DOC 第壹部分：選擇題（占 70 分）

第壹部分：選擇題

（

占　 60 　分

） 一、單選題（占　30　分）

說明：第　1　題至第　6　題，每題有　5　個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者，得　5　分；答錯、未作答或畫記多於一 個選項者，該題以零分計算。

　　　　老師帶著全班　34　個同學參觀美術館(含老師共計　35　人)。已知美術館門票一張　100　元，

而且，如果一次買　20　張可以打　9　折，一次買　30　張可以打　8　折，一次買　40　張可以打　7　折。

請問　　老師至少要付多少費用，才可以讓全班(含老師)都進去參觀？

　　3500　元 　　3300　元 　　2900　元 　　2800　元 　　2600　元

　　已知「引擎馬力　P(Horsepower)」的計算公式是　P＝

75

1 |



F ．



_{v |，}

其中



F 是引擎所拉動之物體的重量，單位是公斤，



v 是引擎拉動 之物體的

速度，單位是公尺／秒。已知　　　纜車有一引擎拉動軌道上重　1000 公斤的纜車廂，而纜線與水平線的夾角是約為　37°，纜車廂的速度是　

5　公尺／秒，則此引擎約為多少馬力？ 



 



 

5 37 3 sin ＝ 已知

　　30　馬力 　　40　馬力 　　50　馬力 　　60　馬力 　　70　馬力

　　已知　ABCD－EFGH　為空間中的一個正六面體，則下列哪一個選項的 值最大？

　　|AB



×AB



| 　　|AB



×AC



| 　　|AB



×AD



| 　　|CE



×AB



| 　　|EB



×EG



|

　　已知一圓周上有　12　個等分點，從這　12　個等分點中，任意選　4　個等 分點作為頂點構成一個四邊形，試問此四邊形為梯形的機率為何？

　　55 21 　　165

56 　　55

14 　　33 8 　　55

12

　　已知平面上三點　A(6 , 2)、B(0 , －1)、C(8 , －5)，　　想要在AB與BC上分別取　D、E　兩 點使得直線　DE　可以平分△ABC　的面積。已知　　選取的　D　點的坐標為　D(4 , 1)，則直線　 DE　的斜率應為多少？

　－2 5 　－3 7 　－4 9 　－ 5

14 　－6

7

　　　　老師的班上有　30　位同學，因同學於運動會期間為班級榮譽團結一致，老師特別製作　 30　張彩券進行摸彩，以作為給同學的獎勵(彩券取後不放回)。已知其中　10　張有獎，其餘　 20　張沒有獎，試問下列敘述哪一個選項正確？

　「班花」　　吵著第一個抽，她認為第一個中獎的機會最大

　承　，在　　沒抽中的情況下，接著「班長」　　第二個抽，他心中暗喜，因為他認為 中獎的機會提高了

　承　，在　　抽中的情況下，第三個抽的「康樂」　　心想：第一個沒中，第二個中了

，互相抵消，所以我的中獎機率跟　　抽的時候相同

　承　，在　　沒抽中的情況下，第四個抽的「學藝」　　，掐指一算，大聲說：現在我 的中獎機率比　　抽的時候還要高

　　　被排在最後一個抽，他向老師抗議不公平，因為他認為最後一個抽的人，一定是抽 到沒有獎的彩券

二、多選題（占　30　分）

說明：第　7　題至第　12　題，每題有　5　個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得　5　分；答錯　1　個選項者，得　3　分；答錯　2　個選項者，得　1　分；答錯多於　2　個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。

　　已知　f　(x)＝x³＋ax²＋bx＋c　為實係數三次多項式，則下列敘述哪些正確？

　集合｛　x　|　x＜1，2＜x＜3，x　　R　｝，可能為不等式　f　(x)＜0　之解 　集合｛　x　|　x＞1，x＝2，x　　R　｝，可能為不等式　f　(x)＞0　之解 　集合｛　x　|　x＜3，x＝1，x　　R　｝，可能為不等式　f　(x)＜0　之解 　集合｛　x　|　1＜x＜3，x＝2，x　　R　｝，可能為不等式　f　(x)＞0　之解 　不等式　f　(x)＜0　之解可能為所有的實數

　　所謂圓錐曲線的「標準式」是指當圓錐曲線的對稱軸\s\do1(　　　　　)坐標平面上坐標軸 的條件下所得到的方程式。當下列選項中的訊息作為已知條件時，哪些可以在坐標平面上 求出相關圓錐曲線的標準式？

　已知橢圓的兩個頂點及一個焦點的坐標

　已知雙曲線的兩個焦點及圖形上一個點的坐標 　已知拋物線的準線方程式及頂點的坐標

　已知橢圓的三個頂點

　已知雙曲線的兩條漸近線方程式

　　　　教授的生物實驗室內有一個容器正在培養　A、B　兩種細菌，並且在任何時刻下　A、B　兩 種細菌的　　　　　　的平衡狀態，已知該定值為　10¹²。假設　nA　表示　A　細菌 的個數，nB　表示　B　細菌的個數，LA＝log　nA，LB＝log　nB，試問下列選項哪些正確？

　　1LA12

　當　LA＝6　時，A　與　B　兩種細菌個數相同

　若今天的　LA　值比昨天增加　1，表示今天的　A　細菌個數是昨天的　2　倍

　若星期一測得　LA　值為　4　且星期三測得　LA　值為　8，則可得星期二的　LA　值為　6 　若　　教授將　A　細菌個數控制在　200　萬個，則此時　5.5　LB　6

　　已知有一個六個面的點數分別為　1、2、3、4、5、6　的公正骰子，投擲此骰子　5　次，紀錄每 次投擲所出現的點數，依序為　a、b、c、d、e，則下列敘述哪些正確？

　符合　a＜b＜c＜d＜e　的情形總共有　6　種 　符合　abcde　的情形總共有　252　種 　符合　a＜b＜c＜de　的情形總共有　21　種 　　a、b、c、d、e　最大為　3　的情形有　211　種

　　a、b、c、d、e　最小為　2　且最大為　5　的情形有　620　種

　　已知空間中有平面　E：x－y＋z－1＝0　與直線　L：

1

－1

x ＝

2 　2

＋

y ＝

2 1

－

－

z ，則下列敘述 哪些正確？

　直線　L　與平面　E　的交點為(2 , 0 , －1) 　直線　L　與平面　E　垂直

　平面　y＋z＋1＝0　包含直線　L　且與平面　E　垂直 　平面　E　和　xy　平面所夾的銳角大於　45°

　平面　E　與三坐標軸所圍成的四面體體積為　 6 1

　　設　a，b，c　為實數，下列有關線性方程組

 

 



c z y x

bz y x

az y x

＝

－

＋

＝－

＋

＋

＝

＋

＋ 3 2

1 2

1

　的敘述哪些正確？

　若此線性方程組有解，則可能恰有一組解或有無窮多組解 　若此線性方程組有唯一解，則　a＋b＝－1

　若此線性方程組有解，則　c＝0 　若此線性方程組無解，則　c＝0 　若此線性方程組無解，則　a＋b＝－1

第貳部分：選填題（占　40　分）

說明：1.第　A　至　H　題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(13－

34)。

　　　2.每題完全答對給　5　分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.　二階方陣　A＝ _



 



 4 2

3

1 ，B＝ _



 



 1 2

3

k ，若　(A＋B)³＝A³＋3A²B＋3AB²＋B³，則實數　k＝。

B.　已知　　　　有一橢圓形的操場，其跑道的形狀符合橢圓方程式　

900 ) 3 (x－ ² ＋

1600 ) 1 (y－ ² ＝ 1。

(單位：公尺)，且一\s\do1(　　　　)上有一直立旗杆。某日數學老師　　在此操場跑道上 慢跑，他發現在操場某\s\do1(　　　　)上測得旗杆頂的仰角為　30　度，試問旗杆的高度為公 尺。(化為最簡根式)

C.　若　f　(x)　為五次多項式，且　f　(x)　除以　(x＋1)　的餘式為　152，除以　(x－2)　的餘式為　5，除以　 (x－1)⁴　餘式為　8，試求　f　(3)＝。

D.　右圖為平面上的一個圖形，已知　ABCD　為矩形，分別自兩個邊向外 做正三角形　ADF　及　AEB。若矩形　ABCD、正三角形　ADF　及正三角 形　AEB　三者的面積和為　a，三角形　ECF　的面積為　b，且　a＝b＋16。

試求矩形　ABCD　的面積為。

E.　設標準位置角θ＝

12

n ×180°＋45°，其中　n　為整數且　60n120，

則有個θ會落在第三象限內。

F.　已知一數列：

3 1，

5 1 ，

5 4 ，

7 1 ，

7 4 ，

7 9 ，

9 1 ，

9 4 ，

9 9 ，

9 16 ，

11 1 ，

11 4 ，

11 9 ，

11 16

，11 25，

…　…，依此規律，試求此數列的前　45　項的和為。

G.　長方形紙張　ABCD，已知　E、F　分別在　AD、BC　上(如圖1)，今沿著　EF 　將長方形摺疊

，頂點　C　正好落在　AB　的中點　C'　上(如圖2)，若　AB＝10、BC＝12，求　EF＝。

(化為最簡分數)

　　　　

圖　　　　　　　圖　

H.　已知在一個與變化量　x、y　有關的線性規劃作業中，有三個限制條件。在坐標平面上畫出符 合這三個限制條件的區域，最後得到的可行解區域是一個三角形　ABC　及其內部區域(包含邊 界)，已知　A(3 , 3)，B(5 , －7)，C(α , β)。在此可行解區域中，當目標函數為　f　(x , y)＝x＋2y　 時，得到在　A　點有最大值，在　B　點有最小值。現因環境條件改變的需要，加入了第四個限 制條件　ax＋byc，結果符合所有限制條件的可行解區域變成一個四邊形區域，頂點少了　

A(3 , 3)，但新增了頂點　D(1 , 1)，E(4 , －2)。若已知滿足上述條件的　C(α , β)，其中α可能的 最小範圍為　mα＜n，m、n　為整數。請問數對　(m , n)＝。

參考公式及可能用到的數值

　　參考數值： 2　



　1.414，log10　2　



　0.3010，log10　3　



　0.4771

　　正弦定理：若△ABC　三內角∠A、∠B、∠C　所對的邊長分別是　a、b、c，則　 A

a sin ＝

B b sin ＝

C c

sin ＝2R，其中　R　是△ABC　外接圓的半徑 　　餘弦定理：若△ABC　三內角∠A、∠B、∠C　所對的邊長分別是　a、b、c，則　

a²＝b²＋c²－2bc　cos　A

　　正弦函數的和角公式：設α，β為任意角，則　sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

　　兩向量



u 與



v 的「內積」為



u ．



v ＝　|



u |　|



v |　cosθ，其中θ為



u 與



v 的夾 角

　　機率的定義：若一事件　A　有　k　個元素，而樣本空間　U　有　n　個元素，若每個元素出現的機會 均等，則此事件　A　發生的機率就是　

n

k ，寫成：P(　A)＝_nⁿ₍⁽_U^A)₎ ＝ n

k ，其中　P(　

A)　表示事件　A　發生的機率

　　設



u ＝(a1 , b1 , c1)，



v ＝(a2 , b2 , c2)，則



u 和



v 的外積定義為



u ×



v ＝ _









2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1

1 , ,

b a

b a a c

a c c b

c b