4



令 θ＝2x＋

4

 ，畫出 y＝cos θ 的圖形如右

(1) 當 2x＋

4

 ＝3 4

 或5 4

 時，即 x＝

4

 或 2

 時，f（x） 有最大值 1

(2) 當 2x＋

4

 ＝π 時，即 x＝3 8

 時，f（x） 有最小值 2－ 2

2. 已知 0 ≤ x ≤ 2

 ，f（x）＝2＋2（sin x－cos x）－sin 2x (1) 令 t＝sin x－cos x，試求 t 的範圍。

(2) 若 f（x）的最大值為 M，最小值為 m，試求數對（M，m）。

解 (1) t＝sin x－cos x＝ 1 1

2 sin cos

2 x 2 x

  

 

 ＝ 2 sin

x 4

  

 

 

又 0 ≤ x ≤ 2

 ⇒ － 4

 ≤ x－

4

 ≤ 2

 － 4

 ⇒ － 4

 ≤ x－

4

 ≤ 4



∴ 2 2

2 sinx 4 2

     ，故可知－1 ≤ t ≤ 1

(2) t＝sin x－cos x ⇒ t²＝sin²x－2 sin x cos x＋cos²x＝1－2 sin x cos x＝1－sin 2x

⇒ sin 2x＝1－t²

∴f（x）＝2＋2（sin x－cos x）－sin 2x＝2＋2t－（1－t²）＝t²＋2t＋1＝（t＋1）² 由(1)知－1 ≤ t ≤ 1 可得

當 t＝1 時，f（x）有最大值 4 當 t＝－1 時，f（x）有最小值 0 故數對（M，m）＝（4，0）

例題6 利用疊合解三角方程式 解方程式 3 sin x＋cos x＝ 2。

注意 將 3 sin x＋cos x 寫成 r sin（x＋θ）的型態。

解 3 sin x＋cos x＝ 2

⇒ 2 3 1

sin cos

2 x 2 x

 

  

 

 ＝ 2⇒ 2 sin x 6

  

 

 ＝ 2⇒ 2

sinx6 2

因 x＋

6

 為 4

 或3 4

 的同界角，可知 x＋

6

 ＝ 4

 ＋2nπ 或 x＋

6

 ＝3 4

 ＋2nπ，n 為整數

故 x＝

12

 ＋2nπ 或 x＝7 12

 ＋2nπ，其中 n 為整數 類題

若 0 ≤ x＜2π，解方程式 3 sin x－cos x＝1。

解 3 sin x－cos x＝1⇒ 2 3 1

sin cos

2 x 2 x

 

  

 

 ＝1 ⇒ 2 sin x 6

  

 

 ＝1 ⇒ sin x 6

  

 

 ＝1

2 因 x－

6

 為 6

 或5 6

 的同界角，可知 x－

6

 ＝ 6

 ＋2nπ 或 x－

6

 ＝5 6

 ＋2nπ， n 為整數

但 0 ≤ x＜2π ∴－

6

 ≤ x－

6

 ＜11 6

 ，故 x＝

3

 或 π 例題7 利用疊合解不等式

在 0 ≤ x＜2π 的範圍內，求解不等式 sin x＋ 3 cos x ≤ 1。

注意 將 sin x＋ 3 cos x 寫成 r sin（x＋θ） 的型態。

解 由疊合可知，sin x＋ 3 cos x ≤ 1 ⇒ 2 sin x 3

  

 

  ≤ 1 ⇒ sin x 3

  

 

  ≤ 1 2 先不要管 x 的範圍，令 θ＝x＋

3

 ，則我們來解 sin θ ≤ 1

2，由 y＝sin θ 的圖形，

如下圖所示：

可知 sin θ ≤ 1

2的解為下列無限多個區間的聯集：

……，－7 6

 ≤ θ ≤ 6

 ，5 6

 ≤ θ ≤ 13 6

 ，……

亦即……，－7 6

 ≤ x＋

3

 ≤ 6

 ，5 6

 ≤ x＋

3

 ≤ 13 6

 ，……

但原先題目的條件為 0 ≤ x＜2π，即 3

 ≤ x＋

3

 ＜7 3



故本題的解為5 6

 ≤ x＋

3

 ≤ 13 6

 ，即 2

 ≤ x ≤ 11 6



類題

在 0 ≤ x ≤ π 的範圍內，求解不等式 sin x－cos x ≥ 1。

解 由疊合可知，sin x－cos x ≥ 1 ⇒ 2 sin 1 x 4

  

 

  ⇒ 1

sinx4 2

 

先不要管 x 的範圍，令 θ＝x－

4

 ，則我們來解 sin θ ≥ 1

2 ，由 y＝sin θ 的圖形，

如下圖所示：

可知 sin θ ≥ 1

2 的解為下列無窮多個區間的聯集：

……，－7 4

 ≤ θ ≤ －5 4

 ， 4

 ≤ θ ≤ 3 4

 ，……

亦即……，－7 4

 ≤ x－

4

 ≤ －5 4

 ， 4

 ≤ x－

4

 ≤ 3 4

 ，……

但原先題目的條件為 0 ≤ x ≤ π，即 － 4

 ≤ x－

4

 ≤ 3 4



故本題的解為 4

 ≤ x－

4

 ≤ 3 4

 ，即 2

 ≤ x ≤ π 例題8 應用問題

如下圖，有一個 L 型直角渠道，其寬度分別為 10 3公尺及 10 公尺，今要在外側的兩邊上 各取一點 A 與 C 圍成一個養殖場，使得 _AC通過頂點 B 且 ∠OAC＝40°，試求_AC。

注意 利用正餘弦函數的疊合。

解 如右圖，AP＝10 3，CQ＝10

10 3 10

sin 40 cos 40 sin 40 cos 40

3 1

20 cos 40 sin 40

2 2

10 3 cos 40 10 sin 40 20 sin100

1 40

sin 40 cos 40 sin 40 cos 40 sin 80

2

AP CQ

AC AB BC

      

   

 

  

 

        

   

    

（公尺）

類題

試求 sec 80°－ 3 csc 80° 的值。

解

sec80 3 csc80

1 3

2 sin 80 cos80

2 2

1 3 sin 80 3 cos80

cos80 sin 80 sin 80 cos80 1(2sin 80 cos80 ) 2

2(sin 80 cos 60 cos80 sin 60 ) 4 sin 20

1sin160 sin160 4

2

  

 

  

 

    

   

     

      

  

 

主題二 圓、橢圓的參數式 1. 圓的參數式：

圓 C：（x－h）²＋（y－k）²＝r² 的參數式為 cos sin x h r y k r





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π。

2. 橢圓的參數式：

(1) 中心在（h，k），其長軸與 x 軸平行或重合的橢圓

Γ：( ₂ )² ( ₂ )² x h y k 1

a b

    ，參數式為 cos sin x h a y k b





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π。

(2) 中心在（h，k），其長軸與 y 軸平行或重合的橢圓

Γ：

2 2

2 2

( ) ( )

x h y k 1

b a

 

  ，

參數式為 cos sin x h b y k a





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π。

(3) 橢圓Γ：

2 2

2 2 1

x y

a b  的中心為原點 O（0，0），

參數式為 cos sin x a y b





 

  ，0 ≤ θ＜2π。

中心 O 和 P（a cos θ，b sin θ）的連線OP與 x 軸正向的夾角，並不等於 θ，

如下圖所示：

例題9 圓的參數式

將下列圓的方程式改寫成參數式，或將參數式改寫成方程式：

(1) 圓 C1：x²＋y²＋2x＋4y－4＝0。

(2) 圓 C2： 1 3cos 2 3sin x

y





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π。

解 (1) C1：x²＋y²＋2x＋4y－4＝0 ⇒（x＋1）²＋（y＋2）²＝9

參數式為 1 3cos

2 3sin x

y





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π

即 1 3cos

2 3sin x

y





  

   

 ，0 ≤ θ＜2π (2) C2： 1 3cos

2 3sin x

y





  

  

 ⇒ 1 3cos

2 3sin x

y





  

  







①

②

①²＋②² 得（x＋1）²＋（y－2）²＝9（cos² θ＋sin² θ）亦即（x＋1）²＋（y－2）²＝9 類題

將下列圓的方程式改寫成參數式，或將參數式改寫成方程式：

(1) 圓 C1：x²＋y²＝2。

(2) 圓 C2： 2cos 2 2sin x

y





 

   

 ，0 ≤ θ＜2π。

解 (1) C1：x²＋y²＝2 的參數式為 2 cos 2 sin x

y





 

 



，0 ≤ θ＜2π

(2) C2： 2cos 2 2sin x

y





 

   

 → 2cos

2 2sin x

y





 

  







①

②

①²＋②² 得 x²＋（y＋2）²＝4（cos² θ＋sin² θ） 亦即 x²＋（y＋2）²＝4 例題10 橢圓的參數式

試將下列各橢圓表示成參數式，或將參數式改寫成方程式：

(1) Γ1：

2 2

( 2) ( 1)

4 1 1

x  y  。 (2) Γ2： 2 3cos

1 5sin x

y





  

   

 ，0 ≤ θ＜2π。

解 (1) 橢圓Γ1：

2 2

2 2

( 2) ( 1)

2 1 1

x  y  的參數式為 2 2cos 1 sin x

y





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π

即 2 2cos

1 sin x

y





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π

(2) 橢圓Γ2 的參數式為 2 3cos

1 5sin x

y





  

   

 ，0 ≤ θ＜2π

可改寫成

2 cos 3

1 sin 5

x y





  

 

 







①

②

，①²＋②² 可得

2 2

( 2) ( 1)

9 25 1

x  y 

類題

試將下列各橢圓表示成參數式，或將參數式改寫成方程式：

(1) Γ1：

2 2

( 2) ( 2)

9 16 1

x  y  。 (2) Γ2： 2 2cos

3 3sin x

y





  

   

 ，0 ≤ θ＜2π。

解 (1) 橢圓Γ1：

2 2

2 2

( 2) ( 2)

3 4 1

x  y  的參數式為 2 3cos 2 4sin x

y





  

  

 ，0 ≤ θ＜2π

即 2 3cos

2 4sin x

y





  

   

 ，0 ≤ θ＜2π

(2) 橢圓Γ2 的參數式為 2 2cos

3 3sin x

y





  

   

 ，0 ≤ θ＜2π

可改寫成

2 cos 2

3 sin 3

x y





  

 

 







①

②

，①²＋②² 可得

2 2

( 2) ( 3)

4 9 1

x  y 

例題11 直線與橢圓的距離

一行星繞一恆星運轉，另有一飛碟靠近，已知三者處在同一平面上，且相對關係如下圖所示。

試求飛碟行進路線和行星軌道的最短距離。

注意 將橢圓上的點表示成參數式的型態，並代入點到直線的距離公式。

解 如題圖，設橢圓 Γ：

2 2

16 9 1

x y

  上的 P 點為 （4 cos θ，3 sin θ）

L：x＋y－7＝0 為飛碟的行進路線

則 2 2

4cos 3sin 7 4cos 3sin 7

( , )

1 1 2

d P L      

 



由正、餘弦函數的疊合可知

4 cos θ＋3 sin θ＝5 4 3

cos sin

5  5 

  

 

 ＝5 sin（θ＋），其中滿足 sin＝4

5，cos＝3 5

∴－5 ≤ 4 cos θ＋3 sin θ ≤ 5

可知 4 cos θ＋3 sin θ＝5 時，d（P，L） 有最小值 ^{5 7 2} 2

2 2

  

類題

設點 P（x，y） 在橢圓 Γ： ^{2 2} 1

4 9

x y

  上，試求點 P 到直線 L：2x－y－10＝0 的最小 距離與最大距離。

解 如下圖，設橢圓Γ：

2 2

4 9 1

x y

  上的 P 點為（2 cos θ，3 sin θ）

則 2 2

4cos 3sin 10 4cos 3sin 10

( , )

2 ( 1) 5

d P L       

 

 

由正、餘弦函數的疊合可知 4 cos θ－3 sin θ＝5 4 3

cos sin

5  5 

  

 

 ＝5 cos（θ＋），其中滿足 cos＝4

5，sin＝3 5

∴－5 ≤ 4 cos θ－3 sin θ ≤ 5

可知 4 cos θ－3 sin θ＝5 時，d（P，L）有最小值 ^{5 10} 5 5

 

而 4 cos θ－3 sin θ＝－5 時，d（P，L）有最大值 ^{5 10 15} 3 5 5  5 

－ －

重要性：★★★★★

2-2 段考實力演練 一、基礎題

1. 將下列各函數疊合成 y＝r sin（x＋θ） 的形式，其中 r＞0 且 0 ≤ θ＜2π

(1) y＝ 3 sin x－cos x。 (2) sin sin

4 4

y x  x 

   。

(3) y＝8 sin x－6 cos x。

解 (1) 利用和角公式得

3 sin x－cos x＝r sin（x＋θ）＝r（sin x cos θ＋cos x sin θ）

＝（r cos θ）sin x＋（r sin θ）cos x 比較等式兩邊有 cos 3

sin 1

r r





 



  





①

②

①²＋②² 可得 r²＝r² cos² θ＋r² sin² θ＝（ 3）²＋（－1）²＝4

故 r＝2

代回①與②得 cos θ＝ 3

2 且 sin θ＝－1

2 ∴θ 為第四象限角11 6



因此 y＝ 3 sin x－cos x＝2 sin 11 x 6

  

 

 

(2) y＝sin x 4

  

 

 ＋sin x 4

  

 

 ＝sin x cos 4

 ＋cos x sin 4

 ＋sin x cos 4

 －cos x sin 4



＝ 2

2 sin x＋ 2

2 sin x＝ 2sin x

(3) ^{2 2} 8 6 4 3

8sin 6cos 8 ( 6) sin cos 10 sin cos

10 10 5 5

y x x    x x  x x

   

∴r＝10 又 cos θ＝4

5，sin θ＝－3 5 得知 θ 為第四象限角

故 y＝8 sin x－6 cos x＝10 sin（x＋θ）

其中 θ 滿足 cos θ＝4

5，sin θ＝－3 5 2. 試求 y＝2－3 cos x－4 sin x 的最大值與最小值。

解 y＝2－3 cos x－4 sin x＝2－（4 sin x＋3 cos x）＝2－5 4 3

sin cos

5 x 5 x

  

 

 

＝2－5 sin（x＋θ），

其中 θ 滿足 cos θ＝4

5，sin θ＝3 5 而－1≦sin（x＋θ）≦1

⇒ －5≦－5 sin（x＋θ）≦5

⇒ －3≦2－5 sin（x＋θ）≦7

故 y＝2－3 cos x－4 sin x 的最大值為 7，最小值為－3 3. 試比較 sin 14°＋cos 14° 與 2sin 58° 的大小關係。

解 sin 14°＋cos 14°＝ 2 2

2 sin14 cos14

2 2

 

  

 

 

 ＝ 2（cos 45° sin 14°＋sin 45° cos 14°）

＝ 2sin 59°

又 sin 59°＞sin 58°，

可知 2sin 59°＞ 2sin 58°

即 sin 14°＋cos 14°＞ 2sin 58°

4. 試求 y＝2 sin 6 x

  

 

 －2 cos x 的最大值與最小值。

解 由差角公式

1 3

sin sin cos cos sin cos sin

6 x 6 x 6 x 2 x 2 x

  

     

 

 

1 3

2sin 2cos 2 cos sin 2cos

6 2 2

3 1

3 sin cos 2 sin cos

2 2

7 7 7

2 cos sin sin cos 2sin

6 6 6

y x x x x x

x x x x

x x x



  

 

 

        

 

      

     

   

   

又－1≦sin 7 x 6

  

 

 ≦1

∴－2≦2 sin 7 x 6

  

 

 ≦2

故 y 的最大值為 2，最小值為 －2 5. 若－

3

 ≤ x ≤ 6

 且 f（x）＝ 3 cos x－sin x＋2，試求 f（x） 的最大值與最小值。

解 f（x）＝ 3 cos x－sin x＋2＝2 3 1

cos sin

2 x 2 x

 

  

 

 ＋2

利用和角公式：cos（α＋β）＝cos α cos β－sin α sin β 可得 f（x）＝2 cos cos sin sin

6 x 6 x

 

  

 

 ＋2＝2 cos x 6

  

 

 ＋2

又－3

 ≦x≦

6



∴－3

 ＋ 6

 ≦x＋

6

 ≦ 6

 ＋ 6

 ⇒ － 6

 ≦x＋

6

 ≦ 3



令 θ＝x＋

6

 ，由 y＝cos θ 的圖形可知

1

2≦cos θ≦1 ⇒1 2≦cos

x 6

  

 

 ≦1

∴f（x）在－

3

 ≦x≦

6

 的區間內 有最大值 2×1＋2＝4 有最小值 2×1

2＋2＝3

6. 設 Γ 的參數式為 1 4cos

1 3sin x

y





  

   

 ，0 ≤ θ＜2π，試求 Γ 的方程式。

解 1 4cos 1 3sin x

y





  

   

 ⇒

1 cos 4

1 sin 3

x y





  

 

 







①

②

①²＋②² 可得

2 2

( 1) ( 1)

16 9 1

x y

 

∴Γ的方程式為

2 2

( 1) ( 1)

16 9 1

x y

  圖形為一橢圓 7. 試問下列各選項中的值，何者最大？

(A) sin 1＋cos 1 (B) sin 2＋cos 2 (C) sin 3+cos 3 (D) sin 4＋cos 4 (E) sin 5＋cos 5 解 sin 1＋cos 1

＝ 2 2 2 sin 1 cos 1

2 2

 

 

 

 ＋ ＝ 2 sin 1

4

  

 

＋  同理，sin 2＋cos 2＝ 2 sin 2

4

  

 

 ＋  sin 3＋cos 3＝ 2 sin 3

4

  

 

 ＋  sin 4＋cos 4＝ 2 sin 4

4

  

 

 ＋  sin 5＋cos 5＝ 2 sin 5

4

  

 

 ＋  又 1 弧度≈57.3°，

∴ 1 4

  

 

 ＋ 弧度≈102.3° ⇒ sin 1 4

  

 

 ＋ ＞0 2 4

  

 

 ＋ 弧度≈159.6° ⇒ sin 2 4

  

 

 ＋ ＞0 3 4

  

 

 ＋ 弧度≈216.9° ⇒ sin 3 4

  

 

 ＋ ＜0 4 4

  

 

 ＋ 弧度≈274.2° ⇒ sin 4 4

  

 

 ＋ ＜0 5 4

  

 

 ＋ 弧度≈331.5° ⇒ sin 5 4

  

 

 ＋ ＜0 又 sin 102.3°＞sin 159.6°

故選(A) 二、進階題

8. 設 P 為橢圓 4x²＋y²＝4 上的動點，求 P 到直線 L：3x＋2y＋10＝0 距離的最小值為 。（提示：設 P 點坐標為 （cos θ，2 sin θ），代入點到直線的距離公式）

解 橢圓的標準式為

2 2

1 4 1 x  y 

∴橢圓的參數式為 cos 2sin x

y





 

  ，其中 0≦θ＜2π 如下圖所示：

設 P 點坐標為 （cos θ，2 sin θ）代入點到直線的距離公式

∴d（P，L）

2 2

3 cos 2 2sin 10 3cos 4sin 10

3 2 13

   

     

 

 又 3 cos θ＋4 sin θ＝5 3 4

cos sin

5  5 

  

 

 ＝5 sin（θ＋） 其中滿足 sin＝3

5，cos＝4 5 故－5≦3 cos θ＋4 sin θ≦5

∴d（P，L） 的最小值為 5 10 5 5 13 13 13 13

   

9. 試求 1 3

sin10 cos10

 的值。（提示：利用倍角公式與正、餘弦函數的疊合）

解

1 3

2 cos10 sin10

2 2

1 3 cos10 3 sin10

sin10 cos10 sin10 cos10 sin10 cos10

 

  

 

    

  

     

2(cos 60 cos10 sin 60 sin10 ) 2cos 70

sin10 cos10 sin10 cos10

2 2cos 70 4cos 70 2sin10 cos10 sin 20 4

     

 

   

  

  

  

10. 在 0 ≤ x ≤ 2

 的範圍內，求解不等式 3 sin x－cos x ≤ 1。

（提示：將 3 sin x－cos x 寫成 r sin（x－θ） 的型態）

解 由疊合可知

3 sin x－cos x≦1

⇒ 2 3 1

sin cos

2 x 2 x

 

  

 

 ≦1

⇒ 2 sin x 6

  

 

 ≦1

⇒ sin x 6

  

 

 ≦1

2，先不要管 x 的範圍 令 θ＝x－

6

 ，則我們來解 sin θ≦1 2 由 y＝sin θ 的圖形，如下圖所示：

可知 sin θ≦1

2的解為下列無窮多個區間 的聯集：

……，－7 6

 ≦θ≦

6

 ，5 6

 ≦θ≦13 6

 ，……

亦即…，－7 6

 ≦x－

6

 ≦ 6

 ，5 6

 ≦x－

6

 ≦13 6

 ，…

但原先題目的條件為 0≦x≦

2



故本題的解為 0≦x≦

3



11. 如右圖所示，想在一個半徑 50 公尺的圓形池塘上建造一座 H 字型的步道通過圓心 O，

其中兩平行線段一樣長，且轉角處皆垂直，試求：

(1) 步道總長的最大值。

(2) 步道總長最大時，EF 的長度。（提示：設∠AOE＝ θ）

解 (1) 可設∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF＝θ 步道總長為

AB＋EF＋CD

又 AB＝CD＝50‧sin θ‧2＝100 sin θ EF＝50‧cos θ‧2

＝100 cos θ

∴AB＋EF＋CD

＝100 sin θ＋100 cos θ＋100 sin θ ＝200 sin θ＋100 cos θ

＝100 5 2 1

sin cos

5  5 

 

 

 ＋ 

＝100 5 sin（θ＋），

其中 cos ＝ ²

5且sin ＝ ¹ 5

可得 AB＋EF＋CD＝100 5 sin（θ＋）

∴當 sin（θ＋）＝1 時，

AB＋EF＋CD 有最大值 100 5（公尺）

(2) 此時 sin θ＝ ²

5，cos θ＝ ¹ 5

∴EF＝100‧cos θ

＝100‧ ¹ 5

＝20 5（公尺）

三、歷屆試題

12. 下列哪一個數值最接近 2？

(A) 3 cos 44°＋sin 44° (B) 3 cos 54°＋sin 54° (C) 3 cos 64°＋sin 64°

(D) 3 cos 74°＋sin 74° (E) 3 cos 84°＋sin 84° 95.學測

（提示：(1) 正、餘弦函數的疊合；(2) 2＝2 cos 45°）

13. 下列哪些函數的最小正週期為 π？

(A) sin x＋cos x (B) sin x－cos x (C)│sin x＋cos x│

(D)│sin x－cos x│ (E)│sin x│＋│cos x│ 92.學測

（提示：(1) 正、餘弦函數的疊合

(2) 分別繪出 y＝│sin x│ 與 y＝│cos x│的圖形，

再繪出 y＝│sin x│＋│cos x│的圖形）

14. 若 f（x）＝2 cos 3 x

  

 

 －2 cos x－3 的最大值是 M，則 M＝ 。 82.社會組

（提示：利用 cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β）

15. 設 270°＜A＜360° 且 3 sin A＋cos A＝2 sin 2004°，若 A＝m°，試求 m 的值。 93.學測

（提示：(1) 正、餘弦函數的疊合；(2) sin（180°＋θ）＝－sin θ＝sin（360°－θ））

16. 將函數 y＝3 sin x－cos x、y＝sin（2x）＋3 cos（2x）、y＝2 sin x＋2 cos x 的圖形繪於同 一坐標平面上，其與 x 軸的相關位置如下圖：

試問圖中的圖形 y＝f（x）、y＝g（x）、y＝h（x） 所代表的函數應為下列哪一個選項？

(A) f（x）＝3 sin x－cos x、g（x）＝sin（2x）＋3 cos（2x）、h（x）＝2 sin x＋2 cos x (B) f（x）＝3 sin x－cos x、h（x）＝sin（2x）＋3 cos（2x）、g（x）＝2 sin x＋2 cos x (C) g（x）＝3 sin x－cos x、f（x）＝sin（2x）＋3 cos（2x）、h（x）＝2 sin x＋2 cos x (D) g（x）＝3 sin x－cos x、h（x）＝sin（2x）＋3 cos（2x）、f（x）＝2 sin x＋2 cos x (E) h（x）＝3 sin x－cos x、f（x）＝sin（2x）＋3 cos（2x）、g（x）＝2 sin x＋2 cos x

99.指考甲

（提示：正、餘弦函數的疊合）

17. 關於函數 f（x）＝ 3 cosx－sinx，其中 x 為任意實數，請選出正確的選項。

(A) f（x）有最大值 3＋1

(B) f（x）是一個週期函數，其最小正週期為 2π

(C) y＝f（x）的圖形對稱於直線 x＝－

6



(D) y＝f（x）的圖形與 x 軸的交點中，離原點最近的為 ,0

6

 

 

 

(E) y＝f（x）的圖形對稱於原點 99.課綱數甲大考中心參考試題

（提示：正、餘弦函數的疊合）

18. 考慮函數 f（x）＝│sinx│＋│cosx│，其中 x 為任意實數。請選出正確的選項。

(A) f（－x）＝f（x）對所有實數 x 均成立

(B) f 的最大值為 2 (C) f 的最小值為 0 (D) f 10  f   9

   

(E)函數 f 的（最小正）週期為 π 102.指考甲

（提示：畫出 y＝│sinx│與 y＝│cosx│的圖形後利用正、餘弦函數的疊合求解）

簡 答 一、基礎題

1.(1) y＝2 sin 11 x 6

  

 

 ；(2) y＝ ₂sin x；(3) y＝10 sin（x＋θ），其中 θ 滿足 cos θ＝4 5， sin θ＝－3

5 2.最大值 7，最小值－3 3.sin 14°＋cos 14°＞ ₂sin 58° 4.最大值 2，

最小值－2 5.最大值 4，最小值 3 6.( 1)² ( 1)²

16 9 1

x y

  7.(A)

二、進階題 8.5 13

13 9.4 10.0 ≤ x ≤ 3

 11.(1)100 5 公尺；(2)20 5 公尺 三、歷屆試題

12.(D) 13.(C)(D) 14.－1 15.306 16.(C) 17.(B)(C) 18.(A)(B)

能力提升特訓

範例1 橢圓參數式的應用（一）

已知橢圓 Γ 的方程式為

2 2

4 9 1

x y

  ，

(1) 如下圖，點 P 在橢圓 Γ 上且OP與 x 軸正向的夾角為 120°，求OP長度為 。

(2) 橢圓 Γ 之內接正方形面積為 。

注意 (1) 設OP＝r，θ 為OP與 x 軸正向夾角，則 P 點坐標為 （r cos θ，r sin θ）。

請注意此時 P 點的表示方式，並非橢圓的參數式，而是利用長度與標準位置角來 表示點坐標。

(2) 橢圓參數式為 （2 cos θ，3 sin θ），但是（2 cos 120°，3 sin 120°）並非 P 點坐標。

解 (1) 設OP＝r，則 P 點坐標為 （r cos 120°，r sin 120°）＝ 1 3 2r, 2 r

 

 

 

 

而 P 點在橢圓

2 2

4 9 1

x  y  上，將 1 3

2r, 2 r

 

 

 

 代入

2 2

4 9 1 x  y 

得 1 ² 1 ²

16r 12r 1⇒ 7 ²

48r 1⇒ ⁴⁸

r 7 故 48 4 3 4 21

7 7 7

OP r   

(2) 設 ABCD 為橢圓 Γ 的內接正方形

設OA＝r，則 A 點坐標為 （r cos 45°，r sin 45°）＝ 2 2 2 r, 2 r

 

 

 

 

而 A 點在橢圓

2 2

4 9 1

x  y  上，將 2 2

2 r, 2 r

 

 

 

 代入

2 2

4 9 1 x  y 

得1 ² 1 ²

8r 18r 1 ⇒13 ²

72r 1⇒ ² 72 r 13

故內接正方形的面積＝4△AOB 面積 1 ² 72 144

4 2 2

2 r r r 13 13

 

       

 

類題

1. 在坐標平面上有一橢圓，它的長軸落在 x 軸上，短軸落在 y 軸上，

長軸、短軸的長度分別為 4、2。如圖所示，通過橢圓的中心 O 且 與 x 軸夾角為 45 度的直線在第一象限跟橢圓相交於 P。則此交點 P 與中心 O 的距離為何？

(A) 1.5 (B) 1.6 (C) 2 (D) 2.5 (E) 3.2 91.學測

解 設OP＝r，則 P 點坐標為（r cos 45°，r sin 45°）＝ 2 2 2 r, 2 r

 

 

 

 

而 P 點在橢圓

2 2

4 1 1

x  y  上，將 2 2

2 r, 2 r

 

 

 

 代入

2 2

4 1 1 x  y 

得1 8r²＋1

2r²＝1 ⇒5

8r²＝1 ⇒ ⁸

r 5 故 ⁸ 1.6

OP r  5  故選(B) 2. 設（p，0）為橢圓

2 2

4 1 1

x y

  的長軸上一定點，且 0＜p＜3

2。若點 （a，b） 為橢圓上 距離（p，0） 最近的點，試求 a。（以 p 的函數表示） 89.自然組

解 A（a，b） 為橢圓

2 2

4 1 1

x y

  上的點

可令 a＝2 cos θ，b＝sin θ

2 2 2 2 2

2 2

2 2

(2cos ) sin 4cos 4 cos sin

3cos 4 cos 1 3 cos 2 1

3 3

AP p p p

p p

p p

    

  

      

 

         

∴當 cos θ＝2 3

p時，AP有最小值

即 a＝2 cos θ＝4 3

p時，AP有最小值 範例2 橢圓參數式的應用（三）

橢圓 Γ： ^{2 2} 1 16 9

x y

  ，試求：

(1) 橢圓Γ內接正方形的面積與周長。

(2) 橢圓Γ內接矩形面積的最大值與內接矩形周長的最大值。

注意 (1) 可假設內接正方形其中一個頂點為（t，t）。

(2) 可假設內接矩形其中一個頂點為（4 cos θ，3 sin θ）。

解 (1) 設 A（t，t）為橢圓

2 2

16 9 1

x y

  內接正方形的一個頂點

則其它三個頂點為 B（t，－t），C（－t，－t），D（－t，t），如下圖所示 A（t，t）在

2 2

16 9 1

x y

  上，可知

2 2

16 9 1 t t

  ⇒

25 2

144

t ＝1 ⇒ t＝±12 5 A（t，t）在第一象限，取 t＝12

5

① 內接正方形 ABCD 的面積為 2t×2t＝4t²＝4×144

25 ＝576 25

② ABCD 的周長為 4×2t＝8t＝8×12 5 ＝96

5

(2) 橢圓

2 2

16 9 1

x  y  的參數式為 4cos 3sin x y





 

  ，其中 0 ≤ θ＜2π

設 P（α，β）為其內接矩形的一個頂點，則其它三個頂點為

Q（α，－β），R（－α，－β），S（－α，β），如下圖所示

令 α＝4 cos θ，β＝3 sin θ

① 矩形 PQRS 的面積為

PQ×PS ＝2β×2α＝4αβ＝4×4 cos θ×3 sin θ＝48 sin θ cos θ＝24 sin 2θ 當 sin 2θ＝1

4

 

 

 

即 ＝ 時，內接矩形的最大值為 24

② 矩形 PQRS 的周長為 2（PQ＋PS ）＝4（4 cos θ＋3 sin θ）

∵4 cos θ＋3 sin θ ≤ 4²3² ∴周長的最大值為 4× 3²4² ＝20 類題

設 A（6，0），B（0，－3），若一動點 P 在橢圓Γ：

2 2

36 9 1

x y

  上移動，試求△PAB 面積 的最大值以及此時的 P 點坐標。

解 可假設 P 點坐標為（6 cos θ，3 sin θ），其中 0 ≤ θ＜2π

AB

＝（0，－3）－（6，0）＝（－6，－3），

AP

＝（6 cos θ，3 sin θ）－（6，0）＝（6 cos θ－6，3 sin θ）

△PAB 的面積即為AB 與AP

所圍成的三角形面積

∴△PAB＝1

2│ 6 3

6 cos 6 3 sin

－ －

－ │＝1

2│－18 sin θ＋18 cos θ－18│

＝│9 cos θ－9 sin θ－9│

＝│9 sin θ－9 cos θ＋9│＝9│sin θ－cos θ＋1│

∵sin θ－cos θ＝ 1 1

2 sin cos

2  2 

  

 

 ＝ 2sin

4

 

  

 

 

∴當 sin 4

 

  

 

 ＝1 時，△PAB 的面積有最大值 9（ 2＋1）

此時 θ－

4

 ＝ 2

 ⇒ θ＝3 4

 ，故 P 點坐標為 3 3 3 2

6cos ,3sin 3 2,

4 4 2

  ^{ }

    

   

   